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贾拉尔·沙塔赫;曾崇春

扰动sine-Gordon方程的同宿轨道。 （英语） Zbl 1033.35107号

Commun公司。纯应用程序。数学。 53，第3期，283-299（2000）.
作者的目的是构造sine-Gordon方程下列扰动的同宿解\[u个_{tt}-a^2个_{xx}-\sin u=2\varepsilon^\mu u_{txx}+\varepsilon f（t，u，u_t）。\标记{1}\]解（u）被假定为（2π）-周期且在（x）中为偶数；一个假设是（0<\varepsilon\leq 1）、（1\leq\mu<2）和（a\in（{1\over 2}，1））\（f（t，u，u_t）\）是光滑的，\（t \）-在\（t \）中是周期的，并且具有以下形式\[f（t，u，d）=\gamma u+f1（t，u，d），\quad（\partial_uf1）（t，0,0）=（\parcial_d f_1）（t,00）=0\tag{2}\]使用\（\gamma\）一些常量。对于（varepsilon=0），逆散射方法产生了众所周知的同宿解\[b（x，t）=4\tan^{-1}（（σ\cosx）（σ\σt）^{-1{），标记{3}\]其中\（\sigma=（1-a^2）^{1\over2}}\）。一个是（b（x，t）=0（e^{-\sigma|t|}）。从ODE理论中，我们可以找到一个唯一的独立于（x）的解（p（t，varepsilon））\[u个_{tt}-\sin u=\varepsilon f（t，u，u_t）\tag{4}\]它是\（T\）-周期，单位为\（T\）；一个值为（p（t，\varepsilon）=0（\varepsilon））。现在，我们寻求以下形式的（1）的解（u（x，t，varepsilon）\[u（x，t，\varepsilon）=p（t，\warepsilons）+b（x，t-\alpha）+r（x，t\varepsilen），\tag{5}\]其中，\（r（x，t，\varepsilon）\）是要查找的函数，它必须满足\（\lim\{r（t）\}_{H^1}=0\）as \（|t|\to\infty\）。这里，（H^1）是函数的Sobolev空间（sum a_n\cos nx），（sum |a_n |^2n<infty），而要确定（[0，T]\中的alpha）。主要结果（定理2.7）断言，如果涉及（α）的某个技术条件得到满足，那么对于足够小的（varepsilon），存在形式（5）的（1）解（u（x，t，varepsilen）。因此，该解与\（p（t，\varepsilon）\）同宿。在相当复杂的证明中，第一步相当于将（5）的右手边插入（1）中，以获得（r（t，x，\varepsilon））的方程，该方程采用以下形式\[第页_{tt}-一个^2 r_{xx}-2\ε^\μr_{txx}-（cos p+varepsilon f_u（t，p，p_t））r-\]其中，\（m（x，t，\varepsilon，\alpha）\）、\。在研究了（6）左侧的线性部分之后，将Lyapunov-Schmidt方法应用于（6）。然后，与Lyapunov-Schmidt方法相关的正交性条件导致定理2.7中的技术条件，该条件相当于要求某个Melnikov函数\（E（\alpha）\）在[0，T]\中具有简单的零\（\alpha\）。
审核人：布鲁诺·斯卡佩里尼（巴塞尔）

引用于14文件

MSC公司：

第35季度53 KdV方程（Korteweg-de-Vries方程）
37千50 无限维哈密顿和拉格朗日系统的分岔问题
37K99型 无穷维哈密顿和拉格朗日系统的动力学系统方面

关键词：

同宿解;扰动，扰动;正弦戈登方程;Lyapunov-Schmidt方法;梅尔尼科夫函数
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Shatah}和\textit{C.Zeng}，Commun。纯应用程序。数学。53，第3号，283--299（2000；Zbl 1033.35107）
全文： 内政部

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