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伊丽莎·达沃利;尼克·凯特琳娜;尤利斯·斯特凡内利

形态弹性模型的存在性结果。 （英语） Zbl 07824764号

Z.Angew ZAMM。数学。机械。 103，第7号，文章ID e202100478，25 p.（2023）.
设（Omega\subset\mathbb{R}^{3}）是一个非空的、开的、单连通的、有界的集，其光滑边界被分解为不相交并（\Gamma_{D}\cup\Gamma_{N}）。在经典的形态弹性模型中，填充（Omega）的物体的变形（y（t）：Omega\subset\mathbb{R}^{3}），（t\In\lbrack0，t]），（t>0\）的变形梯度（nabla y（t应变张量和（G\In\mathbb{R}^{3\乘以3}\）增长张量。形态弹性系统状态随时间的演化在平衡系统的准静态近似中写成：{div}点（t） +f（t）=0\）in \（[0，t]\times\Omega\），\（y（t）=id\）in \（[0，t]\t imes\Gamma_{D}），\到\（W^{1,1}（0，t；L^{1}）（\Omega；\mathbb{R}^{3}）），和\（g（t）：\Gamma_{n}\子集\ mathbb{R}^{3}\）属于\（W^{1,1}（0，T；L^{1}）（\Gamma_{N}；\mathbb}R}^3}）\）的依赖于时间的表面牵引力。如果假定物体是超弹性的，则其弹性能量密度通过（W（F{el}）det G=W（nabla y（t）G^{-1}（t））det G给出，Piola-Kirchhoff应力（P（t）得到为（P（t）=det G（t）DW。这里的能量\（W:\mathbb{R}^{3\次3}\rightarrow\lbrack 0，\infty]\）是这样的\（W\在C^{1}（GL_{+}（3）中），\（W\equiv\infty）在\（\mathbb{R}^{3\times 3}\set减去GL_{++（3）\）上，并且满足多凸性假设：\mathbb{R}^{3\次3}\次\mathbb{R}\右箭头\lbrack 0，\infty]\）凸的和下半连续的，使得\（W（A）=\widehat{W}（A，\mathrm{cof}\，A，\det A）\）\（对于GL_{+}（3）中的所有A\，以及矫顽力假设\（存在c_{1}，c_{2}>0\）使得\（W（A）\geqc_{1\left\vert A\right\vert^{p}-\压裂{1}{c{1}}\）和\（\左\转换A^{\中间}\部分_{A} W公司（A） （对于GL_{+}（3）中的所有A\）。作者考虑了一个简化的进化模型：（G^{prime}（t）G^{-1}（t）=M（G（t），（K\nablay）（t））in（[0，t]times\Omega），（G（0）=G^{0}）in（Omega{希腊}_{\infty}\），\（\det G^{0}\geq\delta>0\）a.e.，和\（y^{0{0}\ in \operatorname｛argmin｝_{y} \mathcal{E}（\cdot，G^{0}），其中\（M）代表属于\ ^{t}\int_{\mathbb{R}^{3}}\kappa（t-s）\phi（x-z）\nabla y（s，z）dzds\）\（\对于\lbrack 0，t]\times\Omega\中的所有（t，x）\）。作者首先证明了在上述假设下，在L^{infty}（0，T；W^{1，p}（\Omega；\mathbb{R}^{3}））中存在一个形态弹性解b{R}^{3\乘以3}）\），以解决此问题。为了证明这一点，作者引入了时间离散化和离散问题的变分形式。他们证明了每个离散问题的解的存在性，并对该离散解进行了先验估计，当时间步长变为0时，该估计可以传递到极限。作者最后考虑了与该形态弹性问题相关的最优控制问题和该问题的营养形态弹性扩展，并在适当的假设下证明了其存在性。
审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆）

MSC公司：

74B20型 非线性弹性
74H20型 固体力学中动力学问题解的存在性
74年第35季度 与可变形固体力学有关的偏微分方程

关键词：

准静态近似;超弹性;最优控制问题;时间离散变分问题;先验估计;扩展的营养形态弹性问题
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{E.Davoli}等人，ZAMM，Z.Angew。数学。机械。103，第7号，文章ID e202100478，25页（2023；Zbl 07824764）
全文： 内政部 arXiv公司

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