法比奥·索齐奥;亚拉什·亚瓦里 位错力学的几何场理论。 （英语） Zbl 1525.74037号 非线性科学杂志。 33，第5号，第83号论文，83页（2023年）. 总结：本文建立了单晶位错动力学和有限塑性的几何场理论。从变形梯度乘法分解为弹性部分和塑性部分开始，我们使用Cartan的移动框架通过微分1-形式来描述畸变晶格结构。在这个理论中，主要的场是位错场，定义为微分2形式的集合。然后通过位错场的叠加来确定晶格结构的缺陷含量。所有这些微分形式构成了系统的内部变量。从位错2型的运动学出发，导出了内变量的演化方程，用流动和李导数的概念表示。然后通过Orowan方程将其与晶格结构的变化率相耦合。控制方程是用拉格朗日-达朗伯特型变分原理的双势方法导出的。由于在非线性环境中，晶格结构随着时间的推移而演化，因此通过在变分原理中施加一些约束来公式化滑移系统上位错的动力学。使用与这些约束相关联的拉格朗日乘子，可以获得晶格对位错场施加的力，以使它们在某些给定的晶体学平面上滑动。此外，几何公式允许人们研究滑动面的可积性，从而研究滑动面的存在，以及滑动运动是如何受其影响的。最后，导出了小位错密度的线性理论，允许人们识别线性化设置中未出现的非线性效应。 MSC公司： 74立方厘米 大应变率相关塑性理论（包括非线性塑性） 74A60型 微观力学理论 74E15型 晶体结构 53Z05个 微分几何在物理学中的应用 关键词：连续位错动力学;非线性有限塑性;卡坦移动架;畸变晶格结构;微分形式;奥洛万方程;双势理论;变分Lagrange-d'Alembert原理 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{F.Sozio}和\textit{A.Yavari}，J.非线性科学。33，第5号，第83号论文，83页（2023年；Zbl 1525.74037） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Acharya，A.，基于连续分布位错理论的晶体塑性模型，J.Mech。物理学。固体，49，4，761-784（2001）·Zbl 1017.74010号 ·doi:10.1016/S0022-5096（00）00060-0 [2] Acharya，A.，《非线性位错动力学的作用》，J.Mech。物理学。固体，161（2022）·doi:10.1016/j.jmps.2022.104811 [3] 阿诺德，VI；科兹洛夫，V。；Neishtadt，A.，《动力系统III》（1988），柏林：施普林格出版社，柏林·doi:10.1007/978-3-662-02535-2 [4] Arsenlis，A。；Parks，D.，《几何必要位错密度和统计存储位错密度的晶体学方面》，《材料学报》。，47, 5, 1597-1611 (1999) ·doi:10.1016/S1359-6454（99）00020-8 [5] Ashby，M.，塑性非均匀材料的变形，Philos。Mag.A J.Theor博士。到期申请。物理。，21, 170, 399-424 (1970) [6] Berdichevsky，VL，重温位错连续体理论，连续体力学。热电偶。，195-222年3月18日（2006年）·Zbl 1160.74309号 ·doi:10.1007/s00161-006-0024-7 [7] Bilby，文学学士；布洛，R。；Smith，E.，《位错的连续分布：非黎曼几何方法的新应用》，Proc。R.Soc.伦敦。A、 231、1185、263-273（1955）·doi:10.1098/rspa.1955.0171 [8] 布鲁尼，M。；Gualtieri，L。；Sopurta，CF，双参数非线性时空扰动：规范变换和规范不变性，Class。量子引力，20,3535（2003）·Zbl 1028.83007号 ·doi:10.1088/0264-9381/20/3/310 [9] 布莱恩特，RL；Chern，S-S；加德纳，RB；Goldschmidt，HL；宾夕法尼亚州格里菲斯，《外部差速器系统》（2013），柏林：施普林格，柏林·Zbl 0726.58002号 [10] 卡丹，F。；Favretti，M.，《具有不可积分约束的机械系统的非完整动力学和vakonomic动力学》，J.Geom。物理。，18, 4, 295-325 (1996) ·兹比尔0864.70007 ·doi:10.1016/0393-0440（95）00016-X [11] Cermelli，P。；Gurtin，ME，《有限塑性中几何必要位错的表征》，J.Mech。物理学。固体，49，7，1539-1568（2001）·Zbl 0989.74013号 ·doi:10.1016/S0022-5096（00）00084-3 [12] 克莱顿，JD；DJ Bammann；DL McDowell，《含缺陷晶体运动学的几何框架》，Philos。