乔治·多尔兹曼（编辑）;阿德里亚娜·加罗尼（编辑）;哈克尔，克劳斯（编辑）;迈克尔·奥尔蒂斯（编辑） 非弹性固体建模的变分方法。2018年2月4日至10日举行的研讨会摘要。 （英语） 兹比尔1409.00085 Oberwolfach代表。 15，编号1，255-309（2018）。 小结：本次研讨会汇集了两个从不同角度研究同一主题的社区。它加强了数学和力学专家之间的思想交流，他们致力于解决与固体过程的理解和预测有关的广泛问题。分析中常用的工具包括在连续体力学的大框架内开发模型、变分法、非线性偏微分方程、非线性泛函分析、伽马收敛、降维、均匀化、离散化方法和数值模拟。这些理论的应用包括但不限于塑性非线性模型、不同尺度的微观理论、模式形成过程的作用、有效理论和奇异结构（如薄板中的气泡或折叠模式）中的效应、从原子模型或离散模型到连续模型的过渡，尺度和通道的相互作用，从考虑一个特定的时间步长到系统的持续演化，包括系统内部结构的适当度量的演化。 MSC公司： 00亿05 讲座摘要集 00B25型 杂项特定利益的会议记录 74立方厘米 塑料材料、应力等级材料和内变量材料 74亿 弹性材料 74天xx 应变型和历史型材料，其他有记忆材料（包括具有粘性阻尼的弹性材料，各种粘弹性材料） 74卢比 断裂和损坏 74-06 与可变形固体力学有关的会议记录、会议记录、收藏等 74件 固体力学中的优化问题 软件：正交框架;REPSN公司;塞尔维亚广播公司;飞行员 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{G.Dolzmann}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.15，No.1，255--309（2018；Zbl 1409.00085） 全文： 内政部 参考文献： [1] M.Briane和G.A.Francfort。线性弹性均匀化导致的椭圆度损失。数学。模型方法应用。科学。，25(5):905-928, 2015. ·兹伯利1316.35016 [2] G.A.Francfort和A.Gloria。各向同性阻止了线弹性均匀化过程中强椭圆度的损失。C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎，354（11）：1139-1144，2016年·Zbl 1348.74059号 [3] G.Geymonat、S.M¨uller和N.Triantafyllidis。非线性弹性材料的均匀化、微观分叉和一级凸性的宏观损失。架构（architecture）。理性力学。分析。，122（3）：231-2901993年·兹比尔0801.73008 [4] S.Guti´errez公司。线性弹性中的层合：各向同性非非常强椭圆情况。《弹性力学杂志》，53（3）：215-2561998/99·Zbl 0952.74061号 [5] S.Guti´errez公司。平面各向异性线性弹性中的层压。夸脱。J.机械。申请。数学。，57(4):571-582, 2004. 非弹性固体建模的变分方法261有限变形下多组分、多相非弹性固体的变分相场化学力学Bob Svendsen（与Pratheek Shantraj、Dierk Raabe联合工作）本工作的目的是为m>2化学成分在p>2转变（通常为非弹性）固相中扩散的混合物建立几何非线性化学力学模型的框架。为此，将非平衡热力学和连续混合物理论中的基本平衡和本构关系与基于相场的多组分固相及其界面描述相结合。固相建模尤其以化学机械自由能和应力松弛为基础，通过特定相浓度场、有序参数场（例如与化学有序或缺陷相关的）和局部内部变量的演变。在混合物层，将相组成对比度和相局部变形视为混合物内部变量。在此背景下，考虑了一个“厚”和两个“薄”相界面模型。在平衡极限下，通过（体）能量最小化确定成分和局部变形的相位差。在化学方面，当前模型公式的平衡极限降低为m组分、p相，这是[1]二相二元合金界面平衡条件的推广。在机械方面，“厚”界面模型的平衡极限代表了机械均匀化理论中Reuss-Sachs条件的推广。类似地，那些“薄”界面模型代表了与层压板和sharp界面理论一致的界面平衡条件的推广[2,3]。最后，初始边值问题的变分形式是基于耗散势[4]和相应的速率变分势[5]存在的条件。有关更多详细信息，请参阅[6]。工具书类 [6] S.G.Kim、W.T.Kim和T.Suzuki，二元合金的相场模型，《物理评论》E 60（1999），7186-7197。 [7] J.Mosler，O.Shchyglo，H.M.Hojjat，基于部分秩一弛豫的相场方法的新型均匀化方法，固体力学与物理杂志68（2014），251-266·Zbl 1328.74033号 [8] D.Schneider，F.Schwab，E.Schoof，A.Reiter，C.Herrmann，M.Selzer，T.B–ohlke，B.Nestler，《关于相场方法中的应力计算：有限变形模型》，计算力学60（2017），203-217·Zbl 1386.74111号 [9] M.H¨utter，B.Svendsen，力-流关系的准线性与基于电势的公式以及不可逆过程的通用：比较与示例，《连续力学与热力学》25（2013），808-816·Zbl 1341.80006号 [10] B.Svendsen，关于具有内部长度尺度的非弹性连续统模型的基于热力学和变量的公式，《应用力学和工程中的计算机方法》48（2004），5429-5452·Zbl 1112.74343号 [11] B.Svendsen，P.Shantraj，D.Raabe，多相多组分固体的有限变形相场化学力学，固体力学与物理杂志112（2018），619-636。262Oberwolfach报告5/2018非局域位错能量的平衡测度Maria Giovanna Mora（与Luca Rondi、Lucia Scardia共同工作）在这次演讲中，我们讨论了非局域能量Z ZZ（1）I（µ）=V（x−y）dµ（x）dµ（y）+|x|2dµ（x）R2×R2R2在概率测度µ∈P（R2）上定义的最小化问题，其中V是由x21|x|2给出的相互作用势，x=（x1，x2），能量中的第二项作为测量的限制。当n趋于无穷大时，能量（1）作为n个带Burgers矢量e1的n个正边位错系统的离散相互作用能量的Γ极限出现。更准确地说，I是wn/n2的Γ-极限，其中XX（3）wn（x1，…，xn）=V（xi−xj）+n|xi|2，{xi}⊂R2，i6=ji P关于经验测度1niδxi的弱*收敛性。因此，I是哈密顿量wn的主导阶或平均场行为，I的最小值表示wn最小值的平均场描述，即中尺度的平衡位错模式。尽管到目前为止还没有对此类极小值结构进行过分析表征，无论是在离散情况下还是在连续情况下，它们都被推测为垂直壁状结构。在这次演讲中，我们对这一猜测给出了肯定的答案。我们证明了（见[3]）I的极小值存在，是唯一的，并且是由一维垂直测度给出的，即垂直轴1q√πδ0⊗2−x22H1（−2,2）上的半圆定律。这是各向异性内核的第一个例子，可以显式计算其最小化器。即使在径向对称的情况下，也只对任何维的库仑势和一维的对数势进行了平衡测度的显式表征。在二维中，库仑势，即V=−log |·|，出现在各种情况下，例如，Fekete集、正交多项式、随机矩阵、Ginzburg-Landau涡旋、库仑气体。对于（1）中的相同限制项，最小值由圆定律m0:=π1χB1（0）给出（见[4]及其参考文献）。虽然（2）中势的径向分量正好是库仑核，但附加各向异性项的存在对平衡测度的结构有着显著的影响。对于一维对数势，对应于所谓的Log-gases能量（参见，例如[2]），Wigner在[5]中证明了半圆定律是非弹性固体建模的变分方法263，是唯一的极小值。我们注意到，（1）中的函数I与垂直轴上支持的测度上的Loggas能量一致，因为各向异性项在这些测度上消失。因此，如果可以证明I的极小值点在纵轴上受支持，那么半圆法则的极小性将直接遵循。然而，这不是我们使用的策略。我们的方法包括两个步骤：首先证明I在具有紧支撑和有限交互能量的测度类上的严格凸性。严格凸性意味着I的极小值的唯一性以及极小性与Euler-Lagrange条件之间的等价性。第二步，我们证明了半圆定律满足欧拉-拉格朗日条件，因此是I的唯一极小值。