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卡玛·达贾尼;科尔·克拉伊坎普

最优连分式的Gauss-Kusmin定理。 （英语） 兹布尔0921.11040

事务处理。美国数学。Soc公司。 351，第5期，2055-2079（1999）.
表示实数（[0,1）中的正则连分式（RCF）展开式\[\xi=\frac{1}{d1+\frac{1}}{d2+\ddots+\frac}{dn+\ddot}}}=[0；d1，d2，\dots，dn，\dots]\]高斯在没有任何证明的情况下观察到，而库斯明首先证明了对于（z\in[0,1]\）\[\lim_｛n\to\infty｝\lambda（[0,1）中的\｛\xi\；T^n\xi\leq z\｝）=｛\log（1+z）\over\log 2｝，\]其中，\（lambda）是Lebesgue测度，RCF算子\（T:[0,1）\ to[0.1）\）定义为\[T\xi:={1\over\xi}-\left\lfloor{1\ver\xi}\right\rfloor，\quad\xi\neq 0；\四元T0:=0。\]这就是所谓的高斯-库斯明定理。
本文的目的是获得最优连分式（OCF）展开的Gauss-Kusmin定理。设置\（g=（\sqrt 5-1）/2\）和\（g=g+1\）。结果表明，对于\（z\ in[-1/2，g]\）\[\lambda\{xi\ in[-{1\over 2}，{1\ver2}）：T_{text{ocf}}^n\xi\leq z\}=\mu_{text{ocf}}（[-{2\over 2}，z]）+\mathcal O（g^n），\]其中，（mu{text{ocf}}）是密度为（d_{text{ocf}}\）的（[-{1\over2}，z]\）上的概率测度，由下式给出\[d_{\text{ocf}}=\begin{cases}{1\over\log G}{2x+1\over2x^2+2x+1}&\text{if\（-{1\ over2}\leqx\leq-G^2\）}，\\{1\ver\log G}{x+1\ overx^2x2}&\text{if\ ^2\超过（x^2+2x+2）（2x^2-2x+1）}&\text{if\（{1\超过2}\leqx<G\）}，\end{cases}\]如果是\[\xi=[0；\varepsilon_1b_1，\varepsilon_2b_2，\dots，\varebsilon_{n} b条_{n} ，\dots]=\frac{\varepsilon_1}{b1+\frac}\varepsilon_2}{b2+\ddots+\frac{\varesilon_n}{b_n+\ddot}}}\]是\（\xi\）的OCF展开式。即，\（\varepsilon_n=\pm 1\）\（b_0\in\mathbb Z\）\（b_n\in\mathbb n），（（n\geq 1）），（varepsilon_{n+1}+b_n\geq 1\）（在无限情况下，（geq 2）无限频繁）（。此外，对于\（A_n/B_n=[0；\varepsilon_1b_1，\varepsilon_2b_2，\dots，\varebsilon_{n} b条_{n} 分母（B_n）的增长速度最大（最快），（sup{theta_k:theta_k：=B_k|B_k\xi-A_k|\}）最小（最接近）。通过使用第二作者的结果，我们继承了OCF展开式在度量上同构的事实[C.克拉伊坎普，公牛。社会数学。Fr.121、117-131（1993年；Zbl 0795.11030号)]. 证明是在最大S展开式上完成的，其中最近整数连分式（NICF）、Hurwitz奇异连分式和OCF是示例。
审核人：小松高（Tsu）

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MSC公司：

11公里50 连分式的度量理论
2005年第28天 测量-保护转换

关键词：

高斯-库斯明定理;最佳连分式;最近整数连分数;奇异连分式;\（S\）-展开

引文：

Zbl 0795.11030号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛K.Dajani｝和\textit｛C.Kraaikamp｝，翻译。美国数学。Soc.351，No.5，2055--2079（1999；Zbl 0921.11040）
全文： 内政部

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