Mag.，85，33-35，3983-4010（2005）·doi:10.1080/147864300500363312 [13] Cleja-Ţigou，S.：具有连续分布位错的有限弹塑性材料力。参见：《缺陷与材料力学》，第67-81页。柏林施普林格出版社（2007）·兹比尔1142.74011 [14] 克莱亚·蒂戈乌（Cleja-Tigou），S。；Maugin，G.，Eshelby有限弹塑性应力张量，机械学报。，139, 1, 231-249 (2000) ·Zbl 0951.74009号 ·doi:10.1007/BF01170191 [15] Clifton，R.，关于\（{F}^e{F}^p\）和\（{\bar{F}}^p{\bar}F}}^e\）的等价性，J.Appl。机械。，39, 1, 287-289 (1972) ·数字对象标识代码：10.1115/1.3422634 [16] 科尔曼，BD；Gurtin，ME，《含内部状态变量的热力学》，J.Chem。物理。，47, 2, 597-613 (1967) ·doi:10.1063/1.1711937年 [17] Delphenich，D.，《关于多连接弹性体的平衡》，数学。机械。固体，25，9，1683-1760（2020）·Zbl 1482.74003号 ·doi:10.1177/1081286520928095 [18] Eckart，C.，《不可逆过程的热力学》。四、 弹性和滞弹性理论，物理学。修订版，73、4、373（1948年）·Zbl 0032.22201号 ·doi:10.1103/PhysRev.73.373 [19] El-Azab，A.，单晶位错分布演化的统计力学处理，Phys。修订版B，61，1811956（2000）·doi:10.1103/PhysRevB.61.11956 [20] El-Azab，A。；邓，J。；Tang，M.，位错系综的统计特征，Philos。Mag.，87，8-9，1201-1223（2007）·网址：10.1080/14786430601023807 [21] 爱泼斯坦，M。；Maugin，G.，有限弹性中的能量动量张量和材料均匀性，机械学报。，83, 3-4, 127-133 (1990) ·Zbl 0714.73029号 ·doi:10.1007/BF01172974 [22] 爱泼斯坦，M。；Segev，R.，光滑和奇异缺陷的几何理论，国际非线性力学杂志。，66, 105-110 (2014) ·doi:10.1016/j.ijnonlinme.2014.02.006 [23] 爱泼斯坦，M。；Segev，R.，奇异位错的几何方面，数学。机械。固体，19，4，337-349（2014）·Zbl 1353.74010号 ·doi:10.1177/1081286512465222 [24] Epstein，M.，Segev，R.：关于光滑分布和奇异缺陷的几何和运动学。摘自：《微分几何与连续介质力学》，第203-234页。柏林施普林格出版社（2015）·Zbl 1329.53017号 [25] Epstein，M.，Segev，R.：规则位错和奇异位错。摘自：《几何连续力学》，第223-265页。柏林施普林格（2020）·Zbl 1444.74005号 [26] Eshelby，J.，《位错运动方程》，《物理学》。修订版，90、2、248（1953年）·Zbl 0051.23101号 ·doi:10.1103/PhysRev.90.248 [27] 法索，F。；Sansonetto，N.，具有仿射约束的非完整系统中的能量和动量守恒，正则混沌动力学。，20, 4, 449-462 (2015) ·Zbl 1353.70033号 ·doi:10.1134/S1560354715040048 [28] 盖罗拉，BKD；Nabarro，FRN，非线性弹性问题，固体中的位错。第1卷。《弹性理论》，223-342（1979），阿姆斯特丹：荷兰北部 [29] Germain，P。；苏奎特，P。；Nguyen，QS，连续热力学。，J.应用。机械。，50, 1010-1020 (1983) ·Zbl 0536.73004号 ·数字对象标识代码：10.1115/1.3167184 [30] Goldstein，H。；普尔，C。；Safko，J.，经典力学（2002），大学公园：美国物理教师协会，大学公园·Zbl 1132.70001号 [31] Golgoon，A。；Yavari，A.，非线性各向异性固体中的线和点缺陷，Z.Angew。数学。物理。，69, 3, 81 (2018) ·Zbl 1452.74017号 ·doi:10.1007/s00033-018-0973-2 [32] Goodbrake，C.公司。；Goriely，A。；Yavari，A.，《滞弹性的数学基础：光滑整体中间构型的存在》，Proc。