尼古拉·古伊;尼娜·米奥兰;泽维尔·佩内克 黎曼几何和几何统计简介：从基本理论到地理统计的实现。 （英语） Zbl 1510.68102号 找到。趋势马赫。学习。 16，第3号，329-493（2023）. 摘要：由于数据是应用中的主要资源，黎曼几何是建模和统一复杂非线性数据源的自然框架。然而，从黎曼几何的基本理论发展计算工具是很困难的。这里介绍的工作是对开源项目geomstats的主要贡献之一，该项目由一个提供黎曼几何和几何统计概念的高效实现的Python包组成，对于数学家和应用科学家来说，大多数困难都隐藏在高级函数中。这本专著的目的是双重的。首先，我们的目的是对黎曼几何的基本概念进行自足的阐述，在每个步骤中提供插图和示例，并采用计算的观点。第二个目标是演示如何在地理统计中实现这些概念，解释所做的选择和所选择的约定。一般概念将在本文中公开，具体示例将在文中详细介绍。此实现的最终目的是能够在流形上执行统计和机器学习，代码行数与广泛使用的机器学习工具scikit-learn中的代码行数一样少。我们通过介绍几何统计学来举例说明这一点。 引用于2文件 MSC公司： 68T09号 数据分析和大数据的计算方面 2004年3月 与微分几何有关的问题的软件、源代码等 53对21 局部黎曼几何方法 53C21号 全局黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制 62-04 统计相关问题的软件、源代码等 62兰特 大数据和数据科学的统计方面 62兰特 歧管统计 53-02 与微分几何有关的研究博览会（专著、调查文章） 62-02 与统计有关的研究展览（专著、调查文章） 68-02 与计算机科学有关的研究博览会（专著、调查文章） 软件：PyTorch公司;github;蟒蛇;PyQuaternions公司;四元数;Geoopt公司;TensorFlow公司;皮曼诺普;地理统计局;McTorch公司;PyGeometry（虚拟几何体）;科学Py PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛N.Guigui｝等人，发现。趋势马赫。学习。16，编号3，329--493（2023；Zbl 1510.68102） 全文： 内政部 OA许可证 参考文献： [1] 超球体。 [2] Kendall大小和形状空间。 [3] 尖点和节点。 [4] SO（n）的切线空间。 [5] 半平面的完整性。 [6] 3.9 S d和H d+的截面曲率。 [7] GL（n）的指数图。 [8] SE（n）上的无效度量。401 [9] SO（3）上的结构常数。 [10] SE（3）上的结构常数。 [11] 作为同质空间的超球体。 [12] 同质空间中的Stiefel流形。 [13] 同质空间中的格拉斯曼。 [14] 同质空间中的SPD矩阵。 [15] 布雷斯-沃瑟斯坦测地线。 [16] Bures-Wasserstein公制的曲率。 [17] 作为对称空间的超球体。 [18] 作为对称空间的格拉斯曼。 [19] 作为对称空间的Stiefel流形。 [20] SO（n）上的均匀分布。458 [21] 地球主测地分析。466 [22] 歧管上平滑曲线的定义。 [23] 切线向量和切线空间。 [24] geomstats流形的结构。 [25] 平行向量场。3.2曲率对距离函数的影响。 [26] SE（2）的单参数亚组。 [27] SE（2）的测地线和单参数子群。 [28] SE上测地线的可视化（2）。 [29] SE（3）上并行传输的误差曲线。 [30] Kendall空间上并行传输的误差曲线。 [31] R 3中三个矢量跨越的体积。6.2球体上均匀分布的样品。 [32] 球面的主要测地分析。 [33] 参考文献Ablin，P.，G.Peyré和T.Moreau（2020）。“对定义为最小值的函数进行自动差分的超高效性”。摘自：D.Hal III和A.Singh编著的第37届国际机器学习会议记录。第119卷。机器学习研究论文集。PMLR公司。32-41. 网址：https://proceedings.mlr。按/v119/ablin20a.html。 [34] Absil，P.-A.、R.Mahony和R.Sepulchre（2010年）。“流形优化：方法和应用”。收录：M.Diehl、F.Glineur、E.Jarlebring和W.Michiels编辑的《优化及其在工程中的应用的最新进展》。柏林，海德堡：施普林格。125-144. doi:10.1007/978-3642-12598-0_12·doi:10.1007/978-3642-12598-0_12 [35] Absil，P.-A.和J.Malick（2012年）。“矩阵流形上的投影式收缩”。SIAM优化杂志。22(1): 135-158. doi:10.1137/100802529·兹比尔1248.49055 ·数字对象标识代码：10.1137/100802529 [36] Afsari，B.（2011）。“黎曼Lp质心：存在性、唯一性和凸性”。美国数学学会会刊。139(2): 655-673. doi:10.1090/S0002-9939-2010-10541-5·Zbl 1220.53040号 ·doi:10.1090/S0002-9939-2010-10541-5 [37] Arnold，V.