尼古拉·古列尔米;伊万·马尔科夫斯基 一种基于常微分方程的方法，用于计算互质多项式到公共可除性的距离。 （英语） Zbl 1367.65087号 SIAM J.数字。分析。 55，第3期，1456-1482（2017）. 摘要：计算两个实互质多项式到具有非平凡最大公约数（GCD）的多项式集的距离的问题出现在计算机代数、信号处理和控制理论中。在文献中，它被称为近似公约数、（varepsilon）-GCD和不可控距离。现有的求解方法使用不同类型的局部优化方法，并且需要用户定义的初始近似值。在本文中，我们提出了一种新的方法，允许我们对多项式的系数进行约束。此外，本文提出的方法比文献中可用的Newton型优化方法对初始近似更具鲁棒性。我们的方法包括两个步骤：（1）将问题重新定义为确定相关Sylvester矩阵到奇异点的结构化距离的问题，（2）集成一个ODE系统，该系统描述与要最小化的泛函相关的梯度。 引用于1审查引用于5文件 MSC公司： 65千5 数值数学规划方法 90元53 拟牛顿型方法 90立方 非线性规划 11A05号 乘法结构；欧几里德算法；最大公约数 关键词：西尔维斯特矩阵;结构伪谱;结构低阶近似;矩阵流形上的常微分方程;到奇异点的结构化距离;最大公约数;牛顿型优化方法 软件：SLRA公司;PSAPSR公司;识别码;MultRoot（多根）;Eigtool公司;GPGCD公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.Guglielmi}和\textit{I.Markovsky}，SIAM J.Numer。分析。55，第3号，1456--1482（2017；Zbl 1367.65087） 全文： 内政部 参考文献： [1] P.-A.Absil、R.Mahony和R.Sepulchre，《矩阵流形上的优化算法》，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2008年·Zbl 1147.65043号 [2] V.Balakrishnan，S.Boyd和S.Balemi，计算参数相关线性系统最小稳定度的分支定界算法}，国际。J.鲁棒非线性控制，1（1991），第295-317页·Zbl 0759.93036号 [3] B.Beckermann和G.Labahn，{\it当两个数值多项式相对素数？}，J.符号计算。，26（1998年），第677-689页·Zbl 1008.65021号 [4] D.A.Bini和P.Boito，{基于结构矩阵的多项式方法（eps）-gcd:分析和比较}，载于2007年符号和代数计算国际研讨会论文集，计算机协会，2007年，第9-16页·Zbl 1190.65060号 [5] D.A.Bini和P.Boito，{基于结构矩阵计算的近似多项式GCD快速算法}，摘自《结构矩阵和应用的数值方法》，《算子理论：进展和应用》199，Birkha用户，巴塞尔，2010年，第155-173页·Zbl 1203.65078号 [6] J.Burke、A.Lewis和M.L.Overton，{伪谱分量和到不可控距离}，SIAM J.矩阵分析。申请。，26（2004），第350-361页·Zbl 1078.93008号 [7] P.Buttà，N.Guglielmi和S.Noschese，《计算Toeplitz矩阵及其极值点的结构化伪谱》，SIAM J.matrix Anal。申请。，33（2012年），第1300-1319页·Zbl 1263.65039号 [8] P.Chin、R.Corless和G.Corliss，{浮点GCD的优化策略}，《1998年符号和代数计算国际研讨会论文集》，计算机械协会，1998年，第228-235页·Zbl 0922.65011号 [9] R.M.Corless、P.M.Gianni、B.M.Trager和S.M.Watt，{多项式系统的奇异值分解}，《1995年符号和代数计算国际研讨会论文集》，计算机协会，1995年，第96-103页·Zbl 0920.65034号 [10] I.Z.Emiris、A.Galligo和H.Lombardi，{经认证的单变量近似GCDs}，J.Pure Appl。《代数》，117/118（1997），第229-251页·Zbl 0891.65015号 [11] M.Fazel，{矩阵秩最小化及其应用}，斯坦福大学电气工程系博士论文，加利福尼亚州斯坦福德，2002年。 [12] G.Golub和V.Pereyra，《可分离非线性最小二乘法：变量投影法及其应用》，《反问题》，19（2003），第1-252页·Zbl 1022.65014号 [13] N.Guglielmi、M.Gu¨rbu¨zbalaban和M.L.Overton，{通过谱值集优化快速逼近H_∞范数}，SIAM J.矩阵分析。申请。，34（2013），第709-737页·Zbl 1271.93057号 [14] N.Guglielmi和C.Lubich，《漫游伪谱微分方程：极值点路径和边界追踪》，SIAM J.Numer。分析。，49（2011），第1194-1209页·Zbl 1232.15009号 [15] N.Guglielmi和C.Lubich，计算真实伪谱极值点的低秩动力学，SIAM J.矩阵分析。申请。，34（2013），第40-66页·兹比尔1272.65032 [16] N.Guglielmi和M.Manetta，《近似实际稳定半径》，IMA J.Numer。分析。，35（2015），第1402-1425页·Zbl 1328.65168号 [17] N.Guglielmi和M.I.Overton，{矩阵伪谱横坐标和伪谱半径近似的快速算法}，SIAM J.矩阵分析。申请。，32（2011年），第1166-1192页·Zbl 1248.65034号 [18] N.Guglielmi，M.L.Overton，and G.W.Stewart，{it计算广义零空间分解的有效算法}，SIAM J.矩阵分析。申请。，36（2015），第38-54页·Zbl 1327.65072号 [19] N.Higham，{矩阵贴近性问题及其应用}，《矩阵理论的应用》，M.Gover和S.Barnett主编，牛津大学出版社，纽约，1989年，第1-27页·Zbl 0681.65029号 [20] G.Hu和E.Davison，{LTI系统的实际可控性/稳定半径}，IEEE Trans。