R.Soc.A，477，2245，20200462（2021）·doi:10.1098/rspa.2020.0462 [33] 格罗马，I。；Csikor，F。；Zaiser，M.，位错动力学连续描述中的空间相关性和高阶梯度项，《材料学报》。，51, 5, 1271-1281 (2003) ·doi:10.1016/S1359-6454（02）00517-7 [34] Gurtin，ME，解释几何必要位错的单晶粘塑性梯度理论，J.Mech。物理学。固体，50，1，5-32（2002）·Zbl 1043.74007号 ·doi:10.1016/S0022-5096（01）00104-1 [35] Hackl，K.，经典和有限应变弹塑性中的广义标准介质和变分原理，J.Mech。物理学。固体，45，5667-688（1997）·Zbl 0974.74512号 ·doi:10.1016/S0022-5096（96）00110-X [36] 哈尔芬，B。；Nguyen，QS，Sur les matériaux standard généralisés，《梅卡尼克杂志》，第14期，第39-63页（1975年）·Zbl 0308.73017号 [37] Hirth，JP；HM Zbib；Lothe，J.，《高速位错上的力》，Modell。模拟。马特。科学。工程师，6，2，165（1998）·doi:10.1088/0965-0393/6/2006 [38] Hochrainer，T.，热力学一致连续位错动力学，J.Mech。物理学。固体，88，12-22（2016）·doi:10.1016/j.jmps.2015.12.015 [39] Hochrainer，T。；Zaiser，M。；Gumbsch，P.，《位错系统的三维连续体理论：运动学和平均场公式》，Philos。Mag.，87，8-9，1261-1282（2007）·doi:10.1080/14786430600930218 [40] Iliev，BZ，《法向框架和坐标手册》（2006），柏林：施普林格出版社，柏林·兹比尔1119.53001 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-7643-7619-2 [41] Joos，B。；Duesbery，M.，《位错的Peierls应力：解析公式》，Phys。修订稿。，78,2266（1997年）·doi:10.1103/PhysRevLett.78.266 [42] 容克，P。；Makowski，J。；Hackl，K.，非等温过程耗散势最小原理，连续体力学。热电偶。，26, 3, 259-268 (2014) ·Zbl 1341.80008号 ·doi:10.1007/s00161-013-0299-4 [43] Kamimura，Y。；Edagawa，K。；Iskandarov，A。；Osawa，M。；Umeno，Y。；Takeuchi，S.，Peierls应力通过Peierls-Nabarro模型使用ab-iniio\（\gamma\）-表面估算，并与实验进行比较，《材料学报》。，148, 355-362 (2018) ·doi:10.1016/j.actamat.2018.02.009 [44] Kondo，K.，《弹性变形和不相容的几何学》，《用几何学统一工程科学基本问题研究的回忆录》，1,5-17（1955）·Zbl 0068.14803号 [45] Kröner，E.，Allgemeine kontinuumstroie der versetzungen und eigenspannungen，Arch。定额。机械。分析。，4, 1, 273-334 (1959) ·Zbl 0090.17601号 ·doi:10.1007/BF00281393 [46] Kröner，E.，位错和连续介质力学，应用。机械。修订版，15299-606（1962） [47] 库马尔，A。；Lopez-Pamies，O.，《关于橡胶粘弹性材料的双势本构模型》，C.R.Mec。，344, 2, 102-112 (2016) ·doi:10.1016/j.crme.2015.11.004 [48] Kupferman，R。；Moshe，M。；Solomon，JP，各向同性材料中奇异缺陷的度量描述，Arch。定额。机械。分析。，216, 3, 1009-1047 (2015) ·Zbl 1323.35173号 ·doi:10.1007/s00205-014-0825-y [49] Lewis，AD；Murray，RM，约束系统的变分原理：理论与实验，非线性机械国际期刊。，30, 6, 793-815 (1995) ·Zbl 0864.70008号 ·doi:10.1016/0020-7462（95）00024-0 [50] Lubarda，V.，基于\（｛F｝=的有限应变弹塑性本构公式中的对偶性{F} （_e）{F} （p）\)和（{F}={F}^p{F}^e）分解，国际塑料杂志。