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线性微分代数方程的数值线性代数方法。 (英语) Zbl 1343.65100号

Ilchmann,Achim(ed.)等人,微分代数方程调查III。查姆:施普林格(ISBN 978-3-319-22427-5/pbk;978-3-319-22428-2/ebook)。微分代数方程论坛,117-175(2015)。
在这篇综述中,作者研究了线性常系数微分代数方程(DAE)和广义系统。
线性常数系数DAE采用以下形式\[E \点{x}(t)=Ax(t)+f(t),\四个x(0)=x_0,\标记{1}\]线性时不变广义系统具有常系数DAE的形式\[E\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\quad x(0)=x_0,\]
\[y(t)=Cx(t)+Du(t),\]它们组合在一起,以在表格中统一呈现\[E\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t),\quad x(0)=x_0,\tag{2}\]
\[y(t)=Cx(t)+Du(t),\]其中,\(E,A\ in \mathbb{R}^{k,n}\),\(B\ in \mathbb{R}^{k,m}\)、\(C\ in \mathbb{R}^ p,n})和\(D\ in \ mathbb}R}^{p,m}\)\(x:[0,\infty)\to\mathbb{R}^n)表示状态,\(u:[0、\infty]\to\mathbb{R}^m)表示控制输入信号,\(y:[0,\infy)\to \mathbb{R}^p)是输出信号,\。
首先,作者简要讨论了解的存在性、唯一性以及初值的一致性。
因此,第2节“可解性理论”从系统(1)的可解性开始。这可以用矩阵束(sE-A\in\mathbb{R}[s]^{k,n})的Kronecker标准形(KCF)来实现[S.L.坎贝尔,奇异微分方程组。旧金山-朗登-墨尔本:皮特曼高级出版计划(1980;兹伯利0419.34007)]. 请注意,专门讨论DAE的第一篇文章来自N.N.吕津【Avtom.Telemekh.1940,4-66(1940;Zbl 0061.17301号)].
在常规情况下(\(k=n\),\(\det(\lambda E-A)\neq 0\)),KCF专门用于Weierstra规范形式(WCF)。
为了确保每个连续输入(u(\cdot))和每个一致初始值的平滑响应,系统必须是规则的,并且指数小于或等于1。从理论角度来看,所给出的存在唯一性结果是有用的,但众所周知,任意小扰动都会从根本上改变Kronecker块的种类和数量,因此在有限精度算法中用数值算法计算KCF或WCF是有问题的[G.W.斯图尔特J.-g.孙,矩阵摄动理论。波士顿等:学术出版社(1990年;Zbl 0706.65013号)]. 因此,在一般情况下,当某些条件不成立时,需要对系统进行规范化。在第3节“正则化和导数数组”中,对线性常系数情况下的正则化过程进行了总结。
在讨论了分析和正则化技术之后,作者继续对描述系统进行更高级的控制和优化应用。
在第4节“广义系统的楼梯形式和属性”中,作者讨论了广义系统的理论属性,并给出了允许检查这些属性的楼梯形式。主要关注可控性、稳定性等概念以及相关的可观测性和可检测性的对偶概念。这些是针对方形系统和去掉了馈通项(D)的系统引入的,因此假设系统已经是由第3节的正则化程序生成的特殊形式。此外,直接引入了等价的代数刻划,而不是用系统理论术语定义这些性质。
第4节的所有应用都导致了偶数矩阵铅笔的广义特征值问题。因此,在第5节中,开发了它们的结构化考虑形式以及适当的数值方法。
在第6节中,最小化的线性二次型最优控制问题\[\数学{J}(x(\cdot),u(\cdop))=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{infty}(x(t)^TQx(t)+2x(t\]其中,(Q=Q^T\in\mathbb{R}^{n,n}),(S\in\mathbb{R}^{n,m})和(R=R^T\in \mathbb{R}^{m,m}\)服从形式(1)的线性描述子系统,初值为(x(0)=x_0),稳定条件为(lim_{T\to\infty}x(T)=0)。
如果还给出了输出方程(2),那么成本函数通常如下所示\[\数学{\widetilde{J}}(x(\cdot),u(\cdop))=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty}(x(t)^t\widetelde{Q} x个(t) +2x(t)^t\宽度{S} u个(t) +u(t)^t\widetilde{R} u个(t) )日期\]带有\[\widetilde{Q}:=C^TQC,\;\widetilde{S}:=C^TQD+C^TS,\;\widetilde{R}:=D^TQD+D^TS+S^D+R\]然后,通过插入输出方程,可以很容易地将其转换为(3)中给出的形式。
在第7节中,如此命名的\(\mathcal{高}_考虑了最优控制问题。第8节专门用于计算{左}_{\infty})-连续广义系统的范数,最后是第9节-耗散性检验问题。
总之,在第9节中陈述了一些未决问题。
关于整个系列,请参见[Zbl 1333.65004号].

MSC公司:

65升80 微分代数方程的数值方法
15A21号机组 规范形式、约简、分类
15A22号机组 矩阵铅笔
34A09号 隐式常微分方程,微分代数方程
65英尺15英寸 矩阵特征值和特征向量的数值计算
93二氧化碳 控制理论中的线性系统
93D09型 强大的稳定性
65K10码 数值优化和变分技术
93个B05 可控性
93立方厘米 由常微分方程控制的控制/观测系统
93B36型 \(H^\infty)-控制
93-02 与系统和控制理论相关的研究展览(专著、调查文章)
65-02 与数值分析相关的研究展览(专著、调查文章)
49甲10 线性二次型最优控制问题
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全文: 内政部

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