帕特森，S.J。 关于H.a.Schwarz的一个问题。 （英语） Zbl 1476.14005号 斯托克。动态。 21，第3号，文章ID 2140004，14 p.（2021）. 设（d_{12}，d_{34}）是四面体的边长。Lagrange和Cayley-Menger的公式将其体积的平方表示为（d_{ij}的平方中的3次齐次多项式。这相当于说集合（（V，d_{12}，\ldots，d_}34}）是由等式（y^2-P（X{12}，\ldot，X{34}，=0）给出的（6）维代数簇（X）的一个点。作者讨论了包括赫尔曼·施瓦茨和库尔特·希格纳在内的多位德国数学家对这一变体的研究历史。本文的另一个目的是根据Heegner的思想证明（X）over（mathbb{Q}（sqrt{-1}）的合理性。这一结果的原始证明可以在奥托·舒尔茨的论文中找到[欧·舒尔茨，《Tetraeder mit rationalen Maßzahlen der Kantenängen und des Volumens》，莱比锡论文（1912）]。证明是基于Kummer和Weddle四次曲面的美丽几何。众所周知，在四次Kummer曲面上分支的（mathbb{P}^3）的双覆盖在复数上是有理的（它是由有理Segre三次素数从其非奇异点的投影定义的）。Heegner的想法是通过沿着特殊Kummer曲面（四面体）分支的（mathbb{P}^3）的双层覆盖在三维投影空间上纤维（X）。基于Weddle四次曲面和Kummer四次曲面之间的经典已知关系，给出了该纤维的显式公式，证明了一般纤维在纯超越扩张（mathbb{Q}（a，b，c）上是有理的，从而证明了（X）在（mathbb{Q}\）上的合理性。审核人：伊戈尔·多尔加切夫（安娜堡） MSC公司： 14-03 代数几何史 14层28 \（K3）曲面和Enriques曲面 11G30型 全局域上任意亏格或亏格的曲线（\ne 1\） 01A60型 20世纪数学史 14小时45分 特殊代数曲线和低亏格曲线 14米20 理性品种和非理性品种 关键词：Cayley-Menger公式;四面体;Kummer曲面;对称液;品种的合理性;有理四边形和四面体 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.J.Patterson}，斯托克。动态。21，第3号，文章ID 2140004，14页（2021；Zbl 1476.14005） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Baker，H.F.，《乘法周期函数》（剑桥大学出版社，1907年）。 [2] Booker，A.R.，Sijsling，J.，Sutherland，A.V.，Voight，J.和Yasaki，D.，有理数上第2类曲线的数据库，LMS J.Compute。数学。A19（2016）235-254·Zbl 1404.11090号 [3] Cassels，J.W.S.，《丢番图逼近导论》（剑桥大学出版社，1965年）·Zbl 0077.04801 [4] Cassels，J.W.S.和Flynn，E.V.，《第2类曲线的中眉算法序言》，第230卷（剑桥大学出版社，1996年）·Zbl 0857.14018号 [5] 科斯格罗夫，被遗忘的天才的故事，数学。Intell.3（1981）142-144。 [6] D'Andrea，C.和Sombra，M.，Cayley-Menger行列式对于（n\geq3），Sib是不可约的。数学。J.461（2005）71-76·Zbl 1081.52007年 [7] L.E.Dickson，《数字理论史》，第二卷（华盛顿卡内基研究所，1919年），再版（切尔西，1952年）。 [8] 埃奇，W.L.，卡纳德Kummer表面的新面貌。《数学杂志》19（1967）952-967·Zbl 0156.41304号 [9] Edge，W.L.，特殊楔形曲面的非直角模型，数学。程序。剑桥Phil.Soc.80（1976）399-418·兹比尔0342.50005 [10] Elsenhans，A.-S.和Jahnel，J.，Kummer曲面和Picard群的计算，LMS J.Compute.15（2012）84-100·Zbl 1297.14043号 [11] Gonzalez-Dorrego，M.R.，（（16,6））《Kummer曲面的构型和几何》，第512卷（美国数学学会，1994年）·Zbl 0809.14032号 [12] Hartshorne，R.，《代数几何》（Springer-Verlag，1977）·兹伯利0367.14001 [13] Hartshorne，R.和Luijk，R.V.，非核素勾股三元组，K3曲面上的欧拉和有理点问题，数学。Intell.30（2008）4-10·Zbl 1227.14039号 [14] Hassett，B.和Tschinkel，Y.，《关于Fano三重曲面和del Pezzo曲面的稳定合理性》，J.Reine Angew。数学757（2019）275-287·Zbl 1503.14014号 [15] Heegner，K.，Reduzierbare Abelsche Integrale und transformerbare automorphere Funktitonen，数学。Ann.131（1956）87-140·Zbl 0075.26601号 [16] R.W.H.T.Hudson，《库默的四次曲面》（剑桥大学出版社，1905年）（转载于剑桥数学图书馆，1990年）·Zbl 0716.14025号 [17] Jessop，C.M.，《奇异点的四次曲面》（剑桥大学出版社，1916年）。 [18] Kummer，E.E.，Un ber die Vierecke，deren Seiten und Diagonalen rational sind，J.Reine Angew。数学37（1848）1-20。 [19] R.v.Luijk，与Heron三角形相关的椭圆K3曲面，预印本（2004），arXiv:math/0411606v1·Zbl 1160.14029号 [20] Mordell，L.J.，《丢番图方程》（学术出版社，1969年）·Zbl 0188.34503号 [21] F.Neiß，Rational Dreiecke，Vierecke und Tetraeder，论文，莱比锡（1914）。 [22] 肖特基（F.Schottky），《贝齐亨根·兹维申登·塞克斯岑（Beziehungen zwischen den sechszehn Thetafunctionen von zwei Variablen）》，J.雷恩·安格尔（J.Reine Angew）。数学105（1889）233-249。 [23] 肖特基，F.，UE ber einige Kurven-und Flächengleichungen，die mit der Algebra der Thetafunktitionen zusammenhängen，J.Reine Angew。数学.146（1916）128-155。 [24] O.Schulz，《Tetraeder mit rationalen Maßzahlen der Kantenängen und des Volumens》，莱比锡论文（1912）。 [25] Snyder，V.，《四元（1,2）对应于Weddle和Kummer曲面的应用》，Trans。阿默尔。数学。Soc.12（1911）354-366。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。