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米哈利·巴科尼；雨果·沃德曼。

Hermitian平方的矩阵补全、矩和和。 （英语） Zbl 1236.15056号

普林斯顿应用数学系列新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（ISBN 978-0-691-12889-4/hbk；978-1-400-84059-5/电子书）。xii，518页。(2011).
这本书涉及三个相关的主题：部分矩阵完成问题、矩问题和厄米特平方和，这些问题在过去几年中有了重要的发展。在矩阵完备性问题中，关于正定、最小秩等各种问题已经得到了解决，并在多个领域得到了应用。在力矩问题的主题中，几个多变量问题要么已经完全解决，要么已经获得了一些实质性的理解。在埃尔米特平方和领域，所得结果导致了对正（三角）多项式类的优化算法的显著改进。作者的目的是综合考虑这一主题，将新旧结果交织在一起。
书的每一章都以大量的练习结束，这些练习难度很大，其中一些练习允许作者在与文本中的材料相关的文献中加入结果。此外，作者选择不引用文献，而是在每章末尾的“注释”部分讨论文献。
作者将本书内容分为五章，标题如下：
1.厄米矩阵的锥和三角多项式；
2.半正定算子矩阵的完备化；
3.厄米特平方的多变量矩和和；
4.收缩类似物；
5.赫尔米特和相关完工问题。
第一章研究了Hermitian矩阵和实值三角多项式的实Hilbert空间中的锥。基于这种锥及其对偶的方法，作者建立了正半定矩阵和非负三角多项式的几个推广结果。此外，它们还显示了与半定规划的联系，并包括一些数值实验。
在第二章中，作者分析了部分算子矩阵的正定和半定完备的存在性。部分算子矩阵（A=（A_{ij}）_{i，j=1}^n）称为部分正定（半定），当：
（i）
指定了所有对角线条目，
（ii）
\当且仅当指定了\（A_{ji}\）并且\（A{ji}=A_{ij}^*\），
（iii）
（A\）的所有完全指定主矩阵都是正定（半定）的。
作者在不同的情况下获得了具有特殊属性的特定完形。他们考虑了第2.1节中的带状情况、第2.2节中的弦线情况、第2.3节中的Toeplitz情况以及第2.6节中的广义带状情况和算子值正半定弦线情况。在第2.4节中，作者引入了Schur补码的概念，并推导了它的一些性质；他们还展示了如何使用它来证明算子值三角多项式的Fejér-Riesz因子分解定理。第2.5节专门描述半正定算子矩阵的结构。在第2.7节中，作者研究了基于Hankel矩阵半正定完备的Hamburger问题，最后在第2.8节中分析了与线性预测的联系。
在一个变量中，以下问题之间存在紧密联系：
（i）
Carathéodory插值问题，
（ii）
力矩问题，
（iii）
Bernstein-Szegő测量力矩问题，
（iv）
有序群矩问题，
（v）
自由群力矩问题。
作者在第3章中指出，当考虑多变量情况时，这五个问题会有很大不同。本章包含了第2章结果的大部分多变量推广。
第四章讨论了部分算子矩阵的压缩完备。利用Wielandt的观测，这个完备性问题总是可以归结为半正定问题。第4.1节描述了那些模式，这些模式具有这样的性质：具有指定项模式的每个部分收缩算子矩阵都允许收缩完成。第4.2节分析了具有一个未知项的部分矩阵的2乘2完备问题的解集，并给出了低三角部分矩阵的线性约束压缩完备问题的解决方案。本研究在第4.7节中继续进行。
第4.3至4.6节解决了几个算子值压缩插值问题。在第4.8节中，作者考虑了下三角算子矩阵，其所有指定项都是Hilbert-Schmidt算子。它们证明了显式完备算子和Hilbert-Schmidt范数的界。
第4.10节研究了指定项为紧算子的下三角部分矩阵。最小化紧致完成式的范数（最大奇异值）通常会得到几个解，但当一个紧完成式的奇异值序列相对于字典序最小化时，该解就变得唯一。这导致了所谓的“超最优完成”。第4章的末尾介绍了解析函数的超优逼近和所谓的模型匹配问题。
最后，在第五章中，作者考虑了几个与半正定或压缩完备问题密切相关的完备问题。具体地，他们分析了部分厄米特矩阵厄米特完备的可能惯性、最小和最大秩完备问题以及部分厄米特矩阵厄米特完备中的最小负惯性和正惯性，作者考虑了这样一个问题：一个部分矩阵的完备有多少奇异值必须小于（或大于）一？它们还显示了正规矩阵和欧几里德距离矩阵类的完备性。随着应用程序的显示，有关厄米矩阵表达式的问题、离散系统的最小表示问题以及量子信息中出现的可分离性问题。
审核人：胡安·拉蒙·托雷格罗萨·桑切斯（瓦伦西亚）

引用于41文件

MSC公司：

15A83号 矩阵完成问题
15-02 线性代数相关研究综述（专著、调查文章）
15个B05 Toeplitz、Cauchy和相关矩阵
15B57号 厄米特矩阵、斜厄米特阵和相关矩阵
90C22型 半定规划
15个B48 正矩阵及其推广；矩阵的锥
44A60型 力矩问题
47A05型 一般（伴随词、共轭词、乘积、倒数、域、范围等）
47A20型 线性算子的扩张、扩张、压缩
47A57型 插值、矩和扩张问题中的线性算子方法

关键词：

厄米矩阵；正定算子；三角多项式；完井问题；部分矩阵；多变量矩；收缩算子；欧氏距离矩阵；Toeplitz矩阵；专著；力矩问题；厄米特平方和；埃尔米特矩阵的锥；数值实验；半定规划；舒尔补语；Fejér-Riesz因子分解；汉克尔矩阵；Carathéodory插值问题；有序群矩问题；Bernstein-Szegő测量力矩问题；自由群问题；Hilbert-Schmidt运算符；Hilbert-Schmidt范数；紧凑运算符；奇异值；正规矩阵；量子信息

软件：

Matlab公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Bakonyi}和\textit{H.J.Woerdeman}，《矩阵完备性、矩和赫尔米特平方和》。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2011；Zbl 1236.15056）