为了证明这两个步骤，我们不能依赖于在具有外场的纯对数势的经典情况下开发的机制，这在很大程度上基于−log|·|径向对称，它是拉普拉斯算子的基本解，因为V两者都不是。I的严格凸性是以下关键结果的结果。定理1。设µ0，µ1∈P（RR2）是紧支撑和有限相互作用能的测度，即当i=0，1时，R2（V*µi）dµi<+∞。然后Z（4）V*（µ1−µ0）d（µ1-µ0，R2）≥0，当且仅当µ0=µ1时，上述积分为零。定理1的证明基于这样一种直觉，即如果我们可以在傅里叶空间中重写（4）中的卷积，那么启发性地，我们将得到ZZ（5）V∗（µ1−µ0）d（µ1-µ0。作为第一步，我们计算了V的傅里叶变换，这是一个回火分布。不幸的是，傅里叶变换ˆV不是一个正分布，但我们可以证明，对于在ξ=0时为零的正测试函数，\710»V>0。关键的一点是，这足以得出结论，因为µ1−µ0是一个中性测量，因此测试函数|µ1–µ0|2in（5）在ξ=0时为零。事实上，这种启发式论证可以变得严格，这是定理1证明的核心。我们的主要结果如下。定理2。测度1q√√m1=δ0⊗2−x22H1（−2,2）π264Oberwolfach Report 5/2018满足条件|x|2=1+1log2（对于每个x∈supp m（6）2221，（7）|x|2≥1+1log2，对于每个x≠R2，（V*m1）（x）+222，因此是I的唯一极小值。定理2的证明由两部分组成：在第一部分中，我们证明了（6）–（7）是I相对于m1的Euler-Lagrange条件，并且Euler-拉格朗日条件唯一地表征了I的极小值。这是标准的，可以像在纯对数情况下那样进行。在证明的第二部分中，我们证明m1满足（6）–（7）。由于在supp m1上，势V在一个维度上减小为对数，（6）遵循Log-gasses能量的半圆定律的极小性。相反，证明m1也满足（7）是非常具有挑战性的。事实上，我们注意到，两个欧拉-拉格朗日条件中的一个条件必须不适用于最小值以外的任何措施。这表明为了证明（7），我们需要非常精确地估计R2中的函数V*m1。我们通过使用复杂的分析工具来实现这一点。前面的分析可以扩展到为Φ∈P（R2）定义的非局部能量Z ZZ Iα（µ）=Vα（x−y）dµ，使其或多或少突出。在[1]中，我们证明了α=±1是参数的临界值，在该临界值处，最小化器的支撑尺寸发生突变。事实上，对于α∈（−1，1），我们证明了Iα的唯一极小值是半轴椭圆√1−α和1+α所包围区域的归一化√特征函数。另一方面，我们表明，对于每个α≥1，Iα的唯一极小值是垂直轴上的半圆定律m1，而对于α≤-1，它是水平轴上的半圆定律。工具书类 [12] J.A.Carrillo、J.Mateu、M.G.Mora、L.Rondi、L.Scardia和J.Verdera，《椭圆定律：Kirchhoff遇到位错》，帕维亚印前大学，2017年·Zbl 07160967号 [13] M.L.Mehta，《随机矩阵》，第三版，爱思唯尔/学术出版社，2004年·Zbl 1107.15019号 [14] M.G.Mora、L.Rondi和L.Scardia，非局域位错能的平衡测度，Comm.Pure Appl。数学。，出现·Zbl 1412.49004号 [15] E.Saff和V.Totik，外场对数势，Springer-Verlag，1997年·Zbl 0881.31001号 [16] E.Wigner，无限维加边矩阵的特征向量，《数学年鉴》。62(1955), 548-564. 非弹性固体建模的变分方法265动态理想塑性作为凸极小化Elisa Davoli（与Ulisse Stefanelli联合工作）在本次演讲中，我们讨论了[3]中获得的一个新的近似结果，用于解决经典PrandtlReuss模型的动态理想塑度问题（1）ρ–u−·σ=0，（2）σ=C（Eu−p），（3）ΩH（˙p）∋σD描述金属的塑性行为。在上面的表达式中，u（t）：Ω→ R3是具有参考配置的物体的（时间相关）位移Ω⊂ R3和密度ρ>0，σ（t）：Ω→ M3×3表示其应力。方程（1）描述了动量守恒。本构关系（2）将应力σ（t）与线性应变Eu（tΩ→ M3×3sym和（偏）塑性应变p（t）：Ω→ 通过四阶弹性张量C得到M3×3D（偏差张量）。最后，微分夹杂物（3）表达了塑性流动规律：H:M3×3 D→ [0，+∞）是一个正1-齐次凸耗散函数，σD代表应力的偏差部分，符号导数是凸分析意义上的次微分。系统是通过施加一个非齐次时变边界位移来驱动的。我们的主要结果是恢复动力学的弱解ic完美塑性系统（1）-（3）通过最小化整个轨迹上的参数相关凸泛函序列，并在参数趋于零时传递到极限。特别地，我们考虑了形式（4）Iε（u，p）=exp−tρε2|¨u|2+εH（˙p）+1（Eu−p）：C（Eu‐p）dx dt，0的加权能量耗散（WIDE）泛函Ωε22定义在整个轨道t∈[0，t]7的适当容许类上→ （u（t），p（t））：Ω→ R3×M3×3满足给定的边界位移和初始条件（分别在u和p上）。泛函的名称反映了这样一个事实，即它是由惯性项ρ|¨u|2/2、耗散项H（˙p）和能量项（Eu−p）之和：C（Eu‐p）/2给出的，并由不同的ε幂以及函数exp（−t/ε）加权。对于所有ε>0，可以证明（适当的松弛）凸函数Iε允许极小值（uε，pε），这些极小值确实近似于动态完全塑性系统（1）-（3）的解。特别是，通过计算相应的欧拉-拉格朗日方程，我们发现极小值（uε，pε）弱解266Oberwolfach Report 5/2018椭圆时间近似关系（5）ε2ρ。。。。uε−2ε2ρ。。。uε+ρ–uε−+pε·σε=0，（6）∑ε=C（Euε–pε），（7）−ε。动态理想塑性系统（1）-（3）通过取ε正式恢复→ 系统（5）-（7）中的0。演讲中提出的主要结果在于使这种直觉更加严谨，从而形成了一种新的动态理想塑性近似理论。注意，（1）-（3）的存在性结果确实是相当经典的。在ρ>0的动态情况下，Anzellotti和Luckhaus[1]的首次存在结果以及Babadjian和Mora[2]最近的重新访问都是基于粘度技术。对于现有的存在性理论，我们的方法是新的，因为它不依赖于粘性近似，而是依赖于全局变分方法。我们简要概述了证明的主要步骤。首先，通过时间离散化，我们证明了通过时间离散到连续Γ-收敛选择的WIDE泛函的极小值的一致能量估计。这个统一的上界允许推导ε相关弱解序列到（5）-（7）到（1）-（3）的紧性和收敛性。我们论证的一个关键点是证明极限应力和塑性应变满足（3）。这确实不直接遵循统一的能量估计，而是通过证明一个微妙的ε相关能量等式来获得的。最后一个结果的证明严格遵循了[6，定理2.5（c）]的策略。我们设置中的主要额外困难是由于耗散函数的线性增长。动态情况下ρ>0的WIDE方法是De Giorgi关于半线性波的长期猜想的目标[4]。对于有限时间间隔，在[7]中以正的形式求解了该猜想，然后在[5]中由Serra和Tilli对整个时间半直线进行了求解，即在其原始公式中。德乔治本人在[4]中指出，有兴趣将该方法推广到其他动力学问题。本次演讲的结果首次实现了德乔治在连续介质力学背景下的建议。工具书类 [17] G.Anzellotti，S.Luckhaus，弹塑性体的动力学演化，应用。数学。优化。15(2) (1987), 121-140. ·Zbl 0616.73047号 [18] J.-F.Babadgian，M.G.Mora，用帽模型近似塑性力学和准静态演化问题，Quart。申请。数学。73(2) (2015), 265-316. ·Zbl 1328.74019号 [19] E.Davoli，U.Stefanelli，《作为凸极小化的动态完美塑性》，2017年提交·Zbl 1409.70011号 [20] E.德乔治。关于一些进化问题的猜想，杜克数学。J.81（2）（1996），255-268。非弹性固体建模的变分方法267·Zbl 0874.35027号 [21] E.Serra，P.Tilli，非线性波动方程作为凸极小化问题的极限：De Giorgi，Ann.of Math的一个猜想的证明。2, 175(3) (2012), 1551-1574. ·Zbl 1251.49019号 [22] E.Serra，P.Tilli，双曲Cauchy问题的最小化方法，《欧洲数学杂志》。Soc.18（2016），2019-2044·兹比尔1355.35125 [23] U.Stefanelli，关于椭圆正则化的De Giorgi猜想，数学。