查克拉波蒂，迪比亚扬;桑迪普·达斯;穆克吉、乔伊迪普 关于字符串图的一些子类的支配集。 （英语） Zbl 1496.05123号 计算。地理。 107，文章ID 101884，21 p.（2022）. 图（G=（V，E）的交集表示是（mathcal）的族{R} u（_u）\}\)\（u\ in V\）设置为\（uv\ in E\）当且仅当\（{\mathcal{R} u（_u）}\大帽子{\mathcal{R} _v（_v）}\neq\emptyset\）。当\（mathcal{R}\）是几何对象的集合时，称其为\（G）的几何交集表示。当\（\mathcal｛R｝\）是平面上简单无界曲线的集合时，它被称为字符串表示。如果图\（G\）具有字符串表示，则图\（G \）是字符串图。字符串图很重要，因为它包含\（\mathcal{R}^2\）中所有连通集的交集图。弦图在实际应用和理论上都得到了深入的研究。S.Benzer公司[“关于遗传精细结构的拓扑结构”，Proc.Natl.Acad.Sci.45，No.11，1607–1620（1959；doi:10.1073/pnas.45.11.1607)]在探索遗传结构拓扑时引入了字符串图。F.W.辛登【贝尔系统技术期刊451639–1662（1966年；Zbl 0144.45601号)]被认为是贝尔实验室的相同结构。1976年，Graham在Keszthely的一次公开问题会议上向数学界介绍了字符串图。自那时以来，许多研究人员对字符串图进行了广泛的研究。平面图、弦图、协同可比图、圆盘图、矩形相交图、线段图和圆弧图等图类是字符串图的子类。平面上弧连通集的任何交集图都是字符串图。然而，并非所有的图都是字符串图，这就是为什么人们研究字符串图及其子类中各种优化问题的计算复杂性的原因。本文针对字符串图上的最小控制集（MDS）问题，提出了常数因子近似算法。图（G=（V，E）的支配集是顶点（V\）的子集（D\），使得（V\反斜杠D\）中的每个顶点都与（D\。最小支配集（MDS）问题是寻找图的最小基数支配集。读者可以通过以下方式阅读该论文M.Chlebík先生和J.Chlebíková【Inf.Compute.206，No.11，1264–1275（2008；Zbl 1169.68037号)]查看不可能在字符串图上近似MDS问题。因此，研究人员被迫为字符串图的各种子类上的MDS问题开发近似算法。平面图、弦图、圆盘图、单位圆盘图、矩形交集图、凸对象的同调交集图等都是例子。德伯格（M.de Berg）等【理论计算科学769，18-31（2019；Zbl 1421.68071号)]研究了各类几何相交图上MDS问题的定参数可处理性。T.Erlebach公司和E.J.van Leeuwen先生【法学注释计算科学4957、747–758（2008；Zbl 1136.68568号)]给出了（r）-正多边形相交图的常数逼近算法，其中，（r）是任意常数，适用于两两同源三角形和长宽比有界的矩形。A.阿西诺夫斯基等人[J.Graph Algorithms Appl.16，No.2129-150（2012；Zbl 1254.68184号)]引入了（B_k）-VPG图的概念，在年内开始了对字符串图及其子类的系统研究。路径是由轴平行线段组成的简单直线曲线，弯曲路径是具有弯曲的路径。VPG图是弯曲路径的交集图。Asinowski等人已经证明，对于某些字符串图，任何字符串图都有一个（B_k）-VPG表示。M.J.卡茨等人【计算地质学30，第2期，197-205（2005；Zbl 1162.68751号)]证明了MDS问题在\（B_0\）-VPG图上的NP硬度。一个有趣的事实是，（B_0）-VPG图上MDS问题的亚对数近似算法仍然未知。需要注意的是，具有单位长度的正交段的交图，即单位\（B_0\）-VPG图是\（B_0\）-VPG图的一个子类。本文证明了单位（B_0）-VPG图上的MDS问题是NP-hard问题。这一结果加强了Katz等人[loc.cit.]的结果。他们还提出了单位（B_0）-VPG图上MDS问题的第一恒因子近似算法。具体来说，作者证明了以下定理。定理1。用（k\geq0）求解单位（B_k）-VPG图上的MDS问题是NP-Hard问题。定理2。给定具有（n）个顶点的图（G）的单位（B_0）-VPG表示，有一个（O（n^5））时间18-近似算法来解决（G）上的MDS问题。定理3。给定具有（n）个顶点的图（G）的单位（B_k）-VPG表示，有一个（O（k^2n^5）-time（O（k ^4）-近似算法来解决（G）上的MDS问题。定理4。给定具有（n）个顶点的图（G）的垂直稳定L表示，有一个（O（n^5））时间8-近似算法来解决（G）上的MDS问题。定理5。假设唯一游戏猜想为真，对于任意（epsilon>0）的矩形重叠图上的MDS问题，不可能有多项式时间（（2-\epsilon））近似算法。定理6。