雷迪，J.N。;大卫·K·加特林。 传热和流体动力学中的有限元方法。第3版。 （英语） Zbl 1257.80001号 计算力学与应用分析CRC系列。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（ISBN 978-1-4200-8598-3/hbk）。xiii，第500页。(2010). 这第三版是一本畅销专著的更新版和扩展版，该专著由两位著名作者撰写，内容是通过有限元方法对传热和流体动力学这两个学科进行数值模拟，在许多工程和科学应用中密切耦合。本文基于针对广泛工科学生的研究生讲座和扩展课程以及自己的实践经验。此外，传热、不可压缩粘性流和热对流建模以及相应代码的专业人员也可以从这本书中受益。面向应用的文本中避免了证明和更具理论性的陈述。读者最好熟悉基本的数值分析、线性代数、热力学和流体力学，但这些领域的最重要思想在第一章“传热和流体力学方程”、各章的介绍和附录中进行了总结。对于对方程推导的更多细节感兴趣的读者，作者参考理论教科书。这本500页长的书的八章分为章节和小节。此外，该专著还包含三个附录、相关术语表、三个版本的前言和作者简历。各章和附录均以参考文献的形式完成，以供进一步阅读。提高读者技能的问题在大多数章节的末尾都有阐述。没有给出问题的解决方案。第一章从热力学和流体力学的分类入手，介绍了传热和流体动力学方程。热传递有三种基本形式：传导（通过扩散传递介质中的热量，傅里叶定律）、对流（通过流体运动传递能量，牛顿冷却定律）和辐射（由于介质温度发射电磁能，斯特凡·博尔兹曼定律）。根据介质的特性，区分无粘和粘性（层流和湍流，以雷诺数为特征）以及不可压缩和可压缩流体。定义了理想流体、牛顿流体和非牛顿流体的概念介绍了向量和张量，包括相应的索引符号和求和约定。梯度向量、Del算子、向量的散度和旋度以及拉普拉斯算子都是在正交、圆柱和球面坐标系中表示的。考虑到包含运动流体和固体的两个分区，描述了对流和传导热传输组合的守恒定律。文中提到了通常用于研究流体流动的欧拉描述或空间描述，以及主要用于固体热传导和固体应力和变形的拉格朗日描述或材料描述。作者在这里主要关注欧拉描述。质量守恒（连续性方程）通过欧拉导数（包括稳态条件和恒定密度的特殊表达式）以散度和平流（非守恒）形式表示。牛顿第二定律描述了连续介质的运动以及应用于流体力学的纳维方程的结果，纳维方程是可压缩流动动量守恒的发散形式。本文还介绍了不可压缩流中常用的平流形式。能量守恒是以热力学第一定律为基础的。此外，还需要并制定状态方程。介绍了层流牛顿流体的本构方程。作者明确指出，由连续性方程关联的输运算子的散度形式和平流形式在离散计算形式上可能彼此不同，因为连续性方程只能近似满足。因此，他们针对有限元方法提出了两种形式的加权组合。基于守恒的平流形式和本构方程，各向同性、牛顿、粘性、不可压缩流体的控制方程和能量方程以向量形式表示为所谓的原始变量（速度、压力、温度），笛卡尔和圆柱分量形式。也可以选择其他变量，但基本变量方法是最常用的方法，具有许多优点。此外，还考虑了多孔介质的流体运动和能量传输。相应的广义Darcy方程也称为Forchheimer-Brinkman或Darcy-Forchheimer方程。迄今为止针对非等温、粘性、不可压缩介质处理的方程可用于许多传热模型，但它们仅限于密度和压力相对于静态变化较小的流动，因此也限于较小的温差。因此，必须避免对小密度变化的限制，以允许对流传热中存在较大的温差。由于相应的完全可压缩流动方程也包含低速流动的声波，而低速流动对传热并不重要，因此提出了两种形式的声过滤方程。另一个主题是流动问题的辅助输运方程，这些问题无法用状态方程描述，必须与非等温流动问题耦合。对于化学反应流体，不可压缩流体是各种化学介质的混合物。因此，必须为每个物种和整个混合物制定保护原则。方程式中必须考虑反应动力学、化学计量和物种特性。所述方程必须通过初始和/或边界条件完成。Dirichlet或本质边界条件和Neumann或自然边界条件以Navier-Stokes方程的分量形式表示。它们也被推广到流中的周期条件。针对几种问题类型，给出了两种不互溶流体之间的界面条件。界面的位置和形状通常是未知的，其中一个是自由边界问题。给出了与时间相关和与时间无关的自由表面流动的相应条件。通常，Navier-Stokes方程的相同初始和边界条件可以应用于多孔介质中流动的Forchheimer-Brinkman方程。但是，如果排除布林克曼项，则需要较少的边界条件。流体区域热部分的边界条件通常包含Dirichlet条件下的温度规范和自然条件下的热流规范。