模型方法应用。科学。21(6) (2011), 1377-1394. 通过数值松弛的能量最小化模式Dennis M.Kochmann（与A.Vidyasagar联合工作）我们预测微观结构模式是涉及非准凸能量景观的机械问题中的能量最小化工具，例如在相变、变形孪晶和有限应变晶体塑性过程中。准静态平衡变形映射：Ω→ Rd代表车身Ω通过总势能的最小化找到，Z（1）I[Γ]=W（ŞΓ）dV−ℓ(ϕ), Ω 其中W表示亥姆霍兹自由能密度ℓ（）外力的线性势。如果W缺乏拟凸性[1]，则解将被发现为中弱序列；也就是说，细尺度图案形成为能量最小化器，可以解释为较低空间尺度上的微观结构图案。通过假设精细尺度模式和宏观边值问题之间的尺度分离，将能量密度W替换为具有代表性的体积元素（RVE）ω的拟凸壳1Z（2）QW。小尺度波动场φ描述了RVE水平的微观结构模式。由于（2）的非局部性质，通常很难计算拟凸壳和相关微观结构。以前的方法主要依赖于（i）分析能量松弛，如[2,3]，或（ii）RVE级有限元模拟[4]。这里，我们使用数值方法来计算RVEωh内的周期性能量最小化结构，即，我们通过1Z（3）N W（⌀）=infW（т+тφh）dVφh:φ+h=φ−hon≠ω，数值近似（2），|ωh|ωh，其中φ是一个离散扰动场（在我们的谱方法中，由截断的傅里叶级数表示，承认高分辨率并引入相对长度尺度）。我们采用稳定的傅里叶谱方案在RVE级进行周期均匀化，该方案基于空间导数的高阶有限差分近似[5,6]。该公式通过漫反射界面近似于2018年5月的268号Oberwolfach报告，并引入了相对长度标度。以前，对此类图案的分析预测仅限于相对简单的问题，而数值计算则将问题局限于分辨率不足的小型2D样品，因为计算费用太高，无法捕获复杂的微观结构图案。在这里，我们展示了一种基于改进傅里叶谱方案的复杂3D问题中微观结构模式预测的替代方法。作为第一个例子，我们考虑了具有18（FTF−I）·C（FTF–I）的超弹性St.Venant-Kirchhoff固体。假设各向同性弹性模量并在单轴压缩中加载物体时，产生的能量缺乏凸性，微观结构模式形成能量最小化。作为第二个例子，我们研究了有限应变下单滑移单晶塑性的经典问题[7]。图1显示了计算的弛豫能量和数值获得的示例微观结构模式。图1.左：无有限差分（FD）近似的简单剪切的单滑移晶体塑性（比较凝聚能量和数值松弛能量）；右图：单轴压缩下的St.VenantKirchhoff固体，FD近似。工具书类 [24] B.Dacorogna，变分法中的直接方法，Springer（1989）·Zbl 0703.49001号 [25] C.Miehe，M.Lambrecht，E.G¨urses，《用增量能量最小化和松弛方法分析非弹性固体中的材料不稳定性：有限塑性中变形微结构的演变》，J.Mech。物理学。《固体》52（2004），2725-2769·Zbl 1115.74323号 [26] D.M.Kochmann，K.Hackl，《有限晶体塑性中层板的演化：变分方法》，Cont.Mech。Thermodyn公司。23（2011），63-85·Zbl 1272.74081号 [27] S.Bartels，C.Carstensen，S.Conti，K.Hackl，U.Hoppe，A.Orlando，《固体力学中的弛豫和有效能量及微结构的计算》，Springer（2006），第197-224页·Zbl 1366.74064号 [28] W.H.M¨uller，傅里叶变换及其在固体结构形成和形态变化中的应用。In:IUTAM复合材料和活性材料转化问题研讨会。Kluwer学术出版社（1998年），第61-72页。非弹性固体建模的变分方法269 [29] A.Vidyasagar，W.L.Tan，D.M.Kochmann，通过改进的光谱相场方法预测大块多晶铁电陶瓷的有效响应。J.机械。物理学。固体106（2017），133-151。 [30] S.Conti，F.Theil，单边滑移弹塑性微结构，Arch。老鼠。机械。分析。178 (2005), 125-148. 斯特凡·穆勒（Stefan M¨uller）（与塞尔吉奥·孔蒂（Sergio Conti）、迈克尔·奥尔蒂斯（Michael Ortiz）共同工作）的数据驱动弹性问题。我们考虑一类新的弹性力学问题，称为数据驱动问题，它定义在应变场对的相空间上。该问题包括最小化给定材料数据D集与相容且平衡的应变场对的子空间E之间的距离。为了定义一个合适的抽象设置，我们考虑了状态由自反Banach空间（z，d）中的点z表征的系统。相容性和平衡约束编码在子类E⊂Z中。材料的行为编码在材料数据集D \8834；Z中。数据驱动问题是（1）infd（Z，D）。z∈E很明显，数据驱动问题的范围比经典问题的范围大，因为局部材料数据集，即使它们在相空间中定义了曲线，也不必是图。在几何线性弹性的设置中，经典解对应于数据集（2）D={（ε，σ）∈L2(Ω, Rd×dsym）×L2(Ω, Rd×dsym）：（ε（x），σ（xΩ} 其中Dlocia是一个图Dloc={（ε，ˆσ（ε））：ε∈Rd×dsym}。我们证明了对于一致单调σ，数据驱动问题的解存在，并且与经典解一致。对于一般数据集，我们发展了一个适当的松弛概念，以确保解的存在。我们还制定了标准，以确保近似集合Dhlocc序列的数据驱动解接近合适极限集合Dloc的数据驱动解决方案。我们显式地计算了双势阱问题（弹性模量相等）的弛豫，并证明了弛豫集远大于能量弛豫得到的集。认为连续介质力学的非线性偏微分方程最自然地写成一组线性偏微分方程（普遍平衡定律）和平衡定律中数量之间的非线性逐点关系（材料相关本构关系）自20世纪70年代以来，Luc Tartar一直强调；例如，参见[4]和[5]。我们的松弛概念也可以用A-拟凸性来表述，见[2]，第14页和第100-112页，以及[3]。270Oberwolfach报告5/2018参考文献 [31] S.Conti、S.M¨uller、M.Ortiz，弹性中的数据驱动问题。架构（architecture）。老鼠。机械。分析。https://doi.org/10.1007/s00205-017-1214-0 ·Zbl 1402.35276号 [32] B.达科罗尼亚。非线性泛函的弱连续性和弱下半连续性，数学讲义第922卷。施普林格·弗拉格，柏林-纽约，1982年·Zbl 0484.46041号 [33] I.丰塞卡和S.穆勒。A-拟凸性、下半连续性和Young测度。SIAM J.数学。分析。，30:1355-1390, 1999. ·Zbl 0940.49014号 [34] L.鞑靼人。补偿紧性及其在偏微分方程中的应用。非线性分析与力学：Heriot-Watt Symp。，第4卷，爱丁堡，1979年，数学研究笔记。39136-212979年·Zbl 0437.35004号 [35] L.鞑靼人。均质化的一般理论。个性化介绍，意大利马特马蒂卡工会第7卷讲稿。柏林施普林格-弗拉格；UMI，博洛尼亚，2009年。各向异性非弹性材料行为的连续力学框架Stefanie Reese（与Tim Brepols、Bob Svendsen和Stephan Wulfinghoff共同工作）简介。在工程设计和工艺评估中，预测材料退化（损伤）和失效是一项非常重要的任务。为此目的制定的大多数连续体力学模型基于标量内部损伤变量，通常称为D（见[9]，[14]）。利用著名的有效应力概念[7]，得出真实（或有效）应力张量σ和连续介质机械应力张量σ之间的以下关系：（1）σ=（1−D）∆σ。这意味着，与系统的实际载荷无关，每个有效应力分量都以相同的方式受到影响。显然，这是损伤模型的一个非常简单的结果，并不完全令人信服。因此，人们寻求两个应力张量之间更复杂的映射，该映射可以用二阶张量或四阶张量表示。后一种方法在[5]和[2]中进行了讨论，前一种方法则在[10]或[1]中进行了探讨。使用二阶张量（这里更可取）的主要优点在于仍然可行的复杂性。另一方面，很难找到合适的亥姆霍兹自由能函数。为了解决后一个问题，我们认为二阶损伤张量（从现在起用D表示）与结构张量H:=I−D直接相关，其中I是单位张量。有关结构张量的概念，请参阅参考文献[3]、[8]。亥姆霍兹自由能。亥姆霍茨自由能（每参考体积）ψ是弹性应变Ee:=（Ce−I）/2（Ce弹性右柯西-格林张量）和结构张量的各向同性函数。