给定具有（n）个顶点的图（G）的有刺矩形重叠表示，存在（G）上MDS问题的（O（n^5））时间656近似算法。对角锚定矩形的区间重叠图和交集图是有刺矩形重叠图。注意，不同的作者已经研究了优化问题的近似算法，如“刺伤”几何对象相交图上的最大独立集和最小命中集。定理2、3、4和6的证明使用了两个关键引理。第一个是关于射线SSR刺入段第二个问题是由Katz等人[loc.cit.]提出的与段SRS问题有关的刺穿射线。SSR和SRS问题的定义如下。射线刺入段SSR。输入：一组不相交的左向水平半无限射线和一组不相连的垂直线段。输出：与\（V\）中所有线段相交的\（R\）的最小基数子集。用SRS段刺穿射线。输入：一组不相交的左向水平半无限射线和一组不相交的垂直线段。输出：与\（R）中所有光线相交的\（V）的最小基数子集。设\（\mathrm{SSR}（R，V）\）（resp.\（\mathrm{SRS}（R，V））表示一个SSR实例（resp.一个SRS实例），其中\（R\）是一组给定的不相交的左向水平半无限射线，\（V\）是给定的一组不相交的垂直线段。Katz等人[loc.cit.]给出了基于动态规划的多项式时间算法，用于SSR问题和SRS问题。在这里，为了证明定理2、3、4和6，作者开发了SSR最优解的基数比的上界实例（和SRS实例）具有相应松弛LP公式的最佳成本。因此，他们证明了以下引理。引理1。设\（C\）是\（mathrm{SSR}（R，V）\）实例的ILP公式。存在一种计算集\（D\substeqR\）的\（O（（（n+m）\log（n+m））时间算法，它给出了\（C\）和\（|D|\leq2\cdot\mathrm｛OPT｝（C_1）\）的可行解，其中\（n=|R|，m-|V|\）和\（C_1\）是\（C\）的松弛LP公式。引理2。设\（C\）是SRS（R，V）实例的ILP公式。有一个（O（n）log n）时间算法来计算集合（D subsetneq V），它给出了（C）和的可行解\（|D|\leq 2\cdot\mathrm{OPT}（C_1）\）其中\（n=|V|\）和\（C_1\）是\（C\）的松弛LP公式。为了证明上述引理，作者没有显式地求解LP（s）。此外，由于（\mathrm{OPT}（C_1）\leq\mathrm{OPT{（C）\），引理1的算法提供了近似比为2的（\mathr{SSR}（R，V）\）实例的近似解。因此，我们认为定理7是引理1的一个结果。定理7。对于SSR问题，有一种\（O（（n+m）\log（n+m））-时间2-近似算法，其中\（n\）和\（m\）分别是射线数和线段数。在第2.1节和第2.2节中，作者证明了硬度结果（定理1和定理5）。在第3节和第4节中，他们分别证明了引理1和引理4。在第5节中，他们应用了引理1和引理2来证明定理4。然后在第6、7和8节中，他们分别证明了定理2、定理3和定理6。作者最后提出了以下四个问题。问题1。SSR和SRS问题的完整性差距是什么？问题2。对于具有（c<18）的单位（B_0）-VPG图上的MDS问题，是否有一个（c）-近似算法？问题3。对于（B_0）-VPG图上的MDS问题，是否有一个常数近似算法？是否有\（B_k）-VPG图上MDS问题的（O（\log k））-近似算法？问题4。带（c<656）的有刺矩形重叠图上的MDS问题是否有一个（c）-近似算法？我们在本文中看到了线性规划、算法、NP-hardness和图论等领域的融合。它有一个详尽的参考书目清单，共有49篇论文，所有这些论文都用于撰写本文。论文的标准很高。通过阅读这篇论文，研究人员将学到很多东西。有四个问题，研究人员可以打破他们的头脑，找到答案。总的来说，这篇论文很经典，里面有很多宝藏。审核人：A.Lourdusamy（Palayamkottai） 引用于1文件 MSC公司： 05C69号 具有特殊性质的顶点子集（支配集、独立集、集团等） 90C05（二氧化碳） 线性规划 68周25 近似算法 关键词：支配集;近似算法;几何交会图;字符串图 引文：Zbl 0144.45601号;Zbl 1169.68037号;Zbl 1421.68071号;Zbl 1136.68568号;Zbl 1254.68184号;兹比尔1162.68751 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Chakraborty}等人，计算。地理。107，文章ID 101884，21 p.（2022；Zbl 1496.05123） 全文： 内政部 参考文献： [1] 查克拉博蒂，D。；达斯，S。；Mukherjee，J.，弦图上的近似最小支配集，（WG（2019），Springer），232-243·Zbl 07173303号 [2] 查克拉博蒂，D。；达斯，S。；Mukherjee，J.，《相交于直线的矩形重叠图上的支配集》（COCOON（2019），Springer），65-77·Zbl 07172829号 [3] Benzer，S.