（1966年）。“Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applicationsál”，《流体力学》，傅里叶学院年鉴。16(1): 319-361. doi:10.5802/aif.233·Zbl 0148.45301号 ·doi:10.5802/aif.233 [38] Atkin，C.J.（1975）。“Hopf-Rineow定理在无穷维中是错误的”。伦敦数学学会公报。7(3): 261-266. doi:10.1112/blms/7.3.261·Zbl 0374.58006号 ·doi:10.1112/blms/7.3.261 [39] Balzin，E.（2021）。MAA 306课程“微分几何主题”讲座。6月102日。网址：http://eduard-balzin.perso.math.cnrs。fr/Differential_geometry_architecture_notes_070621.pdf。 [40] Barachant，A.（2015）。“pyRiemann v0.2.2”。泽诺。doi:10。5281/zenodo.593816·doi:10.5281/zenodo.593816 [41] Barczyk，M.、S.Bonnabel、J.-E.Deschaud和F.Goulette（2015）。“扫描匹配辅助定位的变异EKF设计”。IEEE控制系统技术汇刊。23(6): 2440-2448. doi:10.1109/TCST.2015.2413933·doi:10.1010/TCST.2015.24133933 [42] Barp，A.、A.Kennedy和M.Girolami（2019）。“通过辛约化在对称和齐次空间上的哈密顿蒙特卡罗”。doi:10.48550/arXiv.1903.02699·doi:10.48550/arXiv.1903.02699 [43] Becigneul，G.和O.Ganea（2019年）。“黎曼自适应优化方法”。参加：第七届国际学习代表大会（ICLR）。网址：https://openreview.net/pdf ?id=r1eiqi09K7。 [44] Bendokat，T.、R.Zimmermann和P.-A.Absil（2020年）。《格拉斯曼流形手册：基本几何和计算方面》。技术报告编号：UCL-INMA-2020.07。arXiv:2011.13699。 [45] Berger，M.（2003）。黎曼几何全景。柏林，海德堡：施普林格。doi:10.1007/978-3-642-18245-7·Zbl 1038.53002号 ·doi:10.1007/978-3642-18245-7 [46] Bhatia，R.、T.Jain和Y.Lim（2019年）。“关于正定矩阵之间的Bures-Wasserstein距离”。数学数学博览会。37(2): 165-191. doi:10.1016/j.exmath.2018.01.002·Zbl 1437.15044号 ·doi:10.1016/j.exmath.2018.01.002 [47] Bhattacharya，R.和V.Patrangnaru（2005年）。“流形上内禀和外禀样本均值的大样本理论——II”。统计年鉴。33(3): 1225-1259. doi:10.1214/009053605000000093·Zbl 1072.62033号 ·doi:10.1214/009053605000000093 [48] Boumal，N.（2023年）。平滑操纵器优化简介。剑桥：剑桥大学出版社。网址：https://www.网址。cambridge.org/core/books/an-introduction-to-optimization-on-smooth-manifolds/EAF2B35457B7034AC747188DC2FFC058（ac-cessed on 01/06/2023）·Zbl 1532.90001号 [49] E.卡坦（1926年）。这是一个可评论的“黎曼空间”。法国社会数学公报。54: 214-264. doi:10.24033/bsmf.1105·doi:10.24033/bsmf.1105 [50] Cartan，E.（1930）。群的终结与连续与分析。第42卷。数学科学博物馆。Gauthier-Villars等人。网址：https://books.google.fr/books？id=nv8SAQAAMAAJ。 [51] Cendra，H.、D.D.Holm、J.E.Marsden和T.S.Ratiu（1998年）。“拉格朗日约化、欧拉-波因卡方程和半直积”。In：微分方程几何。第186卷。美国数学学会翻译：系列2。美国数学学会。1-25. doi:10.1090/trans2/186·Zbl 0989.37052号 ·doi:10.1090/trans2/186 [52] Censi，A.（2012）。“PyGeometry：用于处理各种不同流形的库。”url:https://github.com/AndreaCensi/geometry。《第三章齐次空间》（1975）。