因此，ψ成为十个不变量Ii=tr-Cie、Ii+3=tr-Hi（i=1、2、3）、I7=tr（CeH）、非弹性固体建模的变分方法271 I8=tr。克劳修斯-杜姆不等式。为了进一步简化公式，必须说明以下关系：（2）Ce=F−TpC F−1p，H=FpHrFTp，其中C是右Cauchy-Green张量，参考构型的Hra张量是H的“参考”对应项。在后一种关系中，利用了变形梯度F=FeFpinto弹性（Fe）和塑性（Fp）零件的乘法分解。使用（2），可以用Cpand Hr表示所有不变量Ij（j=1，…，10）。利用等温过程的Clausius-Duhem不等式，我们得出了语句1˙1˙（3）∑r·Cp−Yr·Hr+q˙ξ≥0，22，其中应力张量Sigmar，Yr和类应力量q分别由Cee−HH）F−Tp=−2ΩC≠ψp、（5。（3）中显示的所有张量都是对称的，这是一个非常重要的结果。有关这一微妙点的更多信息，请参阅[12]的工作。内部变量和演化方程。因此，我们必须为内部变量Cp，Hrandξ建立演化方程。这是公式中一个非常有趣的点，因为这包括不必计算塑性变形梯度Fp=RpUp。换句话说，它的旋转部分Rp和因此的塑性自旋仍然未知。示例1。运动硬化。此处所述的连续体力学框架非常广泛，绝不限于损坏。让我们首先看看Armstrong-Frederick型运动硬化（参见[6]、[13]）。在这种情况下，我们将亥姆霍兹自由能ψ=ψel（Ce）+ψkin（Cpel）+Ψiso（ξ）加法分裂为三部分，其中第二部分取决于张量Cpel=FTpelFpel，其中Fpel由Fp=FpelFpin的乘法分裂定义为弹性和非弹性部分。我们最终可以陈述H=Bpel，得出演化方程r 2Şõ2pin）·=−ΓλpcC−1pin（YrC−1pin）D，Γξ=Γλp23，其中必须满足r（7）Φp=||（Cp∑r）D||−2（σ|{z}3y−q）=：ξ272Oberwolfach报告5/2018和Kuhn-Tucker条件Φp≤0、Γλp≥0和ΓλpΦp=0给出的塑性势Φpis。示例2。纤维增强材料的各向异性塑性。纤维增强柔性膜的公式[11]也可以放在这个框架中。重要的是，在这种情况下，必须引入两个结构张量，分别表示方向N1和N2的并矢积。示例3。塑性耦合各向异性损伤。在这里，挑战在于塑化和损坏这两个过程并行进行。为了解决这个问题，引入了两种可能性。除了Φp（7），它现在是根据有效应力Sigmaárandáq表示的，还引入了所谓的损伤势（8）Φd=（Yr·a[Yr]）2 a−（γ−qd），其中a:=B⊗B with B:=fd1/（4a）X/tr X是所谓的四阶损伤相互作用张量，γ损伤阈值和qdth应力与损伤硬化变量ξd热力学共轭。量fd表示D的函数。二阶张量X是一个“小丑”，可以是应力张量或应变张量，也可以是一个适合包含拉压不对称的量。标量a是一个材质参数。格式（8）的优点是可以正确地简化为[4]中的各向同性损伤模型。工具书类 [36] H.Badreddine，K.Saanouni，《有限应变下塑性各向异性和各向异性延性损伤的完全耦合》，《国际损伤力学杂志》26（2016），1080-1123。 [37] E.Baranger，《四阶损伤理论对各向异性历史的扩展：在多轴非比例加载下陶瓷基质复合材料的应用》，《国际损伤力学杂志》27（2016），238-252。 [38] J.P.Boehler，各向同性和各向异性非多项式张量函数的表示，In:J.P.Beehler（eds），张量函数在固体力学中的应用。国际机械科学中心（课程和讲座）292，施普林格，维也纳 [39] T.Brepols，S.Wulfinghoff，S.Reese，《渐变扩展的双表面损伤-塑性：微形态公式和数值方面》，《国际塑性杂志》97（2017），64-106。 [40] U.Cicekli，G.Z.Voyiadjis，R.K.Abu Al-Rub，素混凝土的塑性和各向异性损伤模型，国际塑性杂志23（2007），1874-1900·Zbl 1155.74401号 [41] W.Dettmer，S.Reese，《有限应变区Armstrong-Frederick运动硬化的理论和数值模拟》，《应用力学与工程中的计算机方法》193（2004），87-116·Zbl 1063.74020号 [42] L.M.Kachanov，蠕变条件下的断裂过程时间，Izvestiya Akademii Nauk SSSR，Otdelenie Tekhnicheskikh Nauk 8（1958），26-31·Zbl 0107.18501号 [43] M.Itskov，V.N.Khim，《电磁流变弹性体的多凸各向异性自由能函数》，《固体数学与力学》21（2016），1126–1137·Zbl 1370.74056号 [44] J.Lemaitre，延性断裂的连续损伤力学模型，《工程材料与技术杂志》107（1985），83-89。非弹性固体建模的变分方法273 [45] J.Lemaitre，R.Desmorat，M.Sauzat，《各向异性损伤演化规律》，《欧洲力学杂志-A/固体》19（2000），187-208·Zbl 0986.74007号 [46] S.Reese，纤维增强橡胶类复合材料表现出大弹塑性变形的细观模型，《国际固体与结构杂志》40（2003），951-980·兹比尔1025.74009 [47] B.Svendsen，《关于大变形下各向异性弹性和非弹性材料行为的建模》，《国际固体与结构杂志》28（2001），9579-9599·Zbl 1021.74008号 [48] I.N.Vladimirov，M.P.Pietryga，S.Reese，《有限应变下非线性运动硬化建模及其回弹应用——时间积分算法比较》，《国际工程数值方法杂志》75（2008），1-28·Zbl 1195.74019号 [49] Z.Yue，H.Badreddine，K.Saanouni，X.Zhuang，J.Gao，基于考虑屈服面畸变诱导各向异性的全耦合弹塑性-损伤本构方程的钣金冲裁数值模拟，国际损伤力学杂志26（2017），1061-1079。形状记忆合金中的微观结构：刚度、柔韧性和一些数值实验Angkana R¨uland（与Jamie M.Taylor、Christian Zillinger和Barbara Zwicknagl共同工作）形状记忆合金是一种在冷却到一定临界温度以下时经历一阶无扩散固相转变的材料。在这里，材料从高度对称的高温相（奥氏体）转变为低温相（马氏体），这通常以不太对称（微观）的晶格结构为特征。这种对称性的丧失导致低温相的多种变体。从数学上讲，这与框架无关的基本假设一起，导致了非线性和非拟凸结构以及各种有趣的微观结构的出现。形状记忆合金及其微观结构已由唯象弹性理论成功建模[1]。由于这仍然会导致复杂的数学变分结构，在这篇基于文章[5]、[6]和[7]的演讲中，我重点研究了完全无应力的材料模式。在低于临界温度的固定温度θ下，这通常会导致微分包裹体-m阱问题-在Ω, （1） +u=M（单位：Rn）Ω. 这里是向量值映射u:Rn→ Rn是材料变形，M∈Rn×n是一个外加边界条件，K（θ→ （0，∞）模拟了马氏体的热膨胀。在研究形式（1）的微分包含时，出现了一个有趣的二分法。例如，对于具有两个一级连接的兼容双井问题（在这种情况下，m=2），已知以下行为：•灵活性：一方面，如果没有对u施加正则性假设，则存在对应版本（1）的多个解决方案[2]， [50] 这些都是通过凸积分方案获得的，并且根据定义满足+u∈L∞(Ω). • 刚性：另一方面，如果施加表面能约束，即如果+u∈BV(Ω) ∩ L∞(Ω), 然后问题变得非常僵化，只存在很少的解决方案。直到边界效应，这些都是一维简单层压板结构[4]。在本次演讲中，我讨论了这种二分法，并首次提出了关于柔性区域的高阶正则性结果，这些结果是与J.M.Taylor、Ch.Zillinger和B.Zwicknagl合作获得的[5]、[6]、[7]。更准确地说，对于几何线性化的六边形到菱形相变的模型设置，我讨论了柔性区域内的第一个更高正则性结果，表明在（低）Sobolev正则性下，野生凸积分解仍然存在。数值模拟说明了它们的结构。结果在演讲中，我首先给出了[5]的主要结果，表明在几何线性化的六边形到菱形相变的背景下，存在更高正则性的凸积分解。定理1。让Ω⊂ R2是有界Lipschitz域。设K={e（1），e（2），e。