约翰·P·博伊德。 求三角多项式根的伴随矩阵方法的比较。 （英语） Zbl 1349.65156号 J.计算。物理学。 246, 96-112 (2013). 摘要：三角多项式是一个截断的傅里叶级数，其形式为\（f_{mathcal{N}}（t）\equiv\sum_{j=0}^{mathcal{N}A_j\cos（jt）+\sum_}=1}^{mathcal{N}}b_j\sin（j t）\）。作者之前已经证明，这样一个多项式的零点可以计算为伴随矩阵的特征值，其元素是傅里叶系数的复数组合，即“CCM”方法。然而，以前的工作没有提供示例，因此这项新工作的一个目标是对CCM方法进行实验测试。第二个目标是介绍一种新的替代方案，即消除/切比雪夫算法，并将其与CCM方案进行实验比较。消元/切比雪夫矩阵（ECM）算法产生了一个具有实值元素的伴生矩阵，尽管代价是仅对实根有用。新的消元方案首先将三角求根问题转化为变量\（c，s）\中的一对多项式方程，其中\（c\equiv\cos（t）\）和\（s\equiv\sin（t）。消去法接下来将系统简化为一个单变量多项式（P（c））。我们证明了这同一多项式是系统的结果，也是系统具有字典序的Groebner基的生成器。这两种方法都能为实值根提供非常高的数值精度，在Matlab/IEEE 754 16位浮点算法中通常至少有11个小数位。CCM算法通常更精确一到两个小数位，但如果根通过单个牛顿迭代“牛顿抛光”，这些差异就会消失。复值矩阵对于复值根也是精确的，尽管精度随着根虚部的大小而降低。这两种方法的成本按\（O（N^3）\）浮点运算的比例缩放。尽管消元/Chebyshev格式与两种成熟的求解方程组、结果和Groebner基的技术有着密切的联系，并且只使用实值算法来获得具有实值元素的伴随矩阵具有优势，ECM算法在简单性、易编程性和准确性方面明显低于复值伴随矩阵。 引用于1文件 MSC公司： 65小时05 单方程解的数值计算 65吨40 三角逼近和插值的数值方法 第13页第10页 Gröbner碱；理想和模块的其他基础（例如Janet和border基础） 关键词：傅里叶级数;寻根;伴随矩阵;切比雪夫多项式;结果;Groebner基地 软件：DLMF公司;切布冯;Matlab公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \发短信{J.P.Boyd}，J.Comput。物理学。24696--112（2013年；Zbl 1349.65156） 全文： 内政部 参考文献： [1] Allgower，E.L。；乔治·K。；Miranda，R.，计算多项式系统实解的结果法，SIAM J.Numer。分析。，29, 831-844 (1992) ·Zbl 0756.65077号 [2] Barnett，S.，正交多项式的伴随矩阵模拟，线性代数应用。，12, 197-208 (1975) ·Zbl 0327.15026号 [3] Battles，Z。；Trefethen，L.N.，《Matlab对连续函数和算子的扩展》，SIAM J.Sci。计算。，25, 1743-1770 (2004) ·Zbl 1057.65003号 [4] Boyd，J.P.，切比雪夫和傅里叶插值的误差包络，J.Sci。计算。，5, 311-363 (1990) ·Zbl 0738.41002号 [5] Boyd，J.P.，用于求解非线性方程并应用于非线性特征值问题的切比雪夫多项式区间搜索方法（“Lanczos经济化”），J.Compute。物理。，118, 1-8 (1995) ·Zbl 0823.65047号 [6] Boyd，J.P.，Chebyshev和Fourier光谱方法（2001年），多佛：纽约州多佛米诺拉，665页·Zbl 0994.65128号 [7] Boyd，J.P.，通过切比雪夫展开和多项式寻根计算实区间上的零点，SIAM J.Numer。分析。，40, 1666-1682 (2002) ·Zbl 1034.65028号 [8] Boyd，J.P.，通过细分计算切比雪夫级数形式多项式的实根，应用。数字。数学。，56, 1077-1091 (2006) ·Zbl 1119.65033号 [9] Boyd，J.P.，通过线性测试和三次解的细分计算切比雪夫级数形式多项式的实根，应用。数学。计算。，174, 1642-1648 (2006) ·Zbl 1090.65052号 [10] Boyd，J.P.，计算切比雪夫、勒让德和傅立叶级数的零点、最大值和拐点：通过谱插值和多项式寻根求解超越方程，J.Eng.Math。，56, 203-219 (2006) ·Zbl 1110.65037号 [11] Boyd，J.P.，计算具有奇偶对称性的傅里叶级数或切比雪夫级数或一般正交多项式级数的零点，计算。数学。申请。