在：黎曼几何中的比较定理。编辑：J.Cheeger和D.G.Ebin，第9卷。北荷兰数学图书馆。爱思唯尔。55-79. doi:10.1016/S0924-6509（08）70208-3·doi:10.1016/S0924-6509（08）70208-3 [53] Chevallier，E.和N.Guigui（2020年）。“通过刚体运动的均值和协方差参数化的双变量统计模型”。熵。22(4): 432. doi:10.3390/e22040432·doi:10.3390/e22040432 [54] Chikuse，Y.（2003）。特殊歧管的统计数据。统计学讲义。纽约：Springer-Verlag。doi:10.1007/978-0-387-21540-2·Zbl 1026.62051号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-0-387-21540-2 [55] Cohen、T.S.、M.Geiger和M.Weiler（2019年）。“齐次空间上等变CNN的一般理论”。主题：神经信息处理系统进展。第32卷。Curran Associates，Inc.网址：https://procedures。神经末梢。cc/paper/2019/hash/b9cfe8b6042cf759dc4c0cccb27a6737-摘要。html（2023年6月1日访问）。 [56] David，P.和W.Gu（2019年）。“相关矩阵的黎曼结构”。运算符和矩阵。13(3): 607-627. doi:10.7153/oam-2019-13-46·Zbl 1433.62149号 ·doi:10.7153/oam-2019-13-46 [57] Diaconis，P.、S.Holmes和M.Shahsahani（2013年）。“歧管取样”。现代统计理论与应用进展：纪念莫里斯·伊顿的节日。1月10日-125日。doi:10.1214/12-IMSCOLL1006·Zbl 1356.62015年 ·doi:10.1214/12-IMSCOLL1006 [58] Dryden，I.L.、A.Koloydenko和D.Zhou（2009年）。“协方差矩阵的非核素统计，及其在扩散张量成像中的应用”。应用统计学年鉴。3(3): 1102-1123. doi:10.1214/09-AOAS249·Zbl 1196.62063号 ·doi:10.1214/09-AOAS249 [59] Dryden，I.L.和K.V.Mardia（2016年）。统计形状分析：在R.威利数列中的应用。约翰·威利父子公司。doi:10.1002/9781119072492·兹比尔1381.62003 ·doi:10.1002/9781119072492 [60] Eaton，M.L.（1983）。多元统计：向量空间方法。概率统计系列。威利。网址：https://books.google。fr/books？id=1CvvAAAAMAAJ·Zbl 0587.62097号 [61] Fey，M.和J.E.Lenssen（2019年）。“使用PyTorch Geometric快速图形表示学习”。4月19日：1903.02428。 [62] Fletcher，P.、C.Lu、S.Pizer和S.Joshi（2004年）。“形状非线性统计研究的主要测地分析”。IEEE医学成像汇刊。23(8): 995-1005. doi:10.1109/TMI.2004.831793·doi:10.1109/TMI.2004.831793 [63] Fréchet，M.（1948年）。“《自然的乐园》（Leséléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié）”。《亨利·彭卡学院年鉴》。10(4): 215-310. 网址：http://www.numdam.org/item/AIHP_1948__10_ ·Zbl 0035.20802号 [64] Gallier，J.和J.Quaintance（2020年）。微分几何和李群：计算的观点。几何与计算·Zbl 1453.53001号 [65] 施普林格国际出版公司。doi:10.1007/978-3-030-46040-2·Zbl 1453.53001号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-030-46040-2 [66] Gawlik，E.S.和M.Leok（2018年）。“通过广义极分解在对称空间上插值”。交换数学基础。18(3): 757-788. doi:10.1007/s10208-017-9353-0·Zbl 1398.41001号 ·doi:10.1007/s10208-017-9353-0 [67] Gay Balmaz，F.、D.D.Holm、D.M.Meier、T.S.Ratiu和F.-X.Vialard（2012年）。“不变高阶变分问题II”。非线性科学杂志。22(4): 553-597. doi:10.1007/s00332-012-9137-2·Zbl 1351.58009号 ·doi:10.1007/s00332-012-9137-2 [68] Guigui，N.