然后存在θ0∈（0，1），取决于距离（e（M），K）和变形u:R2→ R2中u∈Wloc1，∞（R2）+u=M a.eΩ, e（+u）∈K a.e.inΩ, 并且对于所有s∈（0，1），p∈（1，∞），其中0＜sp＜θ0Şu∈Wlocs，p（R2）ŞL∞（R2）。该结果的推导依赖于使用Besov空间的插值结果仔细跟踪迭代凸积分方案的相关性。虽然定理1的证明利用了二维和几何线性化设置，但也有可能推导出一种处理更一般的相位变换的方法，例如几何线性化的三维立方到正交相位变换。为了解释这一点，我简要介绍了文献[6]中的凸积分方案。这些想法还允许非弹性固体建模的变分方法275获得与正则指数θ0=sp一致的依赖关系，与边界基准M在K凸包中的位置无关。这里强调了[5]和[6]中两种方案之间的差异。工具书类 [51] J.M.Ball，R.D.James，《作为能量最小化器的精细相混合物》，《理性力学与分析档案》100（1）（1987）：13-52·Zbl 0629.49020号 [52] S.Müuller，V.Sverak，带约束的凸积分及其在相变和偏微分方程中的应用，《欧洲数学学会期刊》1（4）（1999），393-422·兹比尔0953.35042 [53] B.Dacorogna，P.Marcellini。非拟凸积分极小元的存在性，有理力学与分析档案131（4）（1995）：359-399·Zbl 0837.49002号 [54] G.Dolzmann和S.Mller。具有有限表面能的微结构：双阱问题，《理性力学与分析档案》132（2）（1995）：101-141·Zbl 0846.73054号 [55] A.R¨uland、Ch.Zillinger、B.Zwicknagl。弹性凸积分解的更高Sobolev正则性，arXiv预印本arXiv:1610.02529（2016）。 [56] A.R¨uland、Ch.Zillinger、B.Zwicknagl。弹性力学凸积分解的高Sobolev正则性：int（Klc）中仿射数据的Dirichlet问题，arXiv预印本arXiv:1709.02880（2017）。 [57] A.R¨uland、J.M.Taylor、Ch.Zillinger、B.Zwicknagl。形状记忆合金建模中出现的凸积分：关于刚度、灵活性和一些数值实现的一些备注，arXiv预印本arXiv:1801.08503（2018）。非均匀结构的有效动力学行为Celia Reina（与Chenchen Liu共同工作）由于具有独特动力学性能的复合材料/超材料的发展，非均匀介质的动态响应越来越受到关注。其中包括具有亚波长带隙、频率相关密度和/或刚度或动态诱导各向异性的结构。在本次讲座中，我们提出了一种计算均匀化策略，以了解这些结构在其应用背景下的实时动态演化，即具有特定边界条件的有限尺寸域，以及微结构的潜在非线性和历史相关本构关系。所提出的方法[1]代表了一个变分粗粒度过程，它将经典FE2方法无缝扩展到动态设置，同时适用于离散和连续系统。这是通过将有限元时间增量动态问题重铸为等效静态问题来实现的，其中应用了静态均匀化策略。该程序用于各种复合结构，证明其在动态激励下捕捉介质色散特性的能力。276 Oberwolfach 2018年5月的报告我们在本次讲座中进一步介绍了具有超宽带特性的生物灵感层次超材料设计[2]。这些设计是对具有共振单元的无限质量弹簧模型的有效响应的层次效应进行详细分析的结果。通过使用有限元模拟，在更真实的有限连续体样本上验证了所得设计。工具书类 [58] C.Liu和C.Reina，《动态均匀化的变粗粒程序》，《固体力学与物理杂志》104（2017），187-206·Zbl 1442.74190号 [59] C.Liu和C.Reina，具有分级层次结构的宽带局部共振超材料，应用物理杂志。接受出版（2018年）。二维线性弹性中的准静态裂纹扩展Manuel Friedrich（与Francesco Solombrino联合工作）在变分断裂力学中，位移和裂纹路径是根据能量最小化原则确定的：其基本思想是，裂纹的形成可能被视为物体弹性能量与产生新裂纹所需能量之间竞争的结果。这个问题的严格数学公式可以追溯到Francfort和Marigo的开创性工作[5]。A函数t→ （u（t），Γ（t）），与每次t相关的参考构型的变形u（t）和裂纹集Γ（t），如果满足以下条件，则称为准静态演化：•（a）不可逆性：Γ（s）包含在Γ（t）中，0≤s<t。•（b）静态平衡：对于每t，对（u（t），Γ（t）)在所有允许的竞争者中，将时间t的能量最小化（c） 非耗散性：内能的导数等于外力的幂。事实证明，为这种进化的存在建立严格的数学框架是一项相当艰巨的任务。这方面的第一个突破性成果是由于Dal Maso和Toader[3]以及Chambolle[1]分别在平面设置中解决了反平面剪切和线性弹性的情况。在其设置中，可以在附加限制条件下证明允许裂纹的存在性，即最多有固定数量的连接构件。后来，法兰克福和拉森提出了一种不同的、更强大的方法 [60] 以避免对跳跃集的几何结构的所有限制。它允许在任意维度的SBV函数框架中处理自由不连续性问题。遵循从时间离散化进化开始，然后让时间步长为零的自然思想，证明了时间连续进化的存在性。一般来说，基本问题在于证明静态平衡性质（b）在到达时间连续解的过程中是守恒的。[4]中方法的主要工具是几何构造，即非弹性固体建模的变分方法277，通常称为跳跃转移引理，它依赖于BV中的coarea公式，并能够对任何竞争对手的跳跃集进行适当的“转移”。本文[6]的目的是证明脆性材料裂纹扩展的变分模型在广义有界变形特殊函数框架下的二维存在性结果（见[2]）。特别地，我们考虑了ZE（u，Γ）：=Q（E（u））dx+H1（Γ）形式的Griffith能量Ω\u∈GSBD2的Γ(Ω), 其中Q是作用于对称梯度e（u）的二次型。主要困难在于，在显示静态平衡条件的稳定性时，不能直接复制[4]的策略，因为在空间GSBD中没有coarea公式。然而，通过Korn-type不等式k＋ukL1(Ω)≤ Cke（u）kL2(Ω)+ CkukL∞(Ω)u∈SBD2的（Hd−1（Ju）+1）(Ω)∩ L∞(Ω) 以及这个不等式的后续改进版本，我们能够将跳跃转移引理适应于GSBD设置。这是主要的技术工具，可以证明几何线性环境中准静态演化的上述存在结果。本文还讨论了这一框架的一般紧性定理，并证明了在不给位移或外力施加先验界的情况下演化的存在性。工具书类 [61] A.Chambolle。密度导致二维线性弹性，以及应用。架构（architecture）。配给。机械。分析。167 (2003), 211-233. ·Zbl 1030.74007号 [62] G.达尔马索。有界变形的广义函数。《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）15（2013），1943-1997·Zbl 1271.49029号 [63] G.Dal Maso，R.Toader。脆性断裂准静态增长模型：存在性和近似结果。架构（architecture）。配给。机械。分析。162 (2002), 101-135. ·Zbl 1042.74002号 [64] G.A.Francfort、C.J.Larsen。脆性断裂准静态演化的存在性和收敛性。普通纯应用程序。数学。56 (2003), 1465-1500. ·兹比尔1068.74056 [65] G.A.弗兰福特，J，J.马里戈。将脆性断裂重新视为能量最小化问题。J.机械。物理学。《固体》46（1998），1319-1342·Zbl 0966.74060号 [66] M.Friedrich、F.Solombrino。2d线性弹性中的准静态裂纹扩展。Ann.Inst.H.Poincar´e Anal公司。Non Lin´eaire 35（2018），27-64。278 Oberwolfach报告5/2018有限应变粘塑性的全球存在Alexander Mielke（与Riccarda Rossi（Brescia）和Giuseppe Savar´e（Pavia）联合工作）1。引言本次演讲基于我们的合作[MRS18]。我们考虑变形：Ω→ 有界体的RdofΩ⊂ Rd并将变形梯度分解为弹性和塑性部分，即（1）=FelFpl=FelP。当弹性部分有助于储能并由平衡方程控制时，塑性张量P则由塑性流动法则演化。