，15, 12, 1277-1290 (1999) ·Zbl 0959.74011号 ·doi:10.1016/S0749-6419（99）00039-X [51] Lubliner，J.，《关于具有内部变量的材料速率方程的结构》，《机械学报》。，17, 1-2, 109-119 (1973) ·Zbl 0279.73002号 ·doi:10.1007/BF01260883 [52] Lubliner，J.：塑性理论。Courier Corporation（2008年） [53] Mandel，J.：经典塑性与粘塑性。国际机械中心。科学课程和讲座，97（1971） [54] J.马斯登。；Hughes，T.，《弹性数学基础》。多佛土木和机械工程系列（1983），米内奥拉：多佛，米内奥拉·Zbl 0545.73031号 [55] JE马斯登；Ratiu，TS，《力学与对称导论》（2013），柏林：施普林格出版社，柏林 [56] McDowell，D.L.：界面、位错和位错场塑性的多尺度建模。在：中尺度模型，第195-297页。柏林施普林格（2019） [57] 缪勒，I.，《关于熵不等式》，Arch。定额。机械。分析。，26, 2, 118-141 (1967) ·Zbl 0163.46701号 ·doi:10.1007/BF00285677 [58] Mura，T.，阳痿错位壁，Mater。科学。工程师A，113149-152（1989）·doi:10.1016/0921-5093（89）90301-8 [59] Nabarro，F.，《佩尔斯-纳巴罗压力的五十年研究》，马特。科学。工程师A，234，67-76（1997）·doi:10.1016/S0921-5093（97）00184-6 [60] Nabarro，FRN，定态位错数学理论，高级物理学。，1, 3, 269-394 (1952) ·Zbl 0046.44804号 ·doi:10.1080/0018735200101211 [61] 纳巴罗，FRN，《晶体位错理论》（1967），伦敦：克拉伦登出版社，伦敦 [62] Neĭ标记，JI；Fufaev，NA，《非完整系统动力学》（2004），普罗维登斯：美国数学学会，普罗维登斯·Zbl 0171.45502号 [63] Noll，W.，《具有非均匀性的物质均匀单体》，Arch。定额。机械。分析。，27, 1, 1-32 (1967) ·Zbl 0168.45701号 ·doi:10.1007/BF00276433 [64] Nye，J.，位错晶体中的一些几何关系，金属学报。，1, 2, 153-162 (1953) ·doi:10.1016/0001-6160（53）90054-6 [65] Orowan，E.，Zur kristalplastizität。iii、Z.物理。，89, 9-10, 634-659 (1934) ·doi:10.1007/BF01341480 [66] Orowan，E.，塑料滑动问题，Proc。物理学。社会学（1926-1948），52，1，8（1940）·doi:10.1088/0959-5309/52/1/303 [67] 奥尔蒂斯，M。；Repetto，E.，《韧性单晶中的非凸能量最小化和位错结构》，J.Mech。物理学。固体，47，2397-462（1999）·Zbl 0964.74012号 ·doi:10.1016/S0022-5096（97）00096-3 [68] Ozakin，A。；Yavari，A.，Weitzenböck流形中闭合曲线的仿射发展和位错力学的Burgers矢量，数学。机械。固体，19，3，299-307（2014）·Zbl 1346.74010号 ·doi:10.1177/1081286512463720 [69] Peach，M。；Koehler，J.，《施加在位错上的力及其产生的应力场》，Phys。修订版，80、3、436（1950）·Zbl 0039.23301号 ·doi:10.1103/PhysRev.80.436 [70] Po，G.等人。；Ghoniem，N.，约束位错动力学与热和空位扩散耦合的变分公式，J.Mech。物理学。固体，66，103-116（2014）·Zbl 1323.82050 ·doi:10.1016/j.jmps.2014.01.012 [71] Polanyi，M.，U ber eine art gitterstörung，die einen kristoll plastisch machen könnte，Z.Phys。，89, 9-10, 660-664 (1934) ·doi:10.1007/BF01341481 [72] 秦，Q。；Bassani，JL，《单晶中非施密特屈服行为》，J.Mech。物理学。固体，40,4813-833（1992）·doi:10.1016/0022-5096（92）90005-M [73] Reissner，H.