，《关于遗传精细结构的拓扑》，Proc。国家。阿卡德。科学。，45, 11, 1607-1620 (1959) [4] Sinden，F.W.，薄膜rc电路拓扑，贝尔系统。《技术期刊》，45，9，1639-1662（1966）·Zbl 0144.45601号 [5] Graham，R.，《问题》（组合数学，第二卷（1978）），1195 [6] 埃利希·G。；甚至，S。；Tarjan，R.E.，平面内曲线的相交图，J.Comb。理论，Ser。B、 21、1、8-20（1976年）·Zbl 0348.05113号 [7] Kratochvíl，J.，《字符串图》。二、。识别字符串图是np-hard，J.Comb。理论，Ser。B、 52、1、67-78（1991）·Zbl 0661.05054号 [8] Kratochvíl，J.，平面上非交叉弧连通集的交集图，（图绘制国际研讨会（1996），Springer），257-270 [9] 阀盖，E。；Rzazewski，P.，《线段和字符串图中的优化程序》（WG（2018）），79-90·Zbl 1517.68278号 [10] 福克斯，J。；Pach，J.，平面内几何对象的无着色交会图，欧洲期刊Comb。，33, 5, 853-866 (2012) ·Zbl 1239.05065号 [11] Rok，A。；Walczak，B.，为与固定曲线相交的曲线着色，离散计算。地理。，61, 4, 830-851 (2019) ·Zbl 1411.05190号 [12] Keil，J。；J.米切尔。；Pradhan，D。；Vatshelle，M.，外环图上最大权无关集问题的算法，计算。地理。，60, 19-25 (2017) ·Zbl 1378.05154号 [13] Bar Yehuda，R.律师。；Hermelin，D。；Rawitz，D.，矩形图中的最小顶点覆盖，计算。地理。，44，6-7，356-364（2011年）·Zbl 1225.05199号 [14] Chlebík，M。；Chlebíková，J.，有界度图中支配集问题的近似硬度，Inf.Comput。，206, 11, 1264-1275 (2008) ·Zbl 1169.68037号 [15] Baker，B.S.，平面图上np-完全问题的近似算法，J.ACM，41，1，153-180（1994）·Zbl 0807.68067号 [16] 马里兰州马拉太。；布鲁·H。；亨特·H·B。；拉维，S.S。；Rosenkrantz，D.J.，《单位磁盘图的简单启发式》，《网络》，25，2，59-68（1995）·Zbl 0821.90128号 [17] Nieberg，T。；Hurink，J.，单位圆盘图最小支配集问题的PTAS，（WAOA（2005）），296-306·Zbl 1177.68258号 [18] 卡米，P。；达斯，G.K。；贾鲁，R.K。；南卡罗来纳州南迪。；Prasad，P.R。；Stein，Y.，《单位磁盘的最小支配集问题重访》，国际计算机杂志。地理。申请。，25, 03, 227-244 (2015) ·Zbl 1344.68280号 [19] M.吉布森。；Pirwani，I.，《磁盘图中支配集的算法：打破logn屏障》（ESA（2010）），243-254·Zbl 1287.05149号 [20] 戈文达拉詹，S。；Raman，R。；Ray，S。；Roy，A.，《非穿透区域的包装和覆盖》（ESA（2016））·Zbl 1397.68225号 [21] 德伯格，M。；Kisfaludi-Bak，S。；Woeginger，G.，几何相交图中支配集的复杂性，Theor。计算。科学。，769, 18-31 (2019) ·Zbl 1421.68071号 [22] Erlebach，T。；Van Leeuwen，E.，几何交集图中的支配，（拉丁语（2008），施普林格），747-758·Zbl 1136.68568号 [23] 阿西诺夫斯基，A。；科恩，E。；戈伦比奇，M。；利穆齐，V。；Lipshteyn，M。；Stern，M.，网格上路径的顶点交集图，J.图形算法应用。，16, 2, 129-150 (2012) ·Zbl 1254.68184号 [24] M.J.卡茨。；J.米切尔。；Nir，Y.，正交段刺入，计算。地理。，30, 2, 197-205 (2005) ·Zbl 1162.68751号 [25] McGuinness，S.，关于L图的色数定界，离散数学。，154, 1-3, 179-187 (1996) ·Zbl 0856.05033号 [26] Bousquet，N。；Gonçalves，D。；Mertzios，G。；保罗，C。；绍，I。；Thomassé，S.，圆图中的参数控制，（WG（2012）），308-319·Zbl 1341.05184号 [27] 科尔本，C。