乘法分解（1）导致能量泛函I=I（t，，P）中的几何非线性，驱动弹塑性过程的演变。这些非线性与能量密度的多凸性相容，我们将利用多凸材料的存在性理论。[OrS99]中对有限应变弹塑性材料的演化进行了基本分析：其中指出，演化弹塑性模型可以通过时间增量问题离散化，时间增量问题可以写成耗散能量和储能之和的最小化问题。该观察结果构成了[MiM06，MaM09，HHM12]中存在理论的基础，其中塑性张量的流动规律被视为速率依赖性。粘塑性是一个速率依赖的过程，表现为耗散势R（P，·）的超线性增长。由于塑性应力和塑性流率之间的非线性和非光滑关系，人们无法使用成熟的梯度流动变分理论（参见[Amb95]），但广义梯度系统的概念[Mie15]在原则上是适用的。遵循[MRS13]的脚步，人们可以根据所谓的能量耗散原理定义合适的解概念，该原理根据能量变化、外力功和耗散之间的平衡来编码变分结构，所写的耗散是一种特殊的对偶形式。粘塑性模型。演化受两个原则支配：能量储存：通过依赖时间的吉布斯自由能I（t，，P）和能量耗散：通过耗散电势R（P，˙P）。我们假设惯性效应可以忽略，粘弹性不相关，因为它具有更小的时间尺度（准静态近似），因此感兴趣的方程采用抽象变分形式（2a）（t）∈Argmin{I（t，e，P（t））：e∈F}。（2b）0∈кP˙R（P，˙P）+DPI（t，б，P）。非弹性固体建模的变分方法279其中F是根据Dirichlet边界条件给出的容许变形的固定集，（2a）提供了线性动量平衡，（2b）包含塑性流动规则。术语DPI包含塑性背应力，凸次微分（P˙R）包含粘塑性应力。b储能I和耗散势R的形式为Z I（t，，P）=Wℓ（t） ，i（3）ΩZ和R（P，*P）=R（x，P（x），*P（x））dx，Ω 哪里ℓ 是一个足够平滑的时变载荷。能量密度W和点态耗散势R具有由框架无差异、非自穿透和有限应变李群结构引起的几何非线性，如乘法分解（1）：（4）W（x，F，P，A）=Wel（x，F-P-1）+H（x，P，A），R（x，P-，˙P）=bR（x、˙P-1），其中Wel满足多凸性、空间框架无关性和局部内射性，即Wel（x，Fel）=∞，对于det-Fel≤0。Wel和bR中的乘法结构产生了强的几何非线性，这是在明确地写入由（2）引起的PDE系统时：Z（5a）ξ（t）∈argminW（x，Şeξ（x）P−1（t，x））dx−hℓ（t） ，eΓi:eΓ∈F，Ω （5b）≠R（x，˙P）=B（，P）−DPH（P，+P）+div D PH（P，P），其中塑料背应力为B（F，P）=（F P−1）⊤DFelW（F P‐1）P−。我们的全球解决方案将是该PDE系统的薄弱解决方案。3.变分方法：速率依赖与速率依赖演化。变分方法和公式非常适合处理涉及有限应变弹性和有限应变塑性的材料模型。原因是变分法中的直接方法依赖于弱下半连续的灵活概念，这使得我们可以绕过小应变理论中过于强大的凸性方法。[MaM09]中获得了有限应变弹塑性的第一个整体存在性结果，其中（5）的可解性是纯速率相关系统的能量解。我们的系统是由一个广义梯度系统（X，E，R）诱导的，其能量泛函E由E（t，P）：=inf{I（t，，P）:∈F}给出。然后，对于a.a.t∈（0，t），（5）可以重写为X*中的抽象次微分包含（6）0∈кR（P（t），˙P（t(Ω; Rd×d）和多值边际次微分F:[0，T]×X→→ E的X*（参见[MRS13]）通过F（t，P）：={DPI（t，，P）定义：是（5a）}的极小值。280Oberwolfach报告5/2018表示R*（P，·）的Fenchel-Moreau共轭R（P，.）和De Giorgi的能量耗散原理，我们通过询问能量耗散不等式的以下形式，定义了（5）的所谓EDI解： 对于s=0和a.a.s∈（0，T]和所有T∈（s，T]），我们有Zt（EDI）E（t，P（t））+R（P（R），·P（R秒Zt（零）≤ E（s，P（s））+∈rE（r，P（r））dr，其中Ξ（r）∈F（r，P（r）。第4节。基于半隐式时间增量最小化方案（τ=T/N）（7）PτN∈ArgminτRτN−1,1τ。对于这种结构，施加了适当的矫顽力假设，以确保增量步长具有良好的存在结果。然后，这些近似满足离散能量耗散不等式（0≤s=kτ<t=nτ≤t）E（t，Pτ（t））+R（Pτ，P˙bτ）+R∗ℓ, Pτidr。ss在选择了合适的子序列之后，在这个不等式中传递到极限是相对标准的，但建立次微分F的封闭性是绝对不容易的。特别是必须证明Pn⇀ P，⌀n⇀ W1，qF中的，和n∈ArgminI（t，·，Pn⇀ L1中的B（⌀，P）。为此，可以使用[FrM06]中开发的技术，这些技术受到[DFT05]的刺激。在有限应变下粘塑性材料的自然假设下，可以确定（5）的EDI解决方案的总体存在性，见[MRS18]。参考文献[Amb95]L.Ambrosio。尽量减少移动。伦德。阿卡德。纳粹。科学。XL内存。材料应用。(5), 19, 191-246, 1995. [DFT05]G.Dal Maso、G.Francfort和R.Toader。非线性弹性中的准静态裂纹扩展。架构（architecture）。理性力学。分析。，176, 165-225, 2005. [FrM06]G.Francfort和A.Mielke。一类具有非凸弹性能量的速率相关材料模型的存在性结果。J.reine angew。数学。，595, 55-91, 2006. [HHM12]K.Hackl、S.Heinz和A.Mielke。有限弹性塑性层板演化模型。Z.安格鲁。数学。机械。（ZAMM），92（11-12），888-9092012。[MaM09]A.Mainik和A.Mielke。有限应变下速率相关梯度塑性的整体存在性。非线性科学杂志。，19(3), 221-248, 2009. 非弹性固体建模的变分方法281[Mie15]A.Mielke。多尺度耗散材料模型的变分方法。K.Hackl和S.Conti主编，《有限塑性微观结构分析与计算》，Lect第78卷。注释应用。公司。力学，第5章，第125-155页。斯普林格，2015年。[MiM06]A.Mielke和S.M¨uller。弹塑性泛函的下半连续性和极小值的存在性。ZAMM Z.angew.公司。数学。机械。，86(3), 233-250, 2006. [MRS13]A.Mielke、R.Rossi和G.Savar´e。双非线性发展方程的非光滑分析。计算变量零件。微分方程。，46(1-2), 253-310, 2013. [MRS18]A.Mielke、R.Rossi和G.Savar´e。有限应变下粘塑性的整体存在性结果。架构（architecture）。理性力学。分析。，227(1), 423-475, 2018. [OrS99]M.Ortiz和L.Stainier。粘塑性本构更新的变分公式。计算。方法应用。机械。工程师，171（3-4），419-4441999。相场断裂的梯度流和准静态演化Matteo Negri（与Stefano Almi、Sandro Belz、Dorothee Knees共同工作）我们考虑了脆性断裂中单独二次相场能量的两种演化。两者都是通过时间离散化和适当的替代最小化方案获得的，以这种方式，充分利用了能量的独立二次结构。在这两种演化中，不可逆性是由相场变量的单调性（时间）强加的。在第一种情况下，我们考虑一个系统，该系统将相场变量的单向L2颗粒流与位移场的平衡方程相结合。首先我们考虑时间离散近似，其中增量问题是一个一步交替最小化运动：位移最小化之后是相位场中的约束最小化。其次，我们考虑一个具有后验截断的无限步无约束交替极小化方案：位移极小化之后是相位场中的无约束极小化，而相位场中又是相对于前一（时间）配置的截断。第三，我们考虑了有限元的多步版本。我们在数值上表明，多步格式在较大的时间增量范围内提供了良好的结果。从数值上讲，该方案非常有效，因为它依赖于两个线性系统的解。接下来，我们根据DeGiorgi的能量恒等式刻画了时间连续极限，而不依赖于链式规则，因此也不依赖于时间Sobolev空间的紧性。截断实际上只允许在时间-勒贝格空间中进行估计。此外，我们研究了消失粘度极限，至少在一步方案的情况下。为此，我们首先通过弧长将演化参数化，并证明长度一致有限。这个微妙的技术步骤是通过一个合适的离散格朗沃尔论证获得的，它反过来也提供了时间Sobolev空间中的局部正则性。然后我们可以到达极限，这个极限又是用准静态BV-演化来表征的。