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随机极化。 (英语) Zbl 1270.60017号

极化是一种可以将几何不等式简化为组合恒等式的方法。它包括构造函数(f),(S_{W_1点W_n}f)的重排随机序列,其中每个随机变量(W_i)决定一个反射,该反射收敛于对称递减重排(f^*),由与(f)等价的下半连续函数给出,该函数径向递减约(o)。作者考虑了维为(d)且原点为固定的空间形式(mathbb{X})上两个集合之间的Hausdorff距离。(f)相对于不固定原点的(mathbb{X})的反身(sigma)的极化由两点对称化(Sf(X)定义为(X\ in H^+\)(resp.,(X\ inH^-\))的(f(X(X))的最大值(resp..,minimum),其中(H^{pm})是由原点定义的上(resp.:,下)半空间。通过使用指示符函数,该定义扩展为集合\(A\subset\mathbb{X}\)。在由极坐标定义的参数空间([0,l)times\mathbb{S}^{d-1})上,通过Borel概率测度(mu)给出了随机极化,它也决定了随机变量(W=(R,U)的分布=1\)。作为Steiner对称化,极化是单调的、等可测的、(L_p)-压缩的(p\geq 1),并且保持或改进了每个函数(f)的连续模。
在第一个主要定理中,作者证明了由独立随机变量序列定义的给定极化序列({S_{W_1\dots W_n}}{n\geq1}),如果(sum_{i=1}^{infty}\operatorname{P}(d(\sigma_{W_i}a_i对于满足(d(bi,o),geqd(a_i,o)+2)的(mathbb{X})元素的任意(\rho>0)和有界序列(\{a_i\},\{b_i\{),则极化序列几乎肯定收敛,即,\[\运算符名{P}\ left(\lim_{n\to\infty}\ |S_{W_1\dots W_n}f-f^*\ |_{\infty}=0\;对于C_C^+(\mathbb{X})\ right中的所有f=1,\]其中\(\ operatorname{P}\)是乘积测度\(\ operatorname{P}(A_1中的W_1\,\dotsc,A_n中的W_n\)=\Pi_{i=1}^{n}\mu_i(A_i)\)。根据作者的摘要:“收敛性的证明取决于对与极限的预期距离的估计,该距离产生了收敛速度的界。”
在第二个主要定理中,他们考虑了i.i.d.序列的特殊情况,即独立随机变量(W_i)根据概率测度(mu)同分布,其中(R=0)=0,并考虑了(G:={u\In\mathbb{S}^{d-1}:(0,u)\In\mathrm{support}\mu\})。作者证明,如果每个轨道{O}(O)_{G,x}=\{tau_{u_n}\ldots\tau_u_1}x:u_k\in G\})在(d-1)维球体中对每个(x\in\mathbb{S}^{d-1}\)都是稠密的,其中\(tau_k}\)是固定\(H^+_u\)和\(H_u^-\)上的值的映射,然后\(S_{W_1\dots W_n}\)收敛对称递减重排\[\运算符名{P}\ left(\lim_{n\to\infty}\ |S_{W_1\dotes W_n}f-f^*\ |{P}=0\;对于L_P^+(\mathbb{X})\ right中的所有f)=1\]保留所有(1)。有了这些条件,分布就不需要是均匀的,这是最近一些结果中用来保证收敛的必要条件。这两个结果暗示了当(mathbb{X}=mathbb}R}^d)时Steiner对称化的结论。从作者的摘要中:“我们找到了不需要凸性假设的Steiner对称化收敛速度的界,并证明了完全旋转对称可以通过在满足显式非简并条件的有限个方向上随机交替的Steiner-对称化来实现。”
此外,作者获得了收敛速度的一些界,并构造了收敛失败的例子。

MSC公司:

60D05型 几何概率与随机几何
52A22型 随机凸集和积分几何(凸几何的方面)
53元65角 整体几何形状
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