亚历山德罗·皮加蒂;特里斯坦·里维埃 任意余维下min-max极小曲面重数1猜想的证明。 （英语） Zbl 1468.49045号 杜克大学数学。J。 169，第11期，2005-2044（2020）。 本文讨论黎曼流形中的极小曲面理论。作者讨论了年开发的一种新方法[T.里韦，出版物。数学。，高等科学研究院。126, 177–246 (2017;Zbl 1387.53084号)]在指定的闭黎曼流形（M^M）中构造任意拓扑的分支浸入极小曲面。也就是说，对于一个固定参数\（\sigma \），我们首先找到一个浸入\（\Phi:\sigma \ to M^M \），它对于以下扰动区域泛函是至关重要的：\[a^\ sigma（\Phi）=\int_\sigma-d\，vol_{g_\Phi}+\sigma^2\int_\ sigma（1+\vertA\vert_{g_\fhi}2）d\ \）是由\（\Phi\）导出的度量形式，而\（vol_{g_\Phi}\）是相应的体积形式，\（A\）是\（\Phi\）的第二基本形式。选择一个序列\（\sigma_j\ to 0\），得到一个保角浸入序列\（\Phi_j:\sigma_j\ to M^M\），它在\（W^｛1,2｝\）中有界，并产生（作为弱极限）参数化平稳变倍\（（\sigma\infty，\Theta_\infty，N_\infty）\）。为了研究极限多重性，作者证明了（N_infty\equiv1）成立。此外，如果下面的共形结构没有起泡或退化，则证明了一个具有强（W^{1,2}）-收敛性（Phi_j to Phi_infty）。因此，作者考虑了一个可容许的（k）维族（mathcal{A}\subset\mathcal}P}（Imm（Sigma，M^M）），参见[A.米歇拉特，“关于粘度法中临界点的莫尔斯指数”，预印本，arxiv:1806.09578号]，并证明存在一个（可能分支的）最小浸入（Phi）的封闭表面（S）到（M^M）中，从而：（i） 属，（ii）\（\inf\limits_{A\in\mathcal{A}}\sup\limits\{Psi\inA}\）区域（\（\Psi\））=区域（\，（iii）索引（\（\ Phi \））\（\ leq k \）。所讨论的问题和获得的结果被认为与多重数1猜想密切相关F.C.标志和A.内维斯【《剑桥数学杂志》第4期，463–511页（2016年；Zbl 1367.49036号)].审核人：瓦西尔·戈卡维（哈尔科夫） 引用于7文件 MSC公司： 2005年第49季度 最小曲面和优化 2015年第49季度 优化中的几何测量和积分理论、积分电流和正常电流 20年第49季度 几何测量理论环境中的变分问题 58E20型 谐波图等。 53A10号 微分几何中的极小曲面，具有规定平均曲率的曲面 关键词：最小曲面;参数化平稳变量;莫尔斯指数;最小最大接近;调和图 引文：Zbl 1387.53084号;Zbl 1367.49036号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Pigati}和\textit{T.Rivière}，数学公爵。J.169，第11期，2005--2044（2020；Zbl 1468.49045） 全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得 参考文献： [1] O.Chodosh和C.Mantoulidis，极小曲面和\（3\）-流形上的Allen-Cahn方程：指数、多重性和曲率估计，数学年鉴。（2） 191（2020），编号1213-328。Zentralblatt数学：1431.49045数字对象标识符：doi:10.4007/annals.2020.191.1.4·Zbl 1431.49045号 ·doi:10.4007/annals.2020.191.1.4 [2] N.Ejiri和M.Micallef，《最小表面面积二次变化和能量二次变化的比较》，高级计算变量1（2008），第3期，223-239。Zentralblatt数学：1163.58006数字对象标识符：doi:10.1115/ACV.2008.009·Zbl 1163.58006号 ·doi:10.1515/ACV.2008.009 [3] F.Hélein，调和图，守恒定律和运动框架，第二版，剑桥数学丛书。150，剑桥大学出版社，剑桥，2002年·Zbl 1010.58010号 [4] C.Hummel，Gromov伪holomorphic曲线的紧性定理，Progr。数学。151，Birkhäuser，巴塞尔，1997年。