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伊戈尔·什帕林斯基（Igor E.Shparlinski）。;Andrew V.萨瑟兰。

寻找具有指定大小的子群的椭圆曲线。 （英语） Zbl 1377.11074号

国际数论 13，第1期，133-152（2017）.
自始至终，设\（k={mathbbF}_q\）是阶的有限域\（q\）。设（G_E=G_E（k））表示（k）上椭圆曲线（E=E_{a，b}:\，y^3=x^2+ax+b\）上（k）-有理点的有限阿贝尔群。对于给定的（k）固定整数（m>0），是否存在这样的椭圆曲线（E）：(*)? 前两位作者从密码学的角度考虑了这个问题，特别是在\（m\）素数的情况下[Found.Comput.Math.14，No.2285-297（2014；Zbl 1312.11048号)]他根据广义黎曼假设（GRH）给出了一个有效的概率解。这个问题也与多项式\（f\neq0\）的构造有关，使得\（f（x）=f（y）\）在\（k\）中有许多解\（x\neqy\）；参见[T.金，莱克特。注释计算。科学。9452, 174–188 (2015;Zbl 1396.11142号)]. 最后，在完成了N.安巴尔和M.朱利埃蒂[J.Algebr.Comb.38，第2期，371–392（2013；Zbl 1295.51014号)].
在所审查的论文中，通过设计算法来考虑上面的问题\（*）\，以找出每当\（q=p>3\）是素数时的对应曲线。给定（varepsilon>0），有一种概率算法，对于带有（p^varepsilon\leqM\leqp^{1/2-varepsillon}）的（M），输出一个整数（M\in[M，2M]\）和一条椭圆曲线（E），使得（G_E\equiv0\pmod{M}\）in（text{exp}（\text{log}p）^{2/5+o（1）}\）。还有一种确定性算法，它给出了（m=o（p^{1/2}（\text{日志}p)^{-4}），输出一条椭圆曲线（E\），在\（{\tilde O}_p（mp^{1/2}）\）时间内具有\（\#G_E\equiv 0\pmod{m}\）。这里曲线的构造基本上依赖于复数乘法理论；参见[A.工程师，数学。计算。78，第266、1089–1107号（2009年；Zbl 1208.11136号)].
审核人：费尔南多·托雷斯（坎皮纳斯）

MSC公司：

11G20峰会 有限域和局部域上的曲线
2006年11月 有限域上的多项式
2016年11月 数字理论算法；复杂性

关键词：

椭圆曲线;可分割性;平滑数;素数二次剩余

引文：

Zbl 1312.11048号;Zbl 1295.51014号;Zbl 1208.11136号;Zbl 1396.11142号
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\textit{I.E.Shparlinski}和\textit{A.V.Sutherland}，《国际数论》13，第1期，133--152（2017；Zbl 1377.11074）
全文： 内政部 arXiv公司

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