安德烈·沃罗斯 Zeta函数超过Zeta函数的零。 （英语） Zbl 1206.11106号 意大利马特马提卡联合会演讲稿8.柏林：施普林格出版社（ISBN 978-3-642-05202-6/pbk；978-3-442-05203-3/电子书）。十六、163页。(2010). 设（rho）是Riemann-zeta函数（zeta（s））的非实零点。然后它可以写成\（\rho=\frac12\pm i\tau\），其中\（\text｛Re｝（\tau）>0\），因此\（\rho（1-\rho）=\frac14+\tau^2）。本书讨论了通过对这些零进行求和而得到的三种类型的和，它们被称为superzeta函数。第一种是\[\sum_\rho（z-\rho）^{-s}，\qquad\text{Re}（s）>1，\]其中，总和遍历所有\（\rho\），每个都根据其重数重复。这里定义了\（（z-\rho）^{-s}=\exp（-s\log（z-\ rho））\），其中取对数的主分支。为了避免出现不连续点或未定义的对数点，可以限制移位参数\（z），即对于每个\（rho），数字\（z-\rho）位于切面\（{mathbb C}\ smallsetminus（-\infty，0]\）。在类似的限制下，可以定义第二种，\[\sum_\tau（z+\tau^2）^{-s}，\qquad\text{Re}（s）>\frac12，\]第三个，\[\sum_{\tau}（z+\tau）^{-s}，\qquad\text{Re}（s）>1。\]在这三种情况下，主要的问题是解析延拓和后续函数的解析性质。请注意，第三种类型是对称性（\rho\mapsto（1-\rho））被破坏的唯一类型。因此，毫不奇怪，第三类函数在分析上不如前两类函数表现得好。本书的主要结果是在任何一种情况下都可以读出亚纯延拓（in（s））的显式表达式。此外，还给出了各种特殊值。然后将结果推广到更一般的Dirichlet-series，而不仅仅是\（\ zeta（s）\），但这里将施加技术限制，只留下非常接近\（\ zeta（s）\的函数。作为应用，给出了黎曼假设真值的一个新判据。这本书的主要章节需要大量的技术准备，包括从文献中获得的已知事实，这些事实收集在书的前四章中。接下来介绍了超zeta函数，然后对这三种类型进行了仔细分析，对更一般的Dirichlet级数进行了扩展，以及应用，这是黎曼假设的一个新标准。这本书写得非常仔细，并且提出了一个研究对象，该研究对象已经被研究了几十年，但从未以如此全面的方式进行过处理。对解析数论领域的宝贵贡献。审核人：安东·迪特玛（图宾根） 引用于1审查引用于12文件 MSC公司： 11米26 \（zeta（s）\）和\（L（s，chi）\）的非实数零；黎曼和其他假设 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 11立方米 Selberg-zeta函数与正则行列式；谱理论、狄里克莱级数、艾森斯坦级数等的应用（显式公式） 11米41 其他Dirichlet级数和zeta函数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Voros}，Zeta函数超过Zeta函数的零。柏林：施普林格出版社（2010；Zbl 1206.11106） 全文： 内政部