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关于相互作用粒子系统的多项式积分。 (英语。俄文原件) Zbl 0665.70013号

苏联。数学。,多克。 第143-146号第38页(1989年); Dokl翻译。阿卡德。Nauk SSSR 301,第4期,785-788(1988年)。
用具有哈密顿函数的哈密顿系统描述三个相同粒子在直线上相互作用的动力学\[(1) 四元H=(p^2_1+p^2_ 2+p^2 3)+f(q_1-q_2)+f。\]假设函数f(相互作用势)为偶数。除了总能量H外,总动量(P=P_1+P_2+P_3)是守恒的。因此,具有哈密顿量(1)的系统的完全可积性问题简化为与函数P交换的附加积分的存在性问题。J.莫瑟[《数学进展》第16卷,197-220页(1975;Zbl 0303.34019号)]和F.卡罗格罗[Lett.Nuovo Cimento 13,411-416(1975)]表明,如果势f是Weierstrass\(\wp\)-函数(或其简并情况\(x^{-2}\),\(\sin^{2} x个\)、和\(\新^{-2}x)\). 此外,附加积分可以在动量中以三次多项式的形式给出,该多项式具有单值系数,在正则变量对(p_s)、(q_s)的置换下是不变的。S.I.Pidhujko公司A.M.史蒂芬【Sov.Math.Dokl.19,282-286(1978);翻译自Dokl.Akad.Nauk SSSR 239,50-53(1978;Zbl 0419.70017号)]证明了这种多项式积分只存在于Moser-Calogero势。我们考虑具有周期(2\pi)的解析周期函数。一个例子是与弹性弹簧耦合的圆上的三点系统。
这个注记的主要结果是:定理1。如果(f\neq const),则具有哈密顿量(1)的哈密顿方程在三维环面({mathbb{T}}^3={q_1,q_2,q_3)mod(2\pi)(})上没有多项式形式的动量积分,且解析系数与函数H和P无关。
由于存在无穷多个特征指数不为零的短周期解,因此不能存在多项式积分。

MSC公司:

70F07型 三体问题
37J35型 完全可积的有限维哈密顿系统,积分方法,可积性检验
37K10型 完全可积无穷维哈密顿和拉格朗日系统、积分方法、可积性检验、可积层次(KdV、KP、Toda等)
2005年7月70日 哈密尔顿方程
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