概述了一组特殊情况。对于时间相关问题，需要因变量的初始条件。它们必须满足守恒方程。相变导致自由或移动边界问题，其中移动边界或界面的未知位置成为解决方案的一部分。处理了有限类别的熔化/凝固相变。辐射处理仅限于仅考虑表面温度分布的问题。本章最后总结了所处理的控制方程、本构关系和边界条件。第二章是有限元法。作者首先将FEM描述为经典变分法和加权残差法的推广，其中，假设微分方程的解是适当近似函数与整个域中未知展开参数的线性组合。通过要求线性组合以加权积分的方式选择性地满足微分方程来确定未知参数。近似函数必须满足边界条件。现实世界问题通常定义在具有复杂几何形状的区域上，而变分法和加权残差法的缺点是无法找到满足相应边界条件的适当近似函数。FEM克服了这些困难，在FEM中，区域被划分为一组小的、不重叠的子域，即有限元，在有限元上，函数由插值函数近似，通常是多项式。采用变分法和加权残差法，得到了未知参数之间的一组代数关系。（“有限元”一词在书中被双重使用，指的是单元的几何形状和单元上相关未知的近似度，或仅指几何形状。）对于对FEM的概述特征细节感兴趣的读者，作者主要参考了第一作者的一本书[有限元方法简介。纽约等：McGraw-Hill图书公司，第三版（2006；Zbl 0561.65079号)].在本专著中，考虑热分布方程（时间导数项设为零），证明了有限元法的主要步骤，该方程可简化为各向同性介质的泊松方程，在直角坐标系中的二维正交各向异性介质中具有Dirichlet和Neumann边界条件，作为模型方程。元素由元素中的一组点（即所谓的元素节点）唯一定义。描述了各种几何形状（三角形、四边形）和近似阶数（线性、二次等）。所有元素的总和，即域的集合或有限元网格，表示整个区域。有限元上的相关未知函数（T（x，y））表示为\[T（x，y）\近似T^e（x，y）=\sum_{j=1}^n T_j^e\psi_j^e（x，y），\]其中，\（T^e（x，y）\）是有限元上\（T（x，y）\）的近似值，\（psi_j^e（x，y））是与元素相关的近似函数。节点值（T_j^e）是单元节点处的函数值（T^e（x，y）），必须确定这些值，以便在考虑边界条件的情况下，在加权积分意义下实现控制方程。这导致了节点值（T_j^e）的代数方程组，表示为“有限元模型”。作者更喜欢权重函数和近似函数一致的弱形式有限元模型。导出了系数矩阵或电导率矩阵的代数方程的矩阵表示法。特别是，最低阶多项式，在\（x\）和\（y\）中都必须是线性的，被证明与线性三角形元素有关，其中三角形的顶点是三个元素节点。给出了这个三节点三角形的拉格朗日插值函数，它们的使用通过分段线性函数逼近解的曲面。引入了局部坐标和全局坐标。计算了相应的积分，并给出了矩阵表示法。有关推导的详细信息，作者经常参考第一作者的书[loc.cit.]。第2章的其他主题是线性矩形单元、相应边界积分的计算、单元的组装以及通过两阶段近似处理时间相关问题，即。，通过有限差分法进行空间自由近似和时间近似，得到半离散有限元方法。给出了一个二维三角形和矩形主有限元库。本章和下一章中的数字很好地展示了这些要素。通过坐标变换和计算相应的雅可比矩阵，可以考虑不规则形状的元素（例如，带有曲线图元的三角形、四边形元素，此处仅限于等参元素）。作者处理了形状元素转换为主元素所需积分的Gauss-Legendre求积公式。在某些应用中，没有内部节点的有效矩形元素（所谓的偶发性元素），即与高阶拉格朗日元素相比节点较少，人们可以参考第一作者的书[loc.cit.]，但已制定了二维二次偶发性元的插值函数。此外，还概述了网格生成说明、边界通量表示准则以及边界条件的处理。最后一节介绍了一些示例，例如，使用线性三角形和矩形单元网格处理方形板中的热传导。将计算结果与解析解和有限差分解进行了比较。第3章专门讨论三维热传导问题的有限元方法，即第2章中介绍的元素必须替换为相应的三维元素，例如四面体、六面体（砖）和棱柱体元素（包括形状）。给出了相应的插值函数，但没有详细推导。第1章中介绍的能量方程考虑了边界条件，包括传导、对流和辐射。考虑到材料系数的温度依赖性，这些问题可能是非线性的。时滞热方程分两步处理，用有限元进行空间离散，得到一组常微分方程，用有限差分法对常微分系统进行时间近似，这导致了一个代数方程组，其中包含必须从上一时间步长（tn）计算的时间（t{n+1}）的节点值（温度值）。推导了半离散弱形式伽辽金有限元模型第i阶常微分方程的矩阵形式。给出了考虑表面通量的计算细节。概述了非线性方程组（Picard格式、牛顿迭代）和线性方程组（直接法和迭代法）的求解方法。