在这种情况下，我们首先显示能量平衡，然后通过链式法则推导出相应的偏微分方程。我们可以证明，在稳定传播状态下，极限演化处于平衡状态，282Oberwolfach Report 5/2018在这两个变量中，而在不稳定传播状态中，其特征是PDE系统，它只是参数化变量中的原始时间连续系统。对于第二个演化，我们使用了一个约束的交替最小化方案，其中时间更新配置是通过有限或无限的迭代过程找到的。在相场约束最小化的每一步都施加了不可逆性。在这种情况下，更新后的结构始终是能量的平衡点。该算法既可以根据合适的内模族作为单独的梯度流进行重构，也可以作为“准牛顿”方法进行重构。这两种表述都突出了进化的内在规范的基本家族。在通过弧长参数重新参数化进化之后，我们可以方便地传递到极限，其特征是（参数化）BV-进化。特别是，我们表明，在稳定（或稳态）传播的情况下，极限演化满足位移变量的平衡，以及以相场能量释放率表示的相场变量的Griffith判据的适当形式。我们进一步表明，由相场变量的单调性给出的不可逆约束在热力学上是一致的，因为相关的耗散能量在时间上是非递减的。进一步，我们根据梯度流（参数化变量）和内禀范数刻画了传播的不稳定状态。极限演化在两个变量中是“同时的”这一事实，即使算法不是这样，也可以通过连续依赖性来证明。工具书类 [67] D.Knees，M.Negri，相场断裂和损伤交替最小化方案的收敛性，数学。模型方法应用。科学。27 (2017), 1743-1794. ·Zbl 1376.49038号 [68] S.Almi，S.Belz，M.Negri，Ambrosio-Tortorelli能量离散和连续单边流的收敛性及其在力学中的应用·Zbl 1421.49033号 [69] M.Negri，通过交替最小化在相场断裂中的单向L2梯度流及其准静态极限，Adv.Calc.Var.（即将出现）。关于应用于线性应变和有限应变断裂的相场模型Kerstin Weinberg相场断裂模拟的基本思想是通过顺序参数s来标记材料的状态：[0，T]×B→ [0，1]，在一个时间跨度[0，T]内，在身体B⊂R3域上进化，其中s=0表示完整固体，s=1表示断裂状态。虽然裂纹实际上是尖锐的二维超曲面，但连续序参数场或相场的使用使尖锐的材料不连续性正则化，使断裂区域和未断裂区域之间平滑过渡。一般来说，相场的演变遵循非弹性固体建模的偏微分变分方法283方程（1）˙s=-MY，其中参数M描述了运动导纳（或取逆，粘性正则化）和无量纲函数Y:[0，T]×B→ R+总结了裂纹扩展的所有广义驱动力。大多数相场断裂模拟使用率相关损伤的修正Ambrosio-Tortorelli泛函[AT90]对裂纹驱动力进行建模，并以变量形式表示Y，即Y=δsΨ，其中Ψ是归一化能量密度[WDS+16]。在实践中，修改允许考虑断裂的各向异性，即裂纹仅在拉伸载荷下增加，而在压缩载荷下不增加。（1）在裂缝演化中的应用还需要额外的发展，以正确解释裂缝演化的不愈合不可逆性约束。其他修改考虑了使用能量密度的有限应变下的演化问题，能量密度相对于变形的梯度而言是多凸的：[0，T]×B0→ R3，参见[HW14，HGO+17]。在脆性断裂中，物体的能量密度Ψ完全是弹性的。为了满足各向异性约束，该能量分为断裂敏感和断裂不敏感部分，（2）Ψ。弹性能量密度受到凸性约束，在中不能是线性的[Bal77]。因此，分裂（2）实际上永远不会满足恒等式Ψ+=Ψ−ψ−。相反，假设能量部分Ψ+（，s）为裂纹驱动力。例如，它可能基于阳性主菌株。当涉及非线性弹性能量贡献时，能量分裂变得更加任意。我们讨论了线性化和有限弹性中的不同分解模型，并给出了有限应变下相场模型的数学分析的最新结果，参见[TBW17]，其中我们根据右Cauchy-Green应变张量的修正不变量来表示具有多凸能量密度的相场。此外，我们还讨论了脆性试样贝壳断裂的有限元模拟。贝壳状断裂模拟的主要挑战是，它需要一种数值方法的能力来预测裂纹形核和断裂，而不需要缺口、路缘或初始裂纹处的应力集中。弹性试件由非线性Yeoh材料制成，固定在底部，并通过规定的增量位移步向上变形。裂纹在块体中心开始萌生，随后出现残酷而完整的裂纹扩展，见图1。请注意，贝壳状骨折的特征波纹表面可以很好地观察到。更多详细信息和进一步调查见[BKKW17]。284Oberwolfach报告5/2018图1。贝壳状断裂中的裂纹萌生、最终状态和裂纹表面，使用30×30×30元素的网格进行计算。参考文献[AT90]L.Ambrosio，V.M.Tortorelli。椭圆泛函通过Γ-收敛逼近依赖于跳跃的泛函。普通纯应用程序。数学。，43(8):999-1036, 1990. [Bal77]J.M.鲍尔。非线性弹性力学中的凸性条件和存在定理。架构（architecture）。理性力学。分析。，63(4):337-403, 1977. [HW14]C.Hesch，K.Weinberg。有限信息相场断裂方法的热力学一致性算法。国际期刊数字。方法。工程师。，99:906– 924, 2014. [HGO+17]C.Hesch、A.J.Gil、R.Ortigosa、M.Dittmann、C.Bilgen、P.Betsch、M.Franke、A.Janz和K.Weinberg。多凸大应变相场断裂方法的框架。公司。方法。在申请中。机械。和Enng，317:649-6832017年。[TBW17]M.Thomas，C.Bilgen，K.Weinberg。基于修正不变量的有限应变下相场断裂模型的分析和模拟。WIAS预印本2456。[WDS+16]K.Weinberg、T.Dally、S.Schuß、M.Werner和C.Bilgen。用相场方法对裂纹扩展和损伤进行建模和数值模拟。GAMMMitteilungen，39（1）：55-772016年。[WDS+16]M.Thomas、C.Bilgen和K.Weinberg。基于修正不变量的有限应变相场断裂：关于其分析和模拟的注释。GAMMMitteilungen，40（3）：201-2252017年。[BKKW17]C.Bilgen、A.Kopani′C´akov´A、R.Krause和K.Weinberg。贝壳骨折的相场方法。Meccanica，2017，doi.org/10.1007/s11012-017-0740-z无序固体中的断裂：临界行为的简单模型Lev Truskinovsky（与Hudson Borja da Rocha联合工作）幂律分布雪崩伴随着无序弹性固体中的断裂现象。从根本角度来看，这种无尺度行为是令人感兴趣的，因为它是无序和长距离相互作用之间复杂相互作用的结果。在这种过程中观察到的标度先前与与一阶相变相关的旋节点和与二阶相变相关联的临界点有关。由于非热断裂可以用两种方式建模，这一谜团变得更加复杂：作为增量能量最小化现象（零温度极限）和作为非弹性固体建模的增量边际变分方法285平衡现象（零粘度极限）。我们使用受控位移下断裂的最简单平均场模型来表明旋节关联和临界关联都是相关的。为了研究位移控制（硬设备加载）的效果，我们通过添加看似无害的内部（纤维串联）和外部（纤维串联的）弹簧来扩充经典纤维束模型。我们表明，通过改变该模型中的有效刚度，可以模拟广泛的机械响应。最重要的是，这种系统在脆性和准脆性（延性）响应之间显示出非平衡相变，其中前者的特征是雪崩的幂律分布，而后者主要表现出雪崩的高斯统计。特定场景的实现取决于表示无序和僵化的两个参数。在具有高刚性或低无序的脆性系统中，超临界标度属于旋节普适类。脆性区域的边界具有不同的（非螺旋）指数。对于高无序或低刚性的延性系统，无标度。我们证明，如果动力学是能量最小化的，就像在零温度平衡系统的情况下一样，当临界系统与其非平衡类似物保持在同一普适性类别中时，旋节标度将丢失。当刚性受到系统尺寸的制约时，旋节雪崩保持稳健，而临界尺度仅表现为有限尺寸效应。我们认为，在地震和压缩多孔材料坍塌的情况下，强大的临界性只能由系统向分离脆性和延性行为的边界的自调整引起。非弹性材料的变分放大Sanjay Govindjee（与Klaus Hackl、Miklos Zoller联合工作）弹性复合材料的均匀化具有众所周知的变分结构，其中，平均应力的本构响应是根据基本宏观量给出的，如平均宏观应变，通过点态弹性能松弛导出的能量泛函的导数。弛豫允许位移场中的局部逐点波动，以降低系统能量。对于非弹性系统，具有类似的变分结构是很有趣的。