自动化。《控制》，49（2004），第254-258页·Zbl 1365.93042号 [21] M.Ishteva、K.Usevich和I.Markovsky，{结构化低阶近似的因式分解方法及其应用}，SIAM J.矩阵分析。申请。，35（2014），第1180-1204页·Zbl 1305.65131号 [22] T.Kailath，{线性系统}。普伦蒂斯·霍尔，恩格尔伍德悬崖，新泽西州，1981年·Zbl 0497.93001号 [23] E.Kaltofen、R.M.Corless和D.J.Jeffrey，《符号计算的挑战：我最喜欢的开放问题》，J.符号计算。29（2000），第891-919页·Zbl 0963.68234号 [24] E.Kaltofen，Z.Yang，and L.Zhi，{用线性约束系数和奇异多项式近似几个多项式的最大公约数}，载于2006年符号和代数计算国际研讨会论文集，计算机协会，2006年，第169-176页·Zbl 1356.12011年 [25] N.K.Karmarkar和Y.N.Lakshman，《关于一元多项式的近似GCD》，J.符号计算。26（1998年），第653-666页·兹比尔0967.12007 [26] 加藤，{线性算子的扰动理论}。施普林格，柏林，1995年·Zbl 0836.47009号 [27] M.Manetta，{伪谱矩阵距离和稳定性度量的计算}，意大利拉奎拉拉奎拉大学博士论文，2014年。 [28] C.Lawson和R.Hanson，{解决最小二乘问题}，应用数学经典，工业和应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，1987年·Zbl 0860.65028号 [29] I.Markovsky，{结构化低阶近似及其应用}，Automatica J.IFAC，44（2008），第891-909页·Zbl 1283.93061号 [30] I.Markovsky，{低阶近似：算法，实现，应用}。施普林格，伦敦，2012年·Zbl 1245.93005号 [31] I.Markovsky，｛\it在行为设置中用于系统识别的软件包，控制工程实践。，21（2013），第1422-1436页。 [32] I.Markovsky和K.Usevich，{缺失数据的结构化低阶近似}，SIAM J.矩阵分析。申请。，34（2013），第814-830页·Zbl 1271.93017号 [33] I.Markovsky和K.Usevich，{加权结构低阶近似软件}，J.Compute。申请。数学。，256（2014），第278-292页·Zbl 1314.65067号 [34] D.Marquardt，{非线性参数最小二乘估计算法}，J.SIAM，11（1963），第431-441页·Zbl 0112.10505号 [35] J.Nocedal和S.Wright，{数值优化}。Springer-Verlag，1999年·Zbl 0930.65067号 [36] S.Noschese和L.Pasquini，{特征值模式条件数：Toeplitz和Hankel案例}，J.Compute。申请。数学。，206（2007），第615-624页·Zbl 1120.65045号 [37] D.Rupprecht，{it计算（n）一元多项式的认证近似GCD的算法}，J.Pure Appl。《代数》，139（1999），第255-284页·Zbl 0964.12007号 [38] T.W.Sederberg和G.Chang，{近似度约简的最佳线性公约数}，计算。《辅助设计》，25（1993），第163-168页·Zbl 0772.65010号 [39] J.J.Sylvester，{关于两个有理积分函数的合一关系的理论，包括Sturm函数理论和最大代数公共测度理论的应用，Philos。事务处理。英国皇家学会。，143（1853），第407-548页。 [40] A.Terui，{GPGCD:计算一元多项式近似GCD的迭代方法}，Theoret。计算。科学。，479（2013），第127-149页·Zbl 1291.65162号 [41] L.N.Trefethen和M.Embree，《谱和伪谱：非正规矩阵和算子的行为》，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1999年·Zbl 1085.15009号 [42] J.von Neumann，{函数运算符}。二、。{正交空间的几何}。《数学研究年鉴》，22，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1950年·Zbl 0039.11701号 [43] A.I.G.Vardulakis和P.N.R.Stoyle，{广义结式定理}，IMA J.Appl。数学。，22（1978年），第331-335页·Zbl 0403.12025号 [44] K.Usevich和I.Markovsky，{格拉斯曼流形上的优化及其在系统识别中的应用}，Automatica J.IFAC，50（2014），第1656-1662页·Zbl 1296.93043号 [45] K.Usevich和I.Markovsky，{加权（2）范数}中仿射结构低阶近似的变量投影，J.Compute。申请。数学。，272（2014），第430-448页·兹比尔1294.65063 [46] K.Usevich和I.Markovsky，{近似（最大）公约数计算的变量投影方法}，Theoret。计算。科学。，681（2017），第176-198页·Zbl 1375.65062号 [47] 曾总，《不精确多项式的近似GCD》，第一部分：单变量算法，手稿，2004年。 [48] Z.Zeng，{\it一元多项式的数值最大公约数}，《多项式方程求解中的随机化、松弛和复杂性》，《当代数学556》，L.Gurvits，P.Pèbay，J.M.Rojas，and D.Thompson，eds.美国数学学会，普罗维登斯，RI，2011年，第187-217页·Zbl 1236.65051号 [49] G.Zoutendijk，{数学规划方法}，北荷兰，阿姆斯特丹，1976年·Zbl 0337.90036号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。