、E.Maintent、A.Trouvé和X.Pennec（2021年）。“Kendall形状空间上的并行传输”。收录于：GSI 2021-第五届信息几何科学会议。第12829卷。计算机科学课堂讲稿。商会施普林格。103-110. doi:10.1007/978-3-030-80209-7_12·Zbl 07495207号 ·doi:10.1007/978-3-030-80209-7_12 [69] Guigui，N.和X.Pennec（2021年）。“具有左变度量的李群上的简化并行传输方程”。在：GSI 2021-第五届信息几何科学会议。第12829卷。计算机科学课堂讲稿。商会施普林格。119-126. doi:10.1007/978-3-030-80209-7_14·Zbl 1490.53072号 ·doi:10.1007/978-3-030-80209-7_14 [70] Hauberg，S.（2018）。“球面正态分布的方向统计”。2018年第21届信息融合国际会议（Fusion）。704-711. doi:10.23919/ICIF.2018.8455242·doi:10.23919/ICIF.2018.8455242 [71] Hauberg，S.（2019年）。“只有贝叶斯应该学习流形（从数据中估计微分几何结构）”。9月19日：1806.04994。 [72] Helgason，S.（1979年）。微分几何、李群和对称空间。第80卷。纯数学和应用数学。学术出版社。网址：https://www.sciencedirect.com/bookseries/pure-and-applied-mathematics/vol/80/suppl/C。 [73] Huckemann，S.、T.Hotz和A.Munk（2010年）。“内在形状分析：黎曼流形模等距李群作用的测地Pca”。中国统计局。20(1): 1-58. 网址：https://www.jstor.org/稳定/24308976（2023年9月1日访问）·Zbl 1180.62087号 [74] Karcher，H.（1977）。“黎曼质心和莫利弗平滑”。纯数学与应用数学交流。30(5): 509-541. doi:10.1002/cpa.3160300502·Zbl 0354.57005号 ·doi:10.1002/cpa.3160300502 [75] Karcher，H.（2014）。“黎曼质心和所谓的卡彻平均”。7月。arXiv:1407.2087。 [76] Kendall，W.S.（1990年）。“具有小图像的概率、凸性和调和映射I：唯一性和精细存在性”。伦敦数学学会会刊。s3-61（2）：371-406。doi:10.1112/plms/s3-61.2.371·Zbl 0675.58042号 ·doi:10.1112/plms/s3-61.2.371 [77] Kendall，W.S.和H.Le（2009年）。“10统计形状理论”。在：随机几何的新观点。编辑：W.S.Kendall和I.Molchanov。牛津大学出版社。348-373. doi:10.1093/acprof:oso/9780199232574.003.0010·doi:10.1093/acprof:oso/9780199232574.003.0010 [78] Kim、K.-R.、I.L.Dryden、H.Le和K.E.Severn（2021年）。“黎曼流形上的平滑样条，及其在三维形状空间中的应用”。英国皇家统计学会杂志：B辑（统计方法）。83(1): 108-132. doi:10.1111/rssb.12402·Zbl 07555258号 ·doi:10.1111/rssb.12402 [79] Kobayashi，S.和K.Nomizu（1996a）。微分几何基础，第1卷。威利经典图书馆。威利。 [80] Kobayashi，S.和K.Nomizu（1996b）。微分几何基础，第2卷。威利。 [81] Kochurov，M.、R.Karimov和S.Kozlukov（2020年）。“Geoopt:PyTorch中的Rieman-nian优化”。doi:10.48550/arXiv.2005.02819。arXiv:2005.02819[cs]。 ·doi:10.48550/arXiv.2005.02819 [82] Kolev，B.（2004）。“李群与力学：导论”。非线性数学物理杂志。11(4): 480-498. doi:10.2991/jnmp.2004.11.4.5·Zbl 1069.35070号 ·doi:10.2991/jnmp.2004.11.4.5 [83] Kühnel，L.和S.Sommer（2017）。“Theano的计算解剖学”。生物医学图像分析、计算解剖学和成像遗传学中的图形。9月：164-176日。doi:10.1007/978-3-319-67675-3_15·doi:10.1007/978-3-319-67675-3_15 [84] Kühnel，L.、S.Sommer和A.Arnaudon（2019年）。《微分几何与随机动力学与深度学习数值》。应用数学与计算。356（9月）：411-437。