，Eigenspannungen und eigenspannungsquellen，Z.Angew。数学。机械。，11, 1, 1-8 (1931) ·doi:10.1002/zamm.19310110101 [74] Rice，JR，《固体非弹性本构关系：内变量理论及其在金属塑性中的应用》，J.Mech。物理学。固体，19，6，433-455（1971）·Zbl 0235.73002号 ·doi:10.1016/0022-5096（71）90010-X [75] 罗萨基斯，P。；Rosakis，AJ，《不可压缩有限弹性静力学中的螺位错问题：非线性效应的讨论》，J.Elast。，20, 1, 3-40 (1988) ·Zbl 0653.73024号 ·doi:10.1007/BF00042138 [76] Sadik，S。；Yavari，A.，《小-大几何滞弹性》，Proc。R.Soc.A，472，2195，20160659（2016）·Zbl 1371.74008号 ·文件编号：10.1098/rspa.2016.0659 [77] Sadik，S。；Yavari，A.，关于变形梯度乘法分解思想的起源，数学。机械。固体，22，4，771-772（2017）·Zbl 1371.74002号 ·doi:10.1177/1081286515612280 [78] Salahshoor，H。；Pal，RK；Rimoli，JJ，单晶金属中的非施密德效应和有限波长不稳定性，极限力学。莱特。，20, 9-13 (2018) ·doi:10.1016/j.eml.20.117.12.010 [79] Schouten，JA，Ricci-Calculus:《张量分析及其几何应用导论》（2013），柏林：施普林格出版社，柏林 [80] 塞德拉切克，R。；Kratochvíl，J。；Werner，E.，《弯曲的重要性：连续体描述中的弯曲位错》，Philos。Mag.，83，31-34，3735-3752（2003）·网址：10.1080/14786430310001600213 [81] 塞德拉切克，R。；施瓦兹，C。；Kratochvil，J。；沃纳，E.，演化位错场的连续统理论，菲洛斯。Mag.，87，8-9，1225-1260（2007）·doi:10.1080/14786430600972921 [82] Simo，JC；JE马斯登；Krishnaprasad，P.，《非线性弹性的哈密顿结构：固体、杆和板的材料和对流表示》，Arch。定额。机械。分析。，104, 2, 125-183 (1988) ·Zbl 0668.73014号 ·doi:10.1007/BF00251673 [83] Soare，SC，塑性和非施密德效应，Proc。R.Soc.A，470，2161，20130440（2014）·Zbl 1371.82133号 ·doi:10.1098/rspa.2013.0440 [84] Sozio，F。；Yavari，A.，非线性吸积力学，J.非线性科学。，29, 4, 1813-1863 (2019) ·Zbl 1425.74089号 ·doi:10.1007/s00332-019-09531-w [85] Sozio，F。；Yavari，A.，黎曼和欧几里德材料结构滞弹性，数学。机械。固体，25，6，1267-1293（2020）·Zbl 1482.74009号 ·doi:10.1177/1081286519884719 [86] Sozio，F。；Yavari，A.，《关于奈氏晶格曲率张量》，Mech。Res.Commun.公司。，113 (2021) ·doi:10.1016/j.技术.2021.103696 [87] 医学博士斯皮瓦克：微分几何综合导论。出版或消亡（1970）·Zbl 0202.52001 [88] 斯塔基，K。；Hochrainer，T。；El-Azab，A.，《利用德拉姆电流和图论开发平均场连续体位错运动学与接合反应》，J.Mech。物理学。固体，158（2022）·doi:10.1016/j.jmps.2021.104685 [89] Steigmann，D.J.：可塑性入门。参见：《固体连续体的本构建模》，第125-153页。柏林施普林格（2020）·Zbl 1444.74011号 [90] Sternberg，S.，微分几何讲座（1999），普罗维登斯：美国数学学会，普罗维登斯·Zbl 0129.13102号 [91] Taylor，GI，晶体塑性变形机制。第一部分——理论，程序。R.Soc.伦敦。A、 145、855、362-387（1934）·doi:10.1098/rspa.1934.0106 [92] Trzęsowski，A.，边缘位错的运动学。I.局部滑移面的对合分布，国际J.Theor。物理。，36, 12, 2877-2893 (1997) ·Zbl 0903.73020号 ·doi:10.1007/BF02435715 [93] Volterra，V.