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奇异系统的右预处理MINRES。 (英语) Zbl 1463.65058号

这份手稿涉及求解大型稀疏对称奇异线性系统的新算法。作者考虑线性方程组(Ax=b)或线性最小二乘问题(显示样式{min_x\in\mathbb{R}^n}\|b-Ax\|2}),其中(A\in\mathbb{R}^n\timesn})是对称的奇异的,(x,b\in\mathbb{R}^n)是奇异的。
考虑到矩阵A的对称性,求解Ax=b的Krylov子空间方法将是最小残差(MINRES)方法和共轭梯度(CG)方法。
在本文中,作者提出了一种右预条件MINRES的算法,并证明了即使系统是奇异的和不一致的,该方法也能在不分解所有(b)和所有初始向量的情况下收敛到预条件加权最小二乘解。具体而言,他们得出了以下主要结果:
设(M)是对称正定矩阵。右预条件MINRES确定解^{-1}z\)属于\[min_{x\in\mathbb{R}^n}\|b-Ax\|_{M^{-1}}=\min_{x\in\mathbb{R}^n{|b-AM^{-1}z\|_{M^{-1}},\]没有分解所有\(b\in\mathbb{R}^n)和所有初始近似解\(x^{(0)}\in\mathbb{R}^n(=M^{-1}z^{(0)}\),其中\(A\)可以是单数。此外,如果\(r=\operatorname{rank}(A)=\dim{r。
另一方面,作者提出了一种使用对称连续过松弛(SSOR)的预条件MINRES,并使用Eisentat的技巧,即将\(Ax=b\)转换为\[D^{-1}[(D+L)^{-1}甲(D+L^T)^{-1}](D+L1^T)x=D^{-1{(D+L)^{-1}b\]并应用CG。设({A}=(D+L)^{-1}甲(D+L^T)^{-1})和预处理CG中的矩阵向量积计算为{A} v(v)=(D+L ^T)^{-1}v+(D+L)^{-1}[v-(2D-D_0)(D+L^T)^{-1}v],\]通过将矩阵-向量积替换为正向和反向替换以及对角矩阵-向量乘积来降低计算成本。
最后,对所提算法在对称奇异系统中的有效性进行了评估。对电磁分析中的半定系统进行的一些数值实验证实了这些方法的有效性。

MSC公司:

65层10 线性系统的迭代数值方法
65F08个 迭代方法的前置条件
65层50 稀疏矩阵的计算方法
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全文: 内政部