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豪尔赫·科多维兹;门托，莱特里奥;圣地亚哥，塔伊兹

舒伯特微积分中的牛顿二项式公式。 （英语） Zbl 1168.14038号

修订材料完成。 第1129-152号第22页（2009年）.
用（G（k，n）表示（C^n）的复Grassmanian变种参数化（k）维子空间。基于L.加托【亚洲数学杂志9，第3期，315–321（2005；Zbl 1099.14045号)]和T.圣地亚哥【博士论文，Politecnico di Torino（2006）】作者使用它，根据基于秩自由（Z）-模的外部代数推导的形式主义，重新构造了经典Schubert演算。
作者在本文中的主要几何动机是计算在给定的（2n）个不同点上具有柔性的非投影等价有理空间曲线（n+3）的总数及其重数。众所周知，这样的数是有限的，并且等于舒伯特循环的适当乘积的次数。这是一个特殊的案例，正如审稿人和B.奥斯曼【2003年国际数学研究报告，第47号，2513–2527（2003；Zbl 1074.14506号)]，在指定的不同点上找到具有预先分配的分支的\（P_1\）上的\（｛g^r｝_d\）s的数。 
本文的主要结果是关于某些牛顿二项式公式的定理2.5和2.6，这些公式不能用经典的舒伯特演算形式表示。这样的公式使我们能够在有限的多个步骤后，将舒伯特循环的任何顶余维乘积的度减少为舒伯特变种度的显式线性组合。 
论文组织如下。设（X）是（Z）上的一个不定项，（M_n）是（Z-模（XZ[X]/（X^{n+1}））。在第1.1小节中，证明了（M_n）是一个自由（Z）模，这里定义了多指标集（{I子集n}^k）的权重。在1.2小节中，引入了所有小于或等于（n）的（k）正整数严格递增序列的字典序集（{I^k}_n）。他们证明了（M_n）的第（k）次外幂，这里表示为（楔形）k M_n是一个分次（Z）模。在第1.3小节中，引入了（楔形^k M_n）的基本元素和点元素。在第1.4小节中，引入了序列（D=（D_0，D_1，ldots，）），它们是（楔形M_n）的自同态，具有两个性质：第一个是所谓的Leibniz规则，第二个是初始条件；这里两个公式都命名为（3），因此（D_h）是度（h）的齐次。接下来是\（D_i\circ D_j=D_i\ circ D _j\）。在第1.5小节中，定义了度（int_n:\wedge ^k M_n\rightarrow Z），在第1.6小节中，他们定义了每个（I）的Schur行列式，这里表示为（Delta_I（T））。在第1.7小节中，证明了（A^{*}（G（k，n））是由（Delta_I（sigma））给出的自由（Z）模。在1.8小节中定义了映射（D_t:\wedge M_n\rightarrow\wedget M_n[t]]，{D_t}^{-1}），并获得了它们的一些形式性质。1.10小节使用图（6）构造了一个交换子代数（{mathcal a}^{*}（\wedge M_n）\simeq a^{*{}（G（k，n）），以表明这种同构与帽积和（wedge ^k M_n，over）上的模结构兼容。他们还计算了\（P（\sigma）\cap\Omega_I\）的度。
在第二节中，他们证明了命题2.2中用（{D_1}^jp）表示（{D_1}^m（p\wedge q）的展开式^{m-j}q\)对于每个（p，q\in\wedget M_n）。这是公式（3）的推广，并通过归纳法证明。在引理2.4中，他们给出了一个公式，这里表示为公式（11），它是公式（3）中给出的莱布尼茨规则的推广。定理2.5在这里被陈述和证明，这里所陈述的公式是一种将特殊舒伯特循环的任何乘积表示为形式为\（｛\sigma_1｝^m\cap\sigma_I\）的乘积的积分线性组合的算法。通过公式（11）的归纳再次证明了算子（{D_i}）是成对交换的。定理2.6同样通过归纳法得到证明。
在第三节中，作者证明了第3.1小节中的公式（16）和命题3.2中的公式（17）以及命题3.3中给出的三个等式。在第四节中，使用第三节中得到的公式，得到了在（r=1,2,3）的指定点处具有指定分支的（P_1）上的（{g^r}_d）个数的表达式。在第4.1小节和第4.2小节中，作者回顾了密切标志、一点的（V）阶和一点的分支部分的定义，其中（V）是（P_1）上的（{g^r}_d），当一组舒伯特变种是横向尺寸在第4.3小节的定理4.5中，他们陈述并证明了所谓的Scherbak公式。在第4.7小节定理4.8中，他们计算了（N_{a，b，c，d}），这是在（a+b+c+d）不同点处具有（a+2b+2c+3d=3n\）个弯曲、（b\）个超弯曲、（c\）个尖点和（d\）个节点的投影非等价有理平面曲线的数目。在第4.9小节定理4.10中，作者计算了在（a+b+c+d）不同点处具有（a+2b+2c+3d=4n）暂停、（b）超高、（c）弯曲和（d）尖点的所有射影非等价有理空间曲线的数目（f_{abcd}）。最后，在第4.11小节中，作为定理4.7的一个特例，他们计算了在指定的不同点处具有（2n）超高的有理空间曲线的数量（HS_n）。
审核人：Isidro Nieto Baños（瓜纳华托）

引用于4文件

理学硕士：

14N15号 经典问题，舒伯特微积分
14月15日 格拉斯曼流形、舒伯特流形、旗流形
15A75号 外代数，格拉斯曼代数

关键词：

格拉斯曼人;舒伯特变种;标志歧管;经典问题;舒伯特演算;外代数;格拉斯曼代数

引文：

Zbl 1099.14045号;Zbl 1074.14506号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Cordovez}等人，修订版材料完成。22，第1号，129--152（2009；Zbl 1168.14038）
全文： 内政部 arXiv公司 欧洲DML