对于瞬态问题的有限差分积分，概述了Crank-Nicolson方法、Euler向后和向前方法以及预测校正方法，包括时间步长控制、收敛性和稳定性考虑。一个特别的章节专门讨论有限元热传导方程与封闭辐射问题的结合。由于边界条件（Stefan-Boltzmann定律）中的第四次幂表面温度依赖性，耦合传导-辐射问题通常具有高度非线性。讨论了数值解的耦合算法和解耦算法的优缺点。作者提出了这些方法的矩阵形式，并参考原始文献详细描述了这些过程。为了处理不同的特性（相位变化、各向异性电导率、非均匀材料），将可变系数引入FEM的矩阵公式中，目的是以牺牲一些并行存储要求为代价减少正交计算时间。除了迄今为止所描述的主要构件外，还考虑了特殊构件，如梁、电线、电缆、外壳等，用于特定的实体几何。另一个主题是特殊接触边界的处理，如部分覆盖表面、化学反应系统中动力学方程的分裂方法以及后处理技术。本章中描述的有限元分析通过使用有限元程序COYOTE的一些二维和三维热传导和辐射示例（Stefan问题、非线性材料特性、焊接、钎焊、各向异性导电性、阻力位分析等）进行了说明[D.K.加德林,R.E.霍根和M.W.玻璃COYOTE–非线性热传导问题的有限元计算机程序。桑迪亚国家实验室报告，2009-4926，新墨西哥州阿尔伯克基（2009），http://prod.sandia.gov/techlib/access-control.cgi/2009/094926.pdf].第四章是其中最大的一章。粘性不可压缩流体（气体或液体）在等温条件下的运动受质量、动量和能量守恒定律控制。相应的方程组由速度分量、压力和温度的耦合非线性偏微分方程组成。当温度效应可以忽略时，能量方程与动量方程解耦。因此，对于等温流动，只有Navier-Stokes方程（动量守恒和本构关系）必须与连续性方程（质量守恒）一起求解。作者使用这些方程的公式，其中只包含速度分量和压力项。考虑了两种弱形式的Galerkin有限元模型。（一） 速度-压力或混合模型在一个公式中包含这两个变量。（二） 罚函数模型将连续性方程视为速度分量之间的约束，必须通过最小二乘近似来满足。描述了惩罚方法的两种实现，即所谓的简化积分惩罚FEM和一致惩罚模型。关于Galerkin有限元弱形式的矩阵形式，请再次参考第一作者的书[loc.cit.]了解一些详细信息。特别是，对多孔流体进行了混合有限元分析。矩阵方程的数值解取决于所涉及的矩阵的特征，这些矩阵表示质量、对流输送项、粘性扩散项和散度算子。对于求解方法的选择，给出了一些文献建议。作者指出，压力在不可压缩流体中起着特殊的作用：用于压力的插值函数应比用于速度场的插值函数少一个数量级，并且必须满足Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi（LBB）条件才能获得稳定性，混合函数模型和罚函数模型的精度和收敛性，否则压力解将出现不正确的剧烈振荡。因为在等阶元的情况下，速度解通常是精确的，而且已知一些稳定压力振荡的算法。为了更深入地了解这些问题，请参阅其他文献。给出了速度插值的四边形（九节点矩形）和三角形单元，以及压力插值的连续和间断近似，两者都满足或不满足LBB条件。对于三维粘性流动问题，对一些八面体，例如八节点四面体（砖）和四面体单元进行了类比讨论。由于时间尺度和长度尺度的高度变化，流体动力学的初边值问题在数学上要求很高。随后，本章的下一节专门讨论非线性方程的求解、时间近似、稳定化方法、最小二乘有限元、自由表面问题，从工程角度模拟高度复杂的湍流问题（由于高光谱长度而平均的Navier-Stokes方程、大涡模拟、直接数值模拟等），包括使用不同计算机代码求解的数值示例。第5章论述了流体力学与传热的耦合。首先，对流问题分为两类。根据力的不同，它可以区分自由（或自然）对流和强制对流。另一种分类可以考虑流体的压缩性。Boussinesq模型假设存在密度变化较小且温差相对较小的不可压缩流。上文已经提到了非Boussinesq模型或低速可压缩流。有限元法基于速度场、压力和温度耦合偏微分方程的弱形式，对于具有自由对流的粘性不可压缩流体以及低速可压缩和非等温多孔流动，都考虑了类似地应用第3章和第4章中已经开发的元素和方法。使用不同的已知FEM代码，通过一些数值示例再次说明了这些方法。化学、石油、食品或聚合物工业中使用的流体通常不能用牛顿（线性）本构关系来描述。这些非牛顿流体是第6章的主题。区分了非弹性流体（也称为无记忆流体）和粘弹性流体。从物理和计算的角度来看，这种区分都很重要。非弹性流体可以被视为牛顿流体的推广，并通过与牛顿情况下使用的方法略有不同的算法进行处理。