×
De Loera，Jesús A。;索尼娅·彼得罗维奇;西尔弗斯坦，莉莉;德斯皮纳·斯塔西;丹麦威尔本

随机单项理想。 （英语） Zbl 1435.13021号

J.代数 519, 440-473 (2019).
作者定义并研究了（K[x_1，\dots，x_n]\）单项式理想集上的一个随机模型。他们称之为随机单项式理想的Erdős-Rényi型模型。它们的定义与随机图的两个基本概率模型之一的（mathscr{G}（n，p））的定义密切相关。请参见[B.博洛巴斯，随机图。第二版，剑桥：剑桥大学出版社（2001；Zbl 0979.05003号)].
更准确地说，随机单项式理想的Erdős-Rényi型模型是一个具有两个参数的族，即（0\leqp\leq1）和（D\geq0），首先通过在度达（D\）的非恒定单项式集合上建立概率分布来定义，然后使用该分布来导出单项式的随机模型。单项式理想集上的概率分布定义为：单项式出现在随机集中，用（mathfrak{B}）表示，独立且具有概率。等价地，给定一组非恒定单项式（B），\[P（\mathfrak{B}=B）=P^{|B|}（1-P）^{\binom{D+n}{D}（D）-|B|-1}。\]这种分布通过定位（mathfrak{I}\sim\mathcal{I}（n，D，p））if（mathfrak{I}=（mathflak{B}））诱导了一个单项式理想的随机模型，用\（mathcal}（n，D，p）表示，其中\（mathbrak{B}\）是一个度为（leqD）的非恒定单项式的随机集，如上面所构造的。
在定理1.1中，作者计算了以度生成的固定单项式理想（I）的概率。证明如下。概率等于（mathfrak{B}）（一个随机的生成器集）包含\（I）的唯一最小单项式生成器集的每个元素的概率，并且不包含不在\（I。根据定义，这些事件是独立的，可以分解为独立的事件。（mathfrak{B}）包含最小单项式生成器集的每个元素的概率为（p^{beta_1}）。它不包含度不在（I）中的任何非恒定单项式的概率等于（（1-p）^{sum_{D=1}^Dh（k）}，其中（h）是（k[x_1，dots，x_n]/I）的希尔伯特函数。因此：\[P（\mathfrak{I}=I）=P^{\beta_1}（1-P）^{\sum_{d=1}^Dh（k）}。\]以类似的方式，作者用给定的希尔伯特函数（定理2.4）计算和理想（I）的概率，用给定的克鲁尔维数计算（K[x_1，dots，x_n]/I）的概率（定理3.1和3.2）。接下来，研究了（mathfrak{I}）的渐近行为。这包括\（K[x_1，\dots，x_n]/\mathfrak｛I｝\）的Krull维数和\（\mathfrak｛I｝\）的初始阶的阈值函数。在第二至最后一节中，对其他可能的概率模型进行了讨论。本质上，这些是通过改变\（K[x_1，\dots，x_n]\）中单项式的概率获得的。利用一个这样的模型，作者证明了随机单项式理想提供了在[A.科斯塔和M.Farber先生、J.Topol。分析。8，第3期，399–429（2016年；兹比尔1339.05440)]. 文章最后给出了一部分实验数据和推测。它们集中于Cohen-Macaulay性、投射维数、强泛型、Castelnuovo-Mumford正则性和单纯形同调。
审核人：Jorge Neves（科英布拉）

引用于1审查
引用于8文件

MSC公司：

13层55 由单项式理想定义的交换环；斯坦利·雷斯纳面环；单纯复形
13层20 多项式环与理想；整值多项式环
13立方厘米 交换环中其他特殊类型的模和理想
05E40型 交换代数的组合方面
60B99型 代数和拓扑结构的概率论
60二氧化碳 组合概率
1999年第14季度 代数几何中的计算方面
第13页99 交换环的计算方面和应用
16日第25天 结合代数中的理想
05C65号 Hypergraphs（Hypergraph）
68兰特 计算机科学中的图论（包括图形绘制）