doi:10.1016/j.amc.2019.03.044·Zbl 1428.58026号 ·文件编号：10.1016/j.amc.2019.03.044 [85] Lafontaine，J.、S.Gallot和D.Hulin（2004年）。黎曼几何。Universitext公司。斯普林格·弗拉格。doi:10.1007/978-3642-18855-8·Zbl 1068.53001号 ·doi:10.1007/978-3642-18855-8 [86] Le，H.和D.G.Kendall（1993年）。“欧拉-克利迪恩形状空间的黎曼结构：一个新的统计学环境”。统计年鉴。21(3): 1225-1271. 网址：https://www.jstor.org/稳定/2242196（2020年9月11日访问）·Zbl 0831.62003号 [87] Lee，J.M.（2003）。平滑流形简介。第218卷。数学研究生课文。纽约州纽约市：施普林格科学与商业媒体。doi:10.1007/9781-4419-9982-5·Zbl 1258.53002号 ·doi:10.1007/9781-4419-9982-5 [88] Lee，J.M.（2018）。黎曼流形简介。第176卷。数学研究生课文。查姆：斯普林格国际出版公司。doi:10.1007/978-3-319-91755-9·Zbl 1409.53001号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-319-91755-9 [89] Lorenzi，M.和X.Pennec（2013）。“用于微分图像配准的测地学、并行传输和单参数子群”。国际计算机视觉杂志。105(2): 111-127. doi:10.1007/s11263-012-0598-4·Zbl 1304.92076号 ·文件编号：10.1007/s11263-012-0598-4 [90] Louis，M.、R.Couronné、I.Koval、B.Charlier和S.Durrleman（2019年）。“用于疾病进展建模的黎曼几何学习”。医学成像中的信息处理。商会施普林格。542-553. doi:10.1007/978-3-030-20351-1_42·doi:10.1007/978-3-030-20351-1_42 [91] Mardia，K.V.和P.E.Jupp（2009年）。方向统计。概率统计威利级数。约翰·威利父子公司。doi:10。1002/9780470316979·doi:10.1002/9780470316979 [92] Marle，C.-M.（2005）。“Charles Ehresmann关于连接的作品：从Cartan连接到光纤束连接”。在：流形的几何和拓扑。第76卷。波兰贝德卢。65-86. 网址：https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00940427（2021年8月5日访问）·Zbl 1116.53003号 [93] Marron，J.和I.Dryden（2021年）。面向对象的数据分析。Chap-man和Hall/CRC统计学与应用概率专著。CRC出版社。网址：https://books.google.fr/books？id=X2yjzgEACAAJ。 [94] Marsden，J.E.和T.S.Ratiu（2009年）。“机械系统：对称性和简化”。收录于：复杂性和系统科学百科全书。R.A.Meyers编辑。纽约州纽约市：斯普林格。5482-5510. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_326·doi:10.1007/978-0-387-30440-3_326 [95] McAlpin，J.H.（1965）。“无限维流形与莫尔斯理论”。博士论文。哥伦比亚大学。 [96] Meghwanshi，M.、P.Jawanpuria、A.Kunchukuttan、H.Kasai和B.Mishra（2018年）。“McTorch，深度学习的流形优化库”。doi:10.48550/arXiv.1810.01811·doi:10.48550/arXiv.1810.01811 [97] Milnor，J.（1976年）。“李群上左不变度量的曲率”。数学进步。21(3): 293-329. doi:10。1016/S0001-8708（76）80002-3·Zbl 0341.53030号 ·doi:10.1016/S0001-8708（76）80002-3 [98] Milnor，J.（1984）。“关于无穷维李群的注记”。关系活动、组和拓扑。2.网址：http://inis.iaea.org/搜索/search.aspx？orig_q=RN:16043191（2021年6月7日访问）。 [99] Miolane，N.和X.Pennec（2015）。“计算李群上的双变量伪度量以获得一致统计”。熵。17(4). doi:10.3390/e17041850·doi:10.3390/e17041850 [100] Miolane，N.、N.Guigui、H.Zaatiti、C.Shewmake、H.Hajri、D.Brooks、A.Le Brigant、J.Mathe、B.Hou、Y.Thanwerdas、S.Heyder、O.Peltre、N.Koep、Y.Cabanes、T.Gerald、P.Chauchat、B.Kainz、C.Donnat、S.Holmes和X.Pennec（2020年）。