与之相反，粘弹性流体的处理需要新的方法。处理非弹性和粘弹性流体的有限元模拟时，首先要完整表示非弹性流体的相关方程（质量、动量和能量守恒以及几种非牛顿本构关系），包括边界条件。混合模型和惩罚模型适用于非弹性流动的有限元分析。针对粘弹性流体，引入了包含变量的幂律模型。为了简单起见，控制方程的描述仅限于二维不可压缩粘性各向同性流体。此外，假设流体运动是层流和等温的，后者避免了包含能量方程。对于各种本构方程（Maxwell流体、Johnson-Segalman和Phan Thien-Tunner模型），作者更喜欢微分模型而不是积分模型。开发了有限元模型的矩阵公式，并对其他公式、未解决问题、存在性和唯一性、本构方程的选择以及数值问题进行了大量参考。这两类非牛顿流体通过许多示例进行了演示。第7章专门讨论多物理问题。第3章和第5章已经讨论了一些耦合问题。现在，耦合被扩展到固体力学和电磁问题的有限元解。因此，读者还将面临变形运动学、固体平衡陈述、麦克斯韦方程、耦合算法的实现和数值示例。所处理问题的存储和计算要求非常高。因此，最后一章中考虑的并行处理问题是一个合理的补充。读者将找到有关并行计算机分类、处理器互连拓扑、并行计算语言和通信实用程序、算法效率和可扩展性的简短章节。除了这些关于并行计算的一般陈述外，还概述了适用于并行处理的FEM的一般步骤（预处理、元素矩阵构建、矩阵求解器、后处理）的处理，主要面向MIMD机器上的域合成方法（多指令多数据），附带相应的计算机代码参考。本书的章节由三个附录完成，描述了FEM代码FEM2DHT的使用、第一作者书[loc.cit.]中代码的扩展、线性方程组求解的直接和迭代方法以及非线性方程组的求解。审核人：乔治·赫伯梅尔（柏林） 引用于48文件 MSC公司： 80-01 与经典热力学有关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 76-01 与流体力学有关的介绍性阐述（教科书、辅导论文等） 80万10 有限元、伽辽金及相关方法在热力学和传热问题中的应用 76米10 有限元方法在流体力学问题中的应用 80平方米 有限差分法在热力学和传热问题中的应用 76M20码 有限差分方法在流体力学问题中的应用 65Z05个 科学应用 65M60毫米 偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Riz和Galerkin方法 6500万06 含偏微分方程初值和初边值问题的有限差分方法 65N30型 偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Riz和Galerkin方法 2005年5月 并行数值计算 80A20型 传热传质、热流（MSC2010） 80A32型 化学反应流 80A22型 Stefan问题、相位变化等。 76D05型 不可压缩粘性流体的Navier-Stokes方程 76卢比 扩散和对流 76S05号 多孔介质中的流动；过滤；渗流 76A10号 粘弹性流体 76层65 湍流的直接数值模拟和大涡模拟 76A05型 非牛顿流体 78A25型 电磁理论（通用） 78M10个 有限元、伽辽金及相关方法在光学和电磁理论问题中的应用 74A05型 变形运动学 第74S05页 有限元方法在固体力学问题中的应用 97M50型 物理、天文学、技术、工程（数学教育方面） 关键词：传热;热传导;热对流;热辐射;斯特凡·玻尔兹曼定律;无粘性液体;粘性流体;不可压缩流体;可压缩流体;理想流体;牛顿流体;非牛顿流体;幂律模型;层流;湍流;雷诺数;守恒方程;纳维-斯托克斯方程;能量方程;本构方程;多孔介质;达西方程;Forchheimer-Brinkmann方程;达西-福尔海默方程;反应动力学;Dirichlet和Neumann边界条件;接口条件;自由边值问题;初始条件;相变;变分法;加权残差法;有限元法;弱形式;拉格朗日插值函数;线性三角形单元;线性矩形单元;主元件;网格生成;幂律模型;惩罚模型;多重物理量;运动学;变形;麦克斯韦方程组;并行处理;计算机代码;有限元代码COYOTE;FEM代码FEM2DHT 引文：Zbl 0561.65079号 软件：郊狼 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.N.Reddy}和\textit{D.K.Gartling}，传热和流体动力学中的有限元方法。佛罗里达州博卡拉顿第三版：CRC出版社（2010；Zbl 1257.80001）