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阿尔贝托·费雷罗;多梅尼科码头兰贝蒂

一类四阶Steklov问题在区域扰动下的谱稳定性。 （英语） Zbl 1414.35071号

计算变量部分差异。等于。 58，第1号，第33号论文，57页（2019年）.
给定一个有界连通开集（Omega\subset\mathbb{R}^N\）（N\geq2\），作者考虑Dirichlet双调和Steklov特征值问题[begin{cases}\Delta^2u=0，&\text{in}\Omega，\\u=0，&\text{on}\partial\Omega\，\\Deltau-du_\nu=0，\\text{on}\spartial\ Omega\end{cases{tag{1}\]及其变体[\begin{cases}Delta ^2 u=0，&\text{in}\Omega，\\u=0、&\text{on}\partial\Omeca，\\ Delta u-K（x）u_\nu-du_\nu=0，&\text{on}\paratil\Omega，\end{cases}\tag{2}，其中\（u__nu）表示边界上\（u）的法向导数，\（K（x）\）是边界的平均曲率，\（d，\ Delta \）是实参数。假设域（Omega）有一个满足某种（C^{1,1}）正则性的边界。研究了区域扰动下问题（1）、（2）的谱稳定性。更准确地说，作者引入了与问题（1）、（2）相关的Steklov算子（S_\Delta，S_D^2），作用于空间（V（\Omega）：=H_0^1（\Omega）\cap H^2（\Ometa）），并证明了如果（\{\Omega_\varepsilon\}{\varepsilon>0}）是具有上述（C^{1,1}）正则性的域族，它在适当的意义上收敛到\（C^{1,1}\）-域\（\Omega \），Steklov运算符\[S_{Delta，\varepsilon}，S_{D^2，\varesilon}:V（\Ometa_\varepsilon）\rightarrow V（\Omega_\varesillon）\]的相应族收敛到运算符\（\varepssilon\rightarrow 0\）），分别，根据一个适当的紧收敛概念。由于（S_Delta，S_D^2）的（非零）特征值正好是问题（1）和（2到域\（\Omega \）上相应的特征值和特征函数。
作者还通过分析情况\（\Omega=W\times（-1,0）\），讨论了族\（\{\Omega_\varepsilon\}_{\varepsilon>0）上上述收敛条件的最优性，其中\（W\）是\（\mathbb｛R｝^｛N-1｝）中的长方体或有界域，以及\（\Omega_\varepsilon=\（x'，x_N）:x'\在W，\-1\）<\（x_N\）<\（\varepsilon^\alpha b（x'/\varepsilon）\}\），其中\（b:\mathbb{R}^{N-1}\rightarrow[0，\infty）\）是一个非恒定的\（（-1/2,1/2）^{N-1}\）-周期函数。特别是在\[\partial\Omega_\varepsilon\setminus\{\text{和}\\partial\Omega\setminus W\times\{0\}，\]
作者证明了上述收敛条件对（alpha>frac{3}{2}）是满足的，而对（alfaleq\frac{3}}{2{）是不满足的。更准确地说，作者证明了对于（α=frac{3}{2}），（Omega_varepsilon）中问题（2）的特征值（delta_n（varepsillon））收敛到（Omega）中相同问题的对应特征值，再加上Babuska悖论中涉及的“奇怪曲率”（gamma）。此外，它们还表明，当\（alpha<\frac{3}{2}）时，\（delta_n（\varepsilon）\）发散。
还分析了根据Dirichlet-to-Neumann型映射的特征值问题给出的问题（1）的弱形式的特征值收敛性{无}_\在适当的空间中，假设域\（\Omega \）上的弱\（C^{0,1}\）正则性。在这种情况下，作者能够证明，在扰动域（{\Omega_\varepsilon}{\varepsilon>0}）上较弱的收敛条件下，有{无}_{\Omega_{\varepsilon}}\rightarrow\mathcal（欧米茄）{无}_\Omega）关于紧收敛的概念。
根据这个结果，作者导出了Navier和Navier型问题的稳定性/不稳定性。然而，从相同的结果中，无法推导出Steklov问题（1）谱的稳定性性质。因此，知道Steklov问题（1）的谱在扰动域（{\Omega_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}）上较弱的收敛条件下是否稳定/不稳定是一个开放问题。
审核人：乔瓦尼·阿内洛（墨西拿）

引用于9文件

MSC公司：

35J40型 高阶椭圆方程的边值问题
35B20型 PDE背景下的扰动
第35页 偏微分方程背景下特征值的估计

关键词：

Dirichlet双调和Steklov特征值问题;域的扰动;特征值的收敛性;Steklov算子;Navier问题
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\textit{A.Ferrero}和\textit{P.D.Lamberti}，计算变量部分差异。埃克。58，第1号，第33号论文，57页（2019年；Zbl 1414.35071）
全文： 内政部 arXiv公司 链接

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