“使用Geomstats在Python中学习几何入门”。收录：SciPy 2020-科学大会第19届Python。48.doi:10.25080/Majora-342d178e-007·doi:10.25080/Majora-342d178e-007 [101] Munthe-Kaas、H.Z.、G.R.W.Quispel和A.Zanna（2014年）。“微分方程数值分析中的对称空间和李三系”。BIT数值数学。54(1): 257-282. doi:10.1007/s10543-014-0473-5·Zbl 1291.65254号 ·doi:10.1007/s10543-014-0473-5 [102] Myers，S.B.和N.E.Steenrod（1939年）。“黎曼流形的等距群”。数学年鉴。40(2): 400-416. doi:10.2307/1968928·Zbl 0021.06303号 ·doi:10.2307/1968928 [103] Nava-Yazdani，E.、H.-C.Hege、T.J.Sullivan和C.von Tycowicz（2020年）。“Kendall形状空间中的测地分析及其流行病学应用”。数学成像与视觉杂志。62(4): 549-559. doi:10.1007/s10851-020-00945-w·Zbl 1437.53012号 ·doi:10.1007/s10851-020-00945-w [104] Nickel，M.和D.Kiela（2017年）。“用于学习层次表示的彭加莱嵌入”。内容：神经信息处理系统进展30。编辑：I.Guyon、U.V.Luxburg、S.Bengio、H.Wallach、R.Fergus、S.Vishwanathan和R.Garnett。Curran Associates公司，6338-6347。网址：http://papers.nips.cc/paper/7213-磅-嵌入-用于学习-层次-表示。pdf格式。 [105] Nomizu，K.（1954年）。“齐次空间上的不变仿射连接”。美国数学杂志。76(1): 33. doi:10.2307/2372398·Zbl 0059.15805号 ·doi:10.2307/2372398 [106] O'Neill，B.（1966年）。“淹没的基本方程”。密歇根数学杂志。13(4): 459-469. doi:10.1307/mmj/1028999604·Zbl 0145.18602号 ·doi:10.1307/mmj/1028999604 [107] Paulin，F.（2007年）。“盖奥梅特里·迪芬蒂列·莱梅泰尔”。网址：https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/paulin/notescours/cours_geodiff.pdf。 [108] Paulin，F.（2014）。“盖奥梅特里·里马尼恩，第二届马赛球场”（Géométrie Riemanienne，cours de second anneée de mastère）。网址：https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/paulin/notescours/cours_georiem.pdf。 [109] Pennec，X.（2006）。“黎曼流形的内禀统计：几何测量的基本工具”。数学图像与视觉杂志。25(1): 127-154. doi:10.1007/s10851-006-6228-4·Zbl 1478.94072号 ·文件编号：10.1007/s10851-006-6228-4 [110] Pennec，X.和V.Arsigny（2013年）。“正则Cartan连接的指数重心和李群的不变平均”。In：矩阵信息几何。编辑：F.Nielsen和R.Bhatia。柏林，海德堡：施普林格-柏林-海德堡，123-166。doi:10。1007/978-3-642-30232-9_7·兹比尔1270.53078 ·doi:10.1007/978-3-642-30232-97 [111] Pennec，X.、P.Fillard和N.Ayache（2006年）。“张量计算的黎曼框架”。国际计算机视觉杂志。66(1): 41-66. doi:10.1007/s11263-005-3222-z·Zbl 1287.53031号 ·doi:10.1007/s11263-005-3222-z [112] Pennec，X.、S.Sommer和T.Fletcher编辑（2020年）。医学图像分析中的黎曼几何统计。第3卷。爱思唯尔和麦克卡伊学会丛书。爱思唯尔。doi:10.1016/C2017-0-01561-6·Zbl 1428.92004年 ·doi:10.1016/C2017-0-01561-6 [113] Postnikov，M.M.（2001）。几何六：黎曼几何。数学科学百科全书，几何。柏林-海德堡：Springer-Verlag。