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凯瑟琳·班德尔;吉村县卡贝亚;Ninomiya、Hirokazu

一个非线性椭圆Neumann问题在大球帽上的分支解。 （英语） Zbl 1440.35076号

Funkc公司。Ekvacioj，爵士。国际。 62，第3期，285-317（2019）.
作者考虑了非线性问题_{n} u个+\λ（u^{p} -u个)=0，（u>0），位于（Omega_{varepsilon}\subset S^{n}\subset\mathbb{R}^{n+1}）中，其中（Delta_{n}）是单位球面上的Laplace-Beltrami算子，（n\geq2），（Omega _{varebsilon}）为以测地半径的北极为中心的球冠（\pi-\varepsilon\），对于\（\varepsilon>0\），（λ>0）和（p>1）。齐次Neumann边界条件_{n} u个=0\）添加到\（\partial\Omega_{\varepsilon}\）上。作者观察到，（u=1）是这个问题的一个解决方案，他们寻找从这个常数解分支出来的解决方案。他们观察到，只有当（λ）是非线性特征值问题的特征值（δ_{n} v（v）+（p-1）λv=0），in（Omega_{varepsilon}），边界条件为_{n} v（v）=0\）在\（\partial\Omega_{\varepsilon}\）上。主要结果证明，对于每一个（ngeq2）、（kinmathbb{n}）和（m=0,1,2，ldots，k）以及任何足够小的（varepsilon），上述非线性问题都有一个来自（lambda=lambda_{k，varepsilen，m}/（p-1））的分岔解。如果\（m=0\），此解仅取决于方位角，如果\（m \ neq 0\）则此解不是方位角。为了证明这一点，作者首先分析了具有不同特征值（λ{k，varepsilon，m}）（参数化为（m=0,1，ldots，k））的相关非线性特征值问题。特征值\（\lambda _｛k，\varepsilon，m｝\）接近线性化特征值问题\（\Delta_{n} 年+\（S^{n}）中的sigma Y=0，作者证明了（lambda{k，varepsilon，m}）的重数与（k）无关。为了推导第一特征值问题的特征值的性质，作者引入了极坐标，经过一些变换，得到了一个勒让德方程，其解是相关的第一类和第二类勒让德函数。主要工具是分析（S^{n-1}）上的本征函数和本征空间，以及本征值的解析摄动理论，如下所示T.加藤[线性算子的微扰理论。柏林：斯普林格-弗拉格（1995；Zbl 0836.47009号)]，应用于线性化特征值问题。作者描述了当（varepsilon）变为0时，特征值（lambda_{k，varepsilen，m}）的渐近行为，分离了奇数或偶数的情况。它们使用（Gamma）函数和高斯超几何函数的属性。为了证明主要结果，作者遵循Lyapunov-Schmidt约化，并使用之前通过以下公式获得的结果R.Böhme先生[数学Z.127105-126（1972；Zbl 0254.47082号)]和依据P.H.拉比诺维茨《临界点理论中的极小极大方法及其在微分方程中的应用》，普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（1986；Zbl 0609.58002号)].
审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆）

引用于2文件

理学硕士：

35J25型 二阶椭圆方程的边值问题
35J61型 半线性椭圆方程
35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程
33 C55 球面谐波

关键词：

Laplace-Beltrami运算符;诺依曼边界条件;特征值问题;球形盖;分叉解;勒让德方程;特征值的解析摄动

引文：

Zbl 0836.47009号;Zbl 0254.47082号;Zbl 0609.58002号
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\textit{C.Bandle}等人，Funkc。Ekvacioj，爵士。国际62，第3号，285--317（2019；Zbl 1440.35076）
全文： 内政部

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