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安托万·德里赫蒂

群上的卷积算子。 （英语） Zbl 1233.43001号

意大利马特马提卡联合会演讲稿11.柏林：施普林格出版社（ISBN 978-3-642-20655-9/pbk；978-3-662-20656-6/电子书）。xii，171页。(2011).
本书介绍了卷积算子在抽象调和分析上下文中的重要性，特别强调了非对易群。
如果（G）是局部紧群，则线性算子（T:L_p（G）到L_p卷积算子，以符号\（CV_p（G）\中的T\）表示，前提是它使用左转运算符进行交换。也就是说，为每个（G中的a）和（L_p（G）中的phi）提供\（T（{}_a\phi）={}_a（T（\phi。
卷积算子的这个定义让人想起算子代数中熟悉的工具。特别地，它将（CV_2（G）与（G\），（VN（G）\）的von Neumann代数相结合。因此，我们可以说卷积算子为冯·诺依曼代数的元素提供了伪装，这使得在（L_p）上下文中识别它们的类似物变得容易。当（G）是阿贝尔函数时，定义可以进一步用傅里叶分析来解释，并且（CV_2（G））用（L_（L_）infty（widehat{G}）来标识。在这种情况下，如（CV_p（G）\子集CV_2（G），那么可以根据傅里叶变换检查\（CV_p_（G））的许多性质。
在整本书中，当（p\neq2）和（G\）不是阿贝尔时，（CV_p（G））就变成了一个相当笨拙的对象。（p=2）和（G）Abelian的理论可以被视为属于傅里叶分析的经典时代，而（p\neq 2）的结果植根于卡尔·赫兹的工作，早期的发展是由埃马尔、洛韦和作者本人完成的。
本书的大部分内容都致力于说明关于（G）Abelian和（p=2）的（CV_p（G））的经典结果在多大程度上可以推广到一般局部紧群和不同的（p）。这篇文章中的一个重要特征是代数（PM_p（G）），即（G）上的伪测度代数，它将其Banach前对偶，即Figá-Talamanca-Herz代数引入了场景。实际上，这个故事中最大的谜团之一是，对于每个局部紧群（G）和每个（p），（PM_p（G）是否等于（CV_p（G））。
本书中披露的一些主要结果简述如下：
第二章致力于证明（CV_2（G））与集的双commutant（{lambda_G（delta_x）：x\in G\}），从而与（VN（G）\）的上述标识，其中\（lambda_ G\）表示左正则表示。然而，这仅适用于单模块\（G \），避免了一般结构，因为J.迪克斯米尔[注释.数学Helv.26，275–322（1952；Zbl 0047.35601号)]. 现在，von Neumann代数的一般理论通过形式为（lambda_G（mu））的算子提供了对（CV_2（G））元素的逼近定理，其中（mu。
第三章介绍了图-Talamanca-Herz代数（A_p（G）），它对于（p=2）与Fourier代数（A（G）重合。作者如下R.Spector公司[公牛社会数学，法语，补遗，MéM.24，94 p.（1970；Zbl 0215.18603号)]证明\（A_p（G）\）是Banach代数（一个非常重要的事实，首先由C.赫兹[C.R.科学院，巴黎260，6001–6004（1965；兹伯利0135.35404)]).
第四章介绍了（G）上所谓伪测度的代数（PM_p（G）），作为（mathcal{L}（L^p（G），）中的（lambda_G^p（M^1（G）。有了这个定义，很明显，（PM_p（G）子集CV_p（G））和第二章的结果表明，对于单模（G），（PM_2（G）=CV_2（G。如上所述，本书中留下的最有趣的问题可能是对于每个局部紧群（G），（PM_p（G））是否等于（CV_p（G））。在定义之后，作者立即证明了（PM_p（G））可以自然地与（A_p（G））的对偶Banach空间相一致。本章以全纯函数如何在\（A_p（G）\）上操作的远足结束。
第5章将（CV_p（G））表示为一个（A_p（G））-模，并最终证明了可修正（G）的等式（CV_p_（G）=PM_p（G\）。这可能是已知等式的最一般的局部紧群类。第5章的注释中给出了满足相同等式的非单元群的例子。
第6章致力于介绍正确的支持对于\（CV_p（G）\）的成员。当然，这是以这样一种方式完成的，即简化为已知的支持度量、伪度量和元素的概念。牛头座定理拉维纳然后根据以下轨迹获得C.赫兹【《傅里叶年鉴》第23卷第3期，第91–123页（1973年；Zbl 0257.43007号)].
第七章的主要定理证明了从（A_p（G）到（A_p-（H）的限制映射是一个压缩满射映射，几乎是等距的。这与（G）的每个闭子群是否是（p）-综合集的问题密切相关。卷积算子在这里展示了它们的主要应用：如果（PM_p（H）=CV_p。因此，闭顺从子群是（p）-合成集，所有闭子群是2-合成集，参见J.德拉波特和A.德里格蒂[《美国数学学会学报》第129卷，第5期，1427-1435页（2001年；Zbl 0957.43001号)]了解更多信息。
第八章最后将包含（CV_p（G）子集CV_2（G））从Abelian推广到可容许群，并给出了Herz包含（a_2（G。
审核人：豪尔赫·加林多（卡斯特隆）

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MSC公司：

43-02 与抽象谐波分析相关的研究综述（专著、调查文章）
43A45型 群、半群等的谱合成。
43A05型 关于群和半群等的度量。
43A07型 群、半群等的平均值。；顺从群体
43A10号 群、半群等上的测度代数。
43甲15 \群、半群等上的（L^p\）-空间和其他函数空间。
43A20型 \群、半群等上的（L^1）-代数。
43A22型 群、半群等上函数空间的同态和乘数。
43年46日 特殊集（薄集、Kronecker集、Helson集、Ditkin集、Sidon集等）

关键词：

卷积算子;正规表示法;局部紧群;顺从群体;傅里叶代数;图a-Talamanca-Herz代数;伪测量;合成集合;合成集

引文：

Zbl 0047.35601号;Zbl 0215.18603号;Zbl 0135.35404号;Zbl 0257.43007号;Zbl 0957.43001号
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\textit{A.Derighetti}，群上的卷积算子。柏林：施普林格出版社（2011；Zbl 1233.43001）
全文： 内政部