Zentralblatt数学：0870.5302·Zbl 0870.5302号 [5] Y.Imayoshi和M.Taniguchi，《Teichmüller空间简介》，施普林格，东京，1992年·Zbl 0754.30001号 [6] D.Ketover和Y.Liokumovich，关于不稳定极小Heegaard曲面的存在性，预印本，arXiv:1709.09744v2[math.DG]。arXiv:1709.09744v2 [7] D.Ketover、F.C.Marques和A.Neves，悬链线估计及其几何应用，J.微分几何。115（2020），第1期（2020）第1-26页。Zentralblatt数学：07192787数字对象标识符：doi:10.4310/jdg/1586224840欧几里德项目：Euclid.jdg/1586224840·Zbl 1439.53064号 ·doi:10.4310/jdg/1586224840 [8] O.Lehto和K.I.Virtanen，平面中的拟共形映射，第2版，格兰德伦数学。威斯。126，施普林格，纽约，1973年。Zentralblatt数学：0267.30016·Zbl 0267.30016号 [9] F.C.Marques和A.Neves，三流形中最小极大球面的刚性，杜克数学。J.161（2012），第14期，2725-2752。Zentralblatt数学：1260.53079数字对象标识符：doi:10.1215/00127094-1813410欧几里德项目：Euclid.dmj/1351258788·兹比尔1260.53079 ·doi:10.1215/0127094-1813410 [10] F.C.Marques和A.Neves，莫尔斯指数和最小极大超曲面的多重性，Camb。数学杂志。4（2016），第4期，463-511。Zentralblatt数学：1367.49036数字对象标识符：doi:10.4310/CJM.2016.v4.n4.a2·Zbl 1367.49036号 ·doi:10.4310/CJM.2016.v4.n4.a2 [11] A.Michelat，《粘度法临界点的莫尔斯指数》，预印本，arXiv:1806.09578v1[math.AP]。arXiv:1806.09578v1Zentralblatt数学：1353.49006数字对象标识符：doi:10.1051/cocv/2016039·Zbl 1353.49006号 ·doi:10.1051/cocv/2016039 [12] A.Pigati和T.Rivière，二维参数化整数平稳变量的正则性，预印本，arXiv:1708.02211v2[math.AP]。arXiv:1708.02211v2·Zbl 1512.49039号 [13] T.Rivière，最小曲面最小最大理论中的粘度法，Publ。数学。高等科学研究院。126 (2017), 177-246. ·Zbl 1387.53084号 [14] T.Rivière，共形目标调和映射的正则性，《计算变量偏微分方程》56（2017），第4期，第117页。Zentralblatt数学：1380.58013数字对象标识符：doi:10.1007/s00526-017-1215-8·Zbl 1380.58013号 ·doi:10.1007/s00526-017-1215-8 [15] T.Rivière，最小表面粘度法中指数的低半连续性，预印本，arXiv:1808.00426v1[math.DG]。arXiv:1808.00426v1 [16] W.Rudin，《真实与复杂分析》，第三版，McGraw-Hill，纽约，1987年。Zentralblatt数学：0925.00005·Zbl 0925.00005 [17] J.Sacks和K.Uhlenbeck，球面最小浸入的存在性，数学年鉴。（2） 113（1981），第1期，第1-24页·Zbl 0462.58014号 [18] L.Simon，几何测量理论讲座，Proc。数学中心。分析。3，澳大利亚国立大学，堪培拉，1983年·Zbl 0546.49019号 [19] A.Song，局部最小极大曲面和强不可约最小Heegaard分裂，预印本，arXiv:1706.01037v2[math.DG]。arXiv:1706.01037v2 [20] X.Zhou，Min-max极小超曲面在（M^{n+1}，g）和（Ric>0）中的应用，J.微分几何。100（2015），第1129-160号·兹比尔1331.53092 [21] X.Zhou，关于属（g\geq 2）的min-max极小曲面的存在性，Commun。康斯坦普。数学。19（2017），第4期，1750041·Zbl 1369.49059号 [22] 十、。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。