伯恩德·韦格纳 距离完整性、最大弦和球体中的恒定宽度。 （英语） Zbl 1025.52001号 J.工厂。科学。，阿联酋大学。 11，第1期，125-130（2001）. 对于二维单位球面（S^2），作者讨论了（E^2）中凸集的一些性质的对应项。这里有一些例子。设\（D\）是\（S^2）中的紧致非空集，\（Delta=Delta（D）\）是它的直径。如果距离（D（p，q）=Delta\），则点\（D中的p，q\）被称为\（\mathbf{diameter}\）\（\mathbf{pair}\）。如果（Delta<\pi）和对于每一个（部分D中的p）都存在（q），使得配对（p），（q）是直径，则集合（D）被称为CDP（相对于直径对而言是完整的）。如果它是CDP，并且对于每个直径对（p，q\ in \ partial D\），它是最短的测地线段\（overline{pq}\ subset D\）。（例如，四面体内接到（S^2\子集E^3）中的顶点集（V）是CDP，而不是CDS。）作者将黎曼空间中的绝对凸集的定义调整为他的设置，如下所示。具有非空内部的（S^2）中的紧集（D）称为（mathbf{绝对}）（mathbf{凸}）if（Delta（D）<\pi），如果对于D中的任何一个（p，q），则段（上划线{pq}子集D）和（上划线}部分D\子集p，q}）。在这些方面，作者证明了以下几点：提议1。直径为\（Delta（D）<\pi/2\）的任何CDP-set \（D\）都有一个绝对凸延拓\（\widehat D\ supset D\），这是一个相同直径的CDS-set。此外，\（\partial D\subset\partial\widehat D\）。提议2。如果\（D\）是一个直径\（Delta（D）<\pi/2\）的CDS-集，那么\（D_）肯定是凸的。作者还考虑了（S^2）中的完备集，他称之为SMD（关于最大距离的饱和）。也就是说，如果加上任意一点（S^2中的p减去D）将增加（D\）的直径，则称集合\（D\子集S^2 \）为SMD。与欧几里德的情况相反，（S^2）中的完备性并不表示等宽（自然定义）的物体。例如，上面的集合（V）是SMD，但不是一个恒定宽度的体。提案3。设（D\子集S^2）和（Delta（D）<\pi/2\）。那么以下是等效的：a） \（D\）宽度恒定。b） \（D\）是SMD集合。c） \（D\）是一个CDS集合。审核人：鲍里斯·德克斯特（萨克维尔） 引用于1文件 MSC公司： 52A05型 无尺寸限制的凸集（凸几何方面） 关键词：单位球面；凸形体；恒定宽度；成套设备；直径弦；球面几何 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Wegner}，J.法医。科学。，阿联酋大学11号，第1期，第125--130页（2001年；Zbl 1025.52001年）