关键词：

随机交换代数;单项式理想;随机理想;随机单形复形;Krull维数;贝蒂数;超图横截;随机图

引文：

Zbl 0979.05003号;Zbl 1339.05440号

软件：

SageMath公司;数字Py;MPFR公司;麦考利2;蟒蛇
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.A.De Loera}等人，J.Algebra 519，440--473（2019；Zbl 1435.13021）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Littlewood，J.E。；Offord，A.C.，《关于随机代数方程的实根数》，J.Lond。数学。社会学，S1-13，4，288，（1938）·Zbl 0020.13604号
[2] Kac，M.，关于随机代数方程实根的平均数，Bull。阿默尔。数学。社会学（N.S.），49，314-320，（1943）·Zbl 0060.28602号
[3] 库什尼连科，A.G.，Polyèdres de Newton et nombres de Milnor，Invent。数学。，32, 1-32, (1976) ·Zbl 0328.32007号
[4] Sturmfels，B.，《多项式方程和凸多面体》，Amer。数学。月刊，105，10，907-922，（1998）·兹伯利0988.52021
[5] 贝尔特兰，C。；Pardo，L.M.，Smale的第17个问题：计算仿射解和投影解的平均多项式时间，J.Amer。数学。《社会学杂志》，22，2，363-385，（2009）·Zbl 1206.90173号
[6] Bürgisser，P。；卡克，F.，关于史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale），安·数学（Ann.Math.）提出的一个问题。，174, 3, 1785-1836, (2011) ·兹比尔1248.65047
[7] 艾因，L。；Erman，D。；Lazarsfeld，R.，随机Betti表的渐近性，J.Reine Angew。数学。，702, 55-75, (2015) ·Zbl 1338.13023号
[8] 艾因，L。；Lazarsfeld，R.，代数变体的渐近合成，发明。数学。，190, 3, 603-646, (2012) ·Zbl 1262.13018号
[9] 艾森巴德，D。；Schreyer，F.-O.，分次模的Betti数和向量丛的上同调，J.Amer。数学。Soc.，22，3，859-888，（2009年）·Zbl 1213.13032号
[10] De Loera，J.A。；彼得罗维奇，S。；Stasi，D.，《计算代数中的随机抽样：Helly数和violator空间》，J.符号计算。，77, 1-15, (2016) ·Zbl 1357.68302号
[11] 考克斯·D。；Little，J.B。；O'Shea，D.，《理想、多样性和算法：计算代数几何和交换代数导论》，（2007），施普林格·Zbl 1118.13001号
[12] 艾森巴德，D.，《代数几何视野下的交换代数》，数学研究生教材，第150卷，（1995），斯普林格·Zbl 0819.13001号
[13] 赫尔佐格，J。；Hibi，T.，《单项式理想》，《数学研究生教材》，第260卷，（2011年），施普林格出版社：施普林格大学伦敦分校·Zbl 1206.13001号
[14] 米勒，E。；Sturmfels，B.，组合交换代数，数学研究生教材，第227卷，（2005），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 1090.13001号
[15] Stanley，R.P.，《组合数学和交换代数》，《数学进展》，第41卷，（1996），Birkhäuser Boston，Inc.：Birkháuser波士顿，Inc.马萨诸塞州波士顿·Zbl 0838.13008号
[16] 埃尔德斯，P。；Rényi，A.，《关于随机图》，I，Publ。数学。德布勒森，6290-297，（1959）·Zbl 0092.15705号
[17] Alon，N。；Spencer，J.H.，《概率方法》（2016），威利·Zbl 1333.05001号
[18] Bollobás，B.，《随机图》，（2001），剑桥大学出版社·兹比尔0979.05003
[19] Kahle，M.，《随机单形复数的拓扑：一项调查》，（代数拓扑：应用和新方向。代数拓扑：运用和新方向，当代数学，第620卷，（2014），美国数学学会：美国数学学会普罗维登斯，RI），201-221·Zbl 1333.05324号
[20] Janson，S。；Łuczak，T。；鲁辛斯基，A.，《随机图，离散数学与优化的跨学科系列》，（2000），威利：威利纽约·Zbl 0968.05003号
[21] 拜耳，D。；芒福德，D.，代数几何中可以计算什么？，（计算代数几何与交换代数，（1992），大学出版社），1-48·Zbl 0846.13017号
[22] 科斯塔，A。；Farber，M.，《大随机单形复合物》，I，J.Topol。分析。，08, 03, 399-429, (2016) ·Zbl 1339.05440号
[23] 林尼尔，北。；Meshulam，R.，随机2-络合物的同调连接性，组合数学，26，4，475-487，（2006）·Zbl 1121.55013号
[24] Onn，S。；Sturmfels，B.，《应用前沿》。数学。，23, 1, 29-48, (1999) ·Zbl 0955.52008号
[25] Bigatti，A.M.，给定希尔伯特函数Betti数的上界，Commut。代数，21，2317-2334，（1993）·Zbl 0817.13007号
[26] Hulett，H.，具有给定Hilbert函数的齐次理想的最大Betti数，通信代数，212335-2350，（1993）·Zbl 0817.13006号
[27] Pardue，K.，分级模的变形类和最大Betti数，伊利诺伊州数学杂志。，40, 564-585, (1996) ·Zbl 0903.13004号
[28] Cornuéjols，G.，《组合优化：包装和覆盖》，CBMS-NSF应用数学区域会议系列，（2001），SIAM·Zbl 0972.90059号
[29] Faridi，S.，无平方单项式理想的Cohen-Macaulay性质，J.Combin。A、 109299-329，（2005年）·Zbl 1101.13015号
[30] Dilcher，K.，一些q个-与除数函数、离散数学、。，145, 1, 83-93, (1995) ·Zbl 0834.05005号
[31] Lewin，L.，《多对数及其相关函数》，（1981），Elsevier，North Holland，Inc·Zbl 0465.33001号
[32] Pittel，B.，《关于随机费雷尔图的一种可能形状》，《应用进展》。数学。，18, 4, 432-488, (1997) ·Zbl 0894.11039号
[33] Bárány，我。；Matousek，J.，随机整数凸包，离散计算。地理。，33, 1, 3-25, (2005) ·Zbl 1078.52005号
[34] Grayson，D.R。；Stillman，M.E.，Macaulay2，代数几何研究软件系统，网址：
[35] 开发者，Sage，（2016），SageMath，Sage数学软件系统（第7（3）版）
[36] 福斯，L。；Hanrot，G。；列夫雷，V。；Pélissier，P。；Zimmermann，P.，Mpfr：具有正确舍入的多精度二进制浮点库，ACM-Trans。数学。软件，33，2，（2007）·Zbl 1365.65302号
[37] Ascher，D。；Dubois，P.F。；Hinsen，K。；胡古宁，J。；Oliphant，T.，《数值蟒蛇》（1999），劳伦斯·利弗莫尔国家实验室：劳伦斯·里弗莫尔国立实验室，加利福尼亚州利弗莫尔市
[38] 布伦斯，W。；Herzog，J.，Cohen-Macaulay Rings，（1998），剑桥大学出版社·Zbl 0909.13005号
[39] Kahle，M。；Meckes，E.，随机单形复形Betti数的极限定理，同伦，同伦应用。，15, 1, 343-374, (2013) ·Zbl 1268.05180号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。