E.海涅。 函数理论的要素。（功能性模具元件） （德语） JFM 04.0187.01号 博沙尔特J.LXXIV,172-188 (1872). Verfasser先生beabsichtigt，gewisse elementare Sätze，auf denen Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen die Functiontheorie aufbaut，die aber bisher von diesem selbst noch nicht veröffentlicht worden sind，hier im Zusammenhange zu entwicken。Diese wichtigen Fundamentalsätze gelten für die von Hrn。Heine im ersten Abschnitt zu Grunde gelegte非理性扎伦的定义。在diesem Abschnitte geht der Herr Verfasser aus von dem Begriff der Zahlenreihe中：“Zahlenrelihe heisst eine Reihe von Zahlen（a_1，a_2，dots a_n\cdots），wen für jede noch so klein gegebene von Null verschiedene Zahl（eta）ein Werth（n）existirt，der beuirkt，dass（a_n-a_{n+nu}）fürle ganzen positiven（nu）计数器\（\ eta\）liegt.“Die Zahl wird nicht begrifflich definitir，Die irrationalen Zahlen werden nicht etwa als Grenzen eingeführt（deren Existence eine Voraussetzung wäre），sondern Die Definition der Zahl ist eine rein formale，indem“gewisse greifbare Zeichen”Zahlent genannt werden。Diese Zahlzeichen müssen so gewählt werden，dass die Definition der Rechnungsoperationen–auf welche es hier hauptsächlich ankommt–ermöglicht wird。Da z.B.die Zahlen \（0，1，2，3 \ dots\）in vielen Fällen die Subtraction unmöglich machen，so müssen neue Zeichen or Zahlene eingeführt werden，und es muss die Definition der Operationen so erweitert werden。Ferner veranlasst die Unmöglichkeit der Division zweier Zahlen in dem Falle，wo der Quotient nicht eine ganze Zahl ist，wiederun：neue Zeichen，u.s.f.Den irrationalen Zahlen-kommt bei dieser Definition eine wirkliche Existencez zu。Zwei Zahlen werden gleich genannt，wenn sich um keine noch so kleine angebbare Zahl unterscheiden。Mit dieser auf rein formalem Standpunkt gewonnen Herr Heine schon seit Jahren seine Vorlesungenüber代数分析的定义。Wie dagegen Hr.Weierstrass，der die allgemeine Theory der complexen Zahlen zum Abschluss geführt hat，die Rechnung operationen für die imengeren Sinne complexen Zahlen strong begründet，在zwischen Herr Kossak ausführlich und imengeng Auschluss and die Vorlesungen des Hernn Weierstrassüber analysis Functionen gezeigt（Elemente der Arithmetik，siehe das vorige Referrat）中。Im zweiten Abschnitt der vorliegenden Arbeit：“Ueber Functionen”定义Herr Heine zunächst die einwerthige Function und beiden Sätze：“Jede ganze Potenz von\（x\）ist eine einwertige Functions”，und“Es sind\（\sin x\）und\（cos x\）Functioner von\。Der \（\S\）2 handelt von den Bedingungen Der Continuität einer函数\（f（x）\）beienem best immten einzelnen Werthe\（x=x\），und Der \（\S \）3 von den-Eigenschaften continuirlicher函数。Hier werden nach den Principien des Herrn Weierstrass foldenge 6 Lehrsätze Beuisen:1）Jede ganze Potenz von（x）ist zwischen irgend welchen gegebenen Grenzen gleichmässig continuirlich，d.h.für Jede noch so kleine gegebene Grösse（\varepsilon）existit eine solche positive Grósse，die kleiner als \（\eta0\）sind，\（f（x\pm\eta）-f（x）\）unter\（\varepsilon\）bleibt；2） Besitzt eine（für jedes einzelne）von（a）bis（b）continuirliche Function（f（x））fürzwei zwischen；3） Eine函数（f（x）），die von（x=a）bis（x=b）so beschaffen is，dass zwischen je zwei Zahlen（x_1）und（x_2），wie nahe sie auch gewählt werden，noch andere liegen，für welche（f（x））verschiedene Zeichen besitzt，ist disconticirlich；4） Wenn die（für jedes einzelne \（x\））von \（x=a\）bis\（x=b\）continuirliche Function\（f（x）\）von（x=a \）bis \（x=b\）nie-negative，aber zwischen diesen Grenzen-kleiner wird als jede angebbare Grösse，so reicht sie auch den Werth Null；5） （x=a\）bis\（x=b\）（für alle einzelnen Werth）连续函数\（f（x）\）für jeden einzelnen Werth，der zwischen\（a\）und einer rationalalen or irrationalien Zahl\（x\）liegt，wo\（a<x<b\），wie nahe man-auch\（x\）kommt，nicht positiv，über \（x\）hinaus aber positiv wird，所以ist \（f（x）=0\）；6） Eine von（x=a\）bis\（x=b\）（für alle einzelnen Werthe）连续函数\（f（x）\）是auch gleichmässig连续函数。审核人：穆勒，费利克斯，博士（柏林） 引用于2评论引用于24文件 MSC公司： 26甲15 一个变量中实函数的连续性和相关问题（连续模、半连续性、不连续性等） JFM部分：西本特·阿布什尼特。功能理论。国会大厦1。霸权主义。 关键词：欧氏空间中的连续性；实数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Heine}，J.Reine Angew。数学。74、172--188（1872；JFM 04.0187.01） 全文： 内政部 克雷勒 欧洲DML