，54, 336-349 (2007) ·Zbl 1132.65039号 [12] Boyd，J.P.，傅里叶系数变换的大阶渐近指数渐近，Chebyshev和其他谱系数，J.Eng.Math。，63, 355-399 (2009) ·Zbl 1163.42001号 [15] 博伊德，J.P。；Gally，D.H.，关于切比雪夫-罗伯尼乌斯伴随矩阵法的准确性的数值实验，用于寻找切比雪夫多项式截断序列的零点，J.Compute。申请。数学。，205281-295（2007年）·Zbl 1118.65032号 [16] Carstensen，C.，关于代数指数多项式和三角多项式同时寻根的注释，计算。数学。申请。，1994年7月27日至14日·Zbl 0792.65029号 [17] Chan，T.F。；Keller，H.B.，计算简单转折点的弧长方法，SIAM J.Sci。统计计算。，3, 173-194 (1982) ·Zbl 0497.65028号 [18] 考克斯·D。；利特尔，J。；O'Shea，D.，《使用代数几何》。使用代数几何，数学研究生教材，第185卷（1998），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0920.13026号 [19] Day，D。；Romero，L.，用正交多项式表示的多项式根，SIAM J.Numer。分析。，43, 1969-1987 (2005) ·Zbl 1101.65048号 [20] Gautschi，W.，幂形式多项式的条件，数学。计算。，33, 343-352 (1979) ·Zbl 0399.41002号 [21] 很好，I.J.，同事矩阵，同伴矩阵的切比雪夫类似物，夸特。数学杂志。，12, 61-68 (1961) ·Zbl 0103.01003号 [22] Heck，A.，《Maple简介》（2003），Springer:Springer New York，848页·Zbl 1020.65001号 [23] 我是伊奇姆。；Molnar，I.，三角多项式的Bairstow型方法，数值。数学。，67, 251-259 (1994) ·Zbl 0818.65146号 [24] Keller，H.B.，两点边值问题的数值方法（1992），多佛：纽约多佛·Zbl 1409.65001号 [25] Khashan，H。；Syam，M.I.，多项式系统零点逼近的QR代数方法，国际计算杂志。数学。，8810-120（2011年）·Zbl 1211.65058号 [26] 马克雷洛夫，I.V。；Semerdzhiev，K.I.，关于同时求指数方程所有根的两种方法的收敛性，IMA J.Numer。分析。，5, 191-200 (1985) ·Zbl 0583.65021号 [27] Morgan，A.P.，《利用连续性解决科学和工程问题的多项式系统》，应用数学经典（2009），SIAM:SIAM Philadelphia，228页·Zbl 1170.65316号 [28] （Olver，F.W.J.；Lozier，D.W.；Boisvert，R.F.；Clark，C.W.，NIST数学函数手册（2010），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社，纽约）·Zbl 1198.00002号 [29] Schweikard，A.，三角多项式的实零隔离，ACM Trans。数学。软件，18，350-359（1992）·Zbl 0892.65087号 [30] 塞梅尔日耶夫，K.I。；Tamburov，S.G.，关于任意Tschebyscheff系统确定广义多项式所有零点的方法，USSR Compute。数学。数学。物理。，27, 9-13 (1987) ·Zbl 0648.65043号 [31] Seydel，R.，《实用分歧和稳定性分析：从平衡到混沌》（1994），《斯普林格·弗拉格：斯普林格尔·弗拉格·海德堡》，第428页·Zbl 0806.34028号 [32] Stetter，H.J.，《数值多项式代数》（2004），工业和应用数学学会：宾夕法尼亚州费城工业和应用算术学会·Zbl 1058.65054号 [33] Sylvester，J.J.，一种仅通过检查确定两个任意程度的方程导数的方法，Philos。Mag.，16，132-135（1840） [34] Trefethen，L.N.，Matlab中的谱方法（2000），工业与应用数学学会：费城工业与应用数学学会·Zbl 0953.68643号 [35] Weidner，P.，三角多项式和指数多项式的Durand-Kerner方法，计算，40175-179（1988）·Zbl 0631.65045号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。