；Stewart，L.，置换图：连通支配树和Steiner树，离散数学。，86, 1-3, 179-189 (1990) ·Zbl 0744.05059号 [28] Damian，M。；Pemmaraju，S.，APX-圆图中控制问题的硬度，Inf.过程。莱特。，97231-237（2006年）·Zbl 1181.68157号 [29] Damian Iordache，M。；Pemmaraju，S.，A（（2+\varepsilon）-圆图最小控制的近似方案，J.算法，42，2，255-276（2002）·Zbl 1002.05066号 [30] 法伯，M。；Keil，J.，置换图中的支配，J.算法，6，3，309-321（1985）·Zbl 0598.05056号 [31] Bandyapadhyay，S。；马赫什瓦里，A。；Mehrabi，S。；Suri，S.，矩形和l-框架的交集图上的逼近支配集，计算。地理。，82, 32-44 (2019) ·Zbl 1425.05108号 [32] Mehrabi，S.，《网格上路径相交图的近似控制》（WAOA（2017），Springer），76-89·Zbl 1504.68179号 [33] 科特，S。；Regev，O.，顶点覆盖可能很难近似到（2-varepsilon），J.Compute。系统。科学。，74, 3, 335-349 (2008) ·Zbl 1133.68061号 [34] Pandit，S.，《与直线相交的主导矩形集》（CCCG（2017）），第144-149页 [35] 科雷亚，J。；Feuilloley，L。；佩雷兹·兰特罗，P。；Soto，J.，《与对角线相交的独立和击中矩形集：算法和复杂性》，《离散计算》。地理。，53, 2, 344-365 (2015) ·Zbl 1315.52020号 [36] Catanzaro，D。；查普利克，S。；Felsner，S。；Halldórsson，B。；Halldórsson，M。；Hixon，T。；Stacho，J.，《最大点容差图》，《离散应用》。数学。，216, 84-97 (2017) ·Zbl 1350.05118号 [37] 切波伊，V。；Felsner，S.，《逼近与单调曲线相交的轴平行矩形的击中集》，计算。地理。，46, 9, 1036-1041 (2013) ·兹比尔1270.05028 [38] Mudgal，A。；Pandit，S.，《覆盖、打击、穿透和包装与斜线相交的矩形》（组合优化与应用（2015），Springer），126-137·Zbl 1478.90112号 [39] B.克拉克。；科尔本，C。；Johnson，D.，单位圆盘图，离散数学。，86, 1-3, 165-177 (1990) ·Zbl 0739.05079号 [40] 医学博士Berg。；Cheong，O.先生。；Kreveld，M.v。；Overmars，M.，《计算几何：算法与应用》（2008）·Zbl 1140.68069号 [41] Tardos，E.，求解组合线性规划的强多项式算法，Oper。研究，34，2，250-256（1986）·Zbl 0626.90053号 [42] 高尔，D.R。；茨城，T。；Krishnamurti，R.，矩形刺杀问题和直线分割问题的常数比近似算法，J.algorithms，43，1，138-152（2002）·Zbl 1005.68179号 [43] Butman，A。；Hermelin，D。；勒文斯坦，M。；Rawitz，D.，《多区间图中的优化问题》，ACM Trans。算法，6，2，40（2010）·Zbl 1300.05295号 [44] Acharyya，A。；南卡罗来纳州南迪。；潘迪特，S。；Roy，S.，用单位平方覆盖线段，计算。地理。，79, 1-13 (2019) ·Zbl 1468.68256号 [45] Felsner，S。；Knauer，K。；Mertzios，G.B。；Ueckerdt，T.，平面中L形和线段的相交图，离散应用。数学。，206, 48-55 (2016) ·Zbl 1335.05046号 [46] Schrijver，A.，《线性和整数规划理论》（1998），John Wiley&Sons·Zbl 0970.90052号 [47] Kleinberg，J。；Tardos，E.，算法设计（2006），印度培生教育 [48] Bandyapadhyay，S。；Mehrabi，S.，约束正交段扶正，（CCCG（2019）） [49] Bandyapadhyay，S。；Roy，A.，《艺术画廊问题的本地搜索效果》（WADS（2017）），49-60·Zbl 1491.68254号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。