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费比安·鲁普

体积-保留Willmore流。 （英语） Zbl 1518.53078号

非线性分析。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法 230，文章ID 113220，30 p.（2023）.
设（Sigma）是一个无边界的紧致定向曲面。对于浸没（f:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}^3），Willmore能量定义为\[\数学{W}（f）=\frac{1}{4}\int_{\Sigma}H^2，d\mu，\]其中，\（\mu=\mu_f\）是欧几里德度量（g_f=f^*\langle\cdot，\cdot\rangle\）的拉回引起的面积测量，并且\（H=H_f\。众所周知，（mathcal{W}（f）ge4\pi）仅对圆形球体具有等式。
Willmore流的分析，即（mathcal{W}）的（L^2）梯度流，始于E.库韦特和R.Schätzle先生[《公共分析地质学》第10卷第2期，第307–339页（2002年；Zbl 1029.53082号)]他证明了几个结果，包括曲率集中可控时流的寿命定理。在[E.库韦特和R.Schätzle先生、J.Differ。地理。57，第3期，409–441页（2001年；Zbl 1035.53092号)]他们将这一点与一个放大论证相结合，以表明如果能量足够接近（4pi），则收敛到一个圆形球体。在[E.库韦特和R.Schätzle先生，安。数学。（2） 160，编号1，315-357（2004年；Zbl 1078.53007号)]他们证明了初始数据为（f0:mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb}R}^3）满足（mathcal{W}（f0）\le8\pi）的球面浸没流的长期存在性和收敛性。
在这里，作者引入了一个约束梯度流，它演化出一个初始浸入（f:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}^3），从而使（\mathcal{W}）尽可能快地减小，而符号体积（\mathcal{V}（f）=-\frac{1}{3}\int_{Sigma}\langlef，\nu\rangle，d\mu）保持不变。他证明了两个主要定理，这两个定理类似于Kuwert和Schätzle关于无约束Willmore流的定理。
第一种状态是有一个常数（\bar\varepsilon>0），这样如果（f_0:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}^3）是用（mathcal{W}（f_0）\leK\）浸没的，并且选择（\rho>0）以便所有（x\in\mathbb{R}^3），则为最大存在时间\（T\）初始数据为（f_0）的体积守恒的Willmore流满足某个常数（c=c（K，chi（Sigma））的（T>c\rho^4）。此外，对于所有的（0），我们有所有（x）的（int_{B_\rho（x）}|A|^2，d\mu\lec^{-1}\varepsilon）。上述积分被理解为分别位于\（f_0\）和\（f_t\）下的前像上。
第二个定理表明，如果（f0:mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb}R}^3）是用（mathcal{W}（f0）\le8\pi）和（mathcal{V}\neq0）平滑浸没的，那么具有初始数据的体积守恒Willmore流始终存在，并在重新矩阵化后平滑收敛到半径为（R=\sqrt[3]的圆球体上{3|\mathcal{V}（f_0）|/4\pi}\）。
审核人：约翰·乌尔巴斯（堪培拉）

引用于5文件

理学硕士：

53E40型 高阶几何流
53立方厘米 浸入的微分几何（最小、规定曲率、紧密等）
37升05 无穷维耗散动力系统、非线性半群、发展方程的一般理论
47J35型 非线性演化方程
58D25个 函数空间中的方程；演化方程

关键词：

Willmore流;Łojasiewicz-Simon不等式;非局部几何演化方程

引文：

Zbl 1029.53082号;Zbl 1035.53092号;Zbl 1078.53007号
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\textit{F.Rupp}，非线性分析。，理论方法应用。，序列号。A、 理论方法230，文章ID 113220，30 p.（2023；Zbl 1518.53078）
全文： 内政部 arXiv公司

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