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埃里克·卡伦。；Elliott H.Lieb。

一个Minkowski型迹不等式和量子熵的强次可加性。二： 凹凸性。 （英语） Zbl 1171.47015号

莱特。数学。物理学。 83，第2期，107-126（2008）.
本文继续[第一部分，在：五、。布斯拉耶夫（ed.）等人，“微分算子和谱理论”。M。第。伯曼70周年纪念系列。翻译。，序列号。2，美国。数学。Soc公司。189(41), 59–68 (1999;Zbl 0933.47014号)]. 在本文中，作者集中于以下形式的迹函数凸性不等式的证明
\[\Phi_{p，q}（A_1，\dots，A_m）=\左（\text{Tr}\left[\左（\sum_{j=1}^mA_j^p\right）^{q/p}\right]\右）^{1/q}\]
对于\（m\）正定算子\（A_j\）。在第一部分中，考虑了（q=1）的情况，证明了（0<p\leq1）的凹性和（p=2）的凸性。
本文的主要主题是（1<p<2）的联合凸性的未解决情况。本文讨论以下跟踪函数：
（1） 对于任何数字（p，q>0）和任何正整数（m），通过
\[\Phi_{p，q}（A_1，\dots，A_m）=\left\|\left（\sum_{j=1}^m A_j^p\right）^{1/p}\right\|_q。\]
（2） 对于任何数字\（p，q>0\）和任何正整数\（m\）和\（n\），在\（H_｛mn｝^+\）上定义\（\Psi_{p，q｝\）
\[\Psi_{p，q}（A）=\left\|（\text{Tr}_2A^p） ^{1/p}\right\|_q。\]
（3） 对于任何固定的（n次n）矩阵（B）和任何数字（p，q>0），在（H_n^+）上定义（Upsilon_{p，q}）
\[\Upsilon_{p，q}（A）=\text{Tr}\left[（B^*A^pB）^{q/p}\right]。\]
定理1.1定义了关于（p）和（q）的条件：对于所有（1）和所有（q>1），（Upsilon_{p，q}）和。对于\（0\leqp\leqq\leq1），\（\Upsilon_{p，q}）和\（\Psi{p，q}）分别在\（H_n^+）和\。对于\（p>2），对于\（q\neq p\）的任何值，这些函数都不是凸函数或凹函数。
定理1.1。是定理1.3：对于\（1 \leq q \leq p \leq 2）和\（mathcal H=mathcal H_1\otimes\mathcal H2\otimes \mathcal-H_3）上的所有正算子\（A），
\[\文本{Tr}_3\左（\text｛Tr｝_2\左[（\text{事务}_1A^q） ^{p/q}\right]\right）^{q/p}\leq\text{Tr}_3\左（\text{事务}_1\左[（\text{Tr}_2A^p） ^{q/p}\right]\right）。\]
对于\（0\leqp\leq1）和任意\（q\geqp\），这个不等式相反。
作者详细介绍了证明定理1.1和1.3所需的技术。
审核人：安德烈·孔德拉特耶夫（伯明翰/亚利桑那州）

引用于三评论
引用于42文件

MSC公司：

47A63型 线性算子不等式
15A90型 矩阵理论在物理学中的应用（MSC2000）
15A45型 涉及矩阵的其他不等式
47N50型 算子理论在物理科学中的应用
第81页，共15页 量子测量理论、态操作、态准备
82B10型 量子平衡统计力学（通用）

关键词：

凸性；凹度；迹不等式；熵；操作员规范

引文：

Zbl 0933.47014号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{E.A.Carlen}和\textit{E.H.Lieb}，Lett。数学。物理学。83，No.2，107--126（2008；Zbl 1171.47015）
全文： 内政部 arXiv公司

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