：《兵团复式连接的平衡》（Sur l’equilibre des corpsélastiques multiplement connexes）。24, 401-517 (1907) [94] Wang，C.-C.：关于简单物体的几何结构，位错连续分布理论的数学基础。参见：《广义连续统力学》，第247-250页。柏林施普林格（1968）·Zbl 0187.48901号 [95] Wenzelburger，J.，位错连续分布的运动学模型，J.Geom。物理。，24, 4, 334-352 (1998) ·Zbl 0977.74003号 ·doi:10.1016/S0393-0440（97）00016-8 [96] 夏，S。；El-Azab，A.，单晶中尺度位错图案和塑性变形的计算模型，Modell。模拟。马特。科学。工程师，23，5（2015）·doi:10.1088/0965-0393/53/055009 [97] Xia，S.，El-Azab，A.：利用连续位错动力学对金属中位错胞结构形成的初步研究。摘自：IOP会议系列：材料科学与工程，第89卷，第012053页。IOP出版（2015年b） [98] Yavari，A.，非简单连接体的非线性弹性协调方程，Arch。定额。机械。分析。，209，1237-253（2013）·Zbl 1286.35235号 ·doi:10.1007/s00205-013-0621-0 [99] Yavari，A.，《关于非均匀各向同性非线性弹性固体中的楔形吸气》，Mech。Res.Commun.公司。，78，55-59（2016）·doi:10.1016/j.mechrescom.2016.02.008 [100] Yavari，A。；爱泼斯坦，M。；Segev，R.，《代数拓扑在弹性力学中的应用》，几何连续力学，143-183（2020），Cham:Birkhäuser，Cham·Zbl 1444.74009号 ·doi:10.1007/978-3-030-42683-53 [101] Yavari，A。；Goriely，A.，Weyl几何和分布点缺陷的非线性力学，Proc。R.Soc.A，468，2148，3902-3922（2012）·Zbl 1371.74046号 ·doi:10.1098/rspa.2012.0342 [102] Yavari，A。；Goriely，A.，Riemann-Cartan非线性位错力学几何，Arch。定额。机械。分析。，205, 1, 59-118 (2012) ·Zbl 1281.74006号 ·doi:10.1007/s00205-012-0500-0 [103] Yavari，A。；Goriely，A.，Riemann-Cartan非线性向错力学几何，数学。机械。固体，18，1，91-102（2013）·Zbl 1528.74014号 ·doi:10.1177/1081286511436137 [104] Yavari，A。；Goriely，A.，分解的几何及其在滞弹性半反问题中的应用，Proc。R.Soc.A，470，2169，20140403（2014）·Zbl 1320.74023号 ·doi:10.1098/rspa.2014.0403 [105] Yavari，A。；Sozio，F.，《非线性各向异性滞弹性变形梯度的正反乘法分解》，J.Mech。物理学。固体，170（2023）·doi:10.1016/j.jmps.2022.105101 [106] Yavari，A。；Ozakin，A。；Sadik，S.，变形环境空间中的非线性弹性，J.非线性科学。，1651-1692年6月26日（2016年）·Zbl 1383.74015号 ·doi:10.1007/s00332-016-9315-8 [107] Zhu，Y。；查普曼，SJ；Acharya，A.，位错运动与不稳定性，机械学杂志。物理学。固体，61，8，1835-1853（2013）·doi:10.1016/j.jmps.2013.03.002 [108] Ziegler，H.，《试图概括Onsager原理及其对流变学问题的意义》，Z.Angew。数学。物理。，9, 5-6, 748-763 (1958) ·Zbl 0081.40002 ·doi:10.1007/BF02424793 [109] Ziegler，H.，Wehrli，C.：从自由能和耗散函数推导本构关系。摘自：《应用力学进展》，第25卷，第183-238页。Elsevier，纽约（1987）·Zbl 0719.73001号 [110] Zubov，L.M.：弹性体中位错和位移的非线性理论。47号。柏林施普林格（1997）·Zbl 0899.73001号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH 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