网址：//www.springer.com/us/book/9783540411086（2018年12月21日访问）·Zbl 0993.53001号 [114] Riemann，B.（1868年）。“U ber Die Hypothesen，Welche Der Geometrie Zu Grunde Liegen.（Mitgetheilt Durch r.Dedekind）”。哥廷根的Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften。13: 133-152. 网址：http://eudml.org/doc/135760。 [115] Riemann，B.（1873）。“关于几何基础的假设”。自然。8(184): 36-37. doi:10.1038/008036a0·数字对象标识代码：10.1038/008036a0 [116] Said、S.、H.Hajri、L.Bombrun和B.C.Vemuri（2018）。“黎曼对称空间上的高斯分布：用结构协方差矩阵进行统计学习”。IEEE信息论汇刊。64(2): 752-772. doi:10.1109/TIT.2017.2713829·Zbl 1464.62300号 ·doi:10.10109/TIT.2017.2711829 [117] Schmid，R.（2004年）。“无限维李群及其在数学物理中的应用”。物理学中的几何和对称杂志。1（1月）:54-120。doi:10.7546/jgsp-1-2004-54-120·Zbl 1063.22020年 ·doi:10.7546/jgsp-1-2004-54-120 [118] Smirnov，O.（2021）。“TensorFlow RiemOpt:黎曼流形优化库”。7月。arXiv:2105.13921。 [119] Terras，A.（1988年）。对称空间的调和分析及其应用，第二卷。纽约：Springer-Verlag。doi:10.1007/978-1-4612-3820-1·Zbl 0668.10033号 ·doi:10.1007/978-1-4612-3820-1 [120] Thanwerdas，Y.（2022）。“协变矩阵和相关矩阵上的黎曼几何和分层几何”。论文。蓝色大学。网址：https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-03698752。 [121] Thanwerdas，Y.和X.Pennec（2021年）。“满秩相关矩阵上商仿射度量的测地线和曲率”。收录于：GSI 2021-第五届信息几何科学会议。信息几何科学学报。法国巴黎。doi:10.1007/978-3-030-80209-7_11·Zbl 07495206号 ·doi:10.1007/978-3-030-80209-7_11 [122] Thanwerdas，Y.和X.Pennec（2022年）。“SPD矩阵上的O（n）-不变黎曼度量”。线性代数及其应用。12月doi:10.1016/j.laa.2022.12.009·Zbl 1507.15020号 ·doi:10.1016/j.laa.2022.12.009 [123] Townsend，J.、N.Koep和S.Weichwald（2016年）。“Pymanopt:使用自动微分优化流形的Python工具箱”。机器学习研究杂志。17(137): 1-5. doi:10.5555/2946645.3007090·Zbl 1416.65580号 ·doi:10.5555/2946645.3007090 [124] Whitney，H.（1936年）。“可微分歧管”。数学年鉴。37(3): 645-680. doi:10.2307/1968482·doi:10.2307/1968482 [125] Wood，A.T.A.（1994）。“模拟von Mises Fisher分布”。统计学中的通信-模拟和计算。23(1): 157-164. doi:10.1080/03610919408813161·Zbl 0825.62022号 ·doi:10.1080/03610919408813161 [126] Wynn，K.（2014年）。“PyQuaternions：一个用于表示和使用四元数的全功能Pythonic库”。网址：https://github.com/KieranWynn/pyquaternion公司。 [127] Yair，O.、M.Ben-Chen和R.Talmon（2019年）。“用于域适配的SPD矩阵锥流形上的并行传输”。收录：IEEE信号处理汇刊。第67卷。1797-1811. doi:10.1109/TSP.2019.2894801·Zbl 1458.65051号 ·doi:10.1109/TSP.2019.2894801 [128] Zimmermann，R.（2017）。“Stiefel流形上正则度量下黎曼对数的矩阵代数算法”。SIAM矩阵分析与应用杂志。38(2): 322-342. doi:10.1137/16M1074485·Zbl 1365.65137号 ·doi:10.1137/16M1074485 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。