如果我们将系统的状态定义为可以控制的状态变量x和内部状态变量z，我们可以假设系统的自由能密度为Ψ。对于可以用比奥原理[1]建模的材料，我们还可以假设耗散（密度）势∆（z，˙z），其中叠加的点表示时间微分。该系统的平衡关系可以通过最小化受边界约束系统上自由能密度的积分来找到。内部状态的演变可以通过最小化与▪z–也称为Biot原理相关的▪Ψ+∆来发现[1，2，3]。286 Oberwolfach报告5/2018通过将状态变量的空间X=Xess-Xmar和内部状态变量的区域Z=Zess-Zmar分割为基本和边缘分量，可以实现该模型的Homgenization。在这种安排中，基本组成部分是感兴趣的宏观组成部分。然后，在点态和内态投影等于Xess×Zess元素的约束下，通过最小化自由能密度积分和耗散势对状态变量和内态变量的积分，可以确定均匀化模型。这导致宏观电势ΨM（xess，zess）和∆M（zess，˙zess）。均质系统的应力-应变方程以ΨM相对于基本状态变量（通常为宏观应变）的梯度表示。基本内部状态的演变是通过将比奥原理应用于˙ΨM+∆M，此时最小化是相对于˙zess。该结构已在Miehe微球模型框架内成功应用于有限变形粘弹性，包括与实验数据的比较。所述结构也已成功应用于弹塑性复合材料中的一维和二维问题，其中使用收敛有限元模拟构造了用于检查均匀化结果的参考解。工具书类 [70] Biot，M.A.《不可逆热力学中的变分原理及其在粘弹性中的应用》，《物理评论》，第97期，第1463-1469页（1955年）·兹比尔0065.42003 [71] Ortiz，M.，Repetto，E.A.，Stanier，L.亚晶粒位错结构理论，固体力学与物理杂志，48，2077-2114（2000）·Zbl 1001.74007号 [72] Mielke，A.通过变分增量问题的松弛推导微观结构的新演化方程，应用力学和工程中的计算机方法，193，5095-5127（2004）小角度晶界和Cosserath结构Stephan Luckhaus（与Gianluca Lauteri联合工作）物理问题是描述金属在（工业）淬火过程中退火后的位错结构。在这里，我们通过能量边界（从下面）对（应变）矩阵场的总旋度进行了解释。更准确地说，我们使用了位错Z Eǫ（a）=Vol（{x|dist（x，spt（curlA））<\491]}）+dist（a，SO（n））2的应变场a的能量（自由能）的以下模型。我们想要证明的估计是ZE！−βZ ψcurlA<c|ψ|C01(Ω)Eǫ（A）1+δ+ln \491]（A）1分布（A，SO（n））2, 直径(Ω)d−1ǫΩ 非弹性固体建模的变分方法287，其中δ为小正值，kAk∞有界，β一般为12，如果绕组数Z A·γ/∈（0，τǫ）γ-spt（curlA）=∅，τ=O（1）γ被量化，则β=1。下面的这些估计与小角度晶界能量的里德-肖克利公式的顺序相同。作为一个直接的结果，我们有：如果Aǫ是这样的E \491'（A \491；）<const \491]，那么wlog A \491'→ A、 A=L1XχiRi，Ri∈SO（n），χi=χMi，kχMikL1<∞，n，即Aǫ接近于一个分段常数的旋转场——我们称之为Cosserath结构。n=2的情况发表在arXiv[1]上。到目前为止，n=3的证明仅限于非量化版本，仍需再次检查。工具书类 [73] G.Lauteri，S.Luckhaus。金属塑性中位错组态和cosserat型结构出现的能量估算，arXiv预印本arXiv:1608.06155（2016）。多晶形状记忆合金循环行为的变分材料模型Johanna Waimann（与Philipp Junker、Klaus Hackl联合工作）形状记忆合金的材料行为以奥氏体和几个马氏体相之间的转变为特征。循环加载伴随着位错的形成，位错稳定了大量马氏体相。这种不可逆过程会导致功能性疲劳的影响，其特征是应力平台减少，应力/应变图中的剩余应变增加，如图1所示，用于循环拉伸试验，参见例如[3]和[4]。循环过程中的不可逆过程是通过将可逆转变与马氏体稳定化耦合来考虑的。利用单个相的可逆体积分数λ和相应的不可逆马氏体体积分数ρ来描述微观结构的演变。多晶结构通过一组演化的欧拉角α={，ϑ，ω}来考虑，该欧拉角描述了转变晶粒的平均取向，见[2]。内部变量λ、ρ和α的演化方程由耗散势最小原理导出，见[1]。这是288Oberwolfach报告5/2018图1。循环拉伸试验的应力/应变示意图，见[4]。基于最小化关于内部变量速率的拉格朗日泛函的思想，从而读取已检查问题（1）L=˙Ψ（ε，θ，α，λ，ρ）+Dλ，rh，˙α，˙λ，▪ρ+cons→ stat.α˙、˙ρ、∙λ（1）中的第一部分是亥姆霍兹自由能的速率，该速率根据应变ε、温度θ和内部变量进行描述。通过使用Reuss-bound，其形式为1（2）Ψ=ε−QT·/η·Q−QT·/ν·Q:E:ε–QT·。有效量由（3）XnXn“Xn#−1Xnη”=λiηi，ε=ρiηi，E=（λi+ρi）（Ei）−1，c=（λi+ρi）ci计算。i=0i=0i=0i=0i=0拉格朗日方程（1）中的第二部分是耗散函数D。它描述了由于微观结构变化而耗散的能量。我们为可逆和不可逆相变选择了一种与速率无关的耦合安萨茨，并为欧拉角的演化选择了一个与速率相关的形式：v uuXn 2Xn√（4）D=rTtf˙λi+。因子g表示形成不可逆马氏体而非可逆相所需的不同能量。系数f可以通过（P（1.0−f1ni=0ρi）A计算得出→ M（5）f=Pn（1.0+f2i=0ρi）M→ 非弹性固体建模的变分方法289，有利于奥氏体向马氏体的转变，并根据实验观察，随着ρ的增加，反向转变延迟。拉格朗日函数（1）中的第三部分考虑了约束条件，即体积分数的非负性、质量守恒、ρ的不可逆性和总不可逆体积分数的最大值ρmax。拉格朗日函数的最小化直接导致内部变量的演化方程。材料模型的更详细描述以及基于实验的模型参数校准见[5]。随后，在有限元框架内实现了材料模型。图2中给出了带孔循环加载板的力/位移图，该图显示了循环期间实验观察到的平台应力降低和剩余应变的形成。F@ND 60 50 40 30 20 10 0u@mmD 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030的等高线图-图2。带孔循环加载板的力/位移图。图3中最后一个载荷循环中最大载荷的奥氏体体积分数λ0显示出局部弧形马氏体结构。因此，循环后，不可逆马氏体的总体积在图4所示的相同区域内形成。有限元级的模拟表明，该模型能够预测功能性疲劳的影响。图3.奥氏体4.在最后一次体积分数载荷循环中，在最大马氏体载荷下，循环后总体积分数可逆。290 Oberwolfach报告5/2018参考文献 [74] C.Carstensen等人，《有限应变塑性中的非凸势和微观结构》，伦敦皇家学会学报。系列A：数学、物理和工程科学458（2002），2018，299-317·Zbl 1008.74016号 [75] P.Junker，《用于多晶形状记忆合金建模和模拟的代表性取向分布函数的新方法》，《国际工程数值方法杂志》98（2014），11，799-818·Zbl 1352.74221号 [76] P.Krooß等人，《[001]取向Co49Ni21Ga30高温形状记忆合金单晶中的功能疲劳和拉压不对称性，形状记忆和超弹性》1（2015），6-17。 [77] M.F.-X.Wagner，Ein Beitrag zur strukturellen und funktionalen Erm–udung von Dr–ahten und Federn aus NiTi-Formged–achtnislegierungen，欧洲。Verlag大学（2005年）。 [78] J.Waimann等人，《形状记忆合金的循环行为建模》，形状记忆与超弹性3（2017），124-138。铁磁自旋系统的一些结果和相关结果Leonard Kreutz（与Andrea Braides、Antonin Chambolle联合工作）结构设计的优化有时可以被视为受设计约束的成本或柔度的最小化或最大化问题。一个典型的例子是由一定数量的材料组成的导电或弹性结构的给定载荷的形状优化。在这种情况下，不能保证存在最佳形状，必须引入考虑到细混合物可能性的宽松公式。均匀化方法可以被视为将问题细分为所有可能的混合物材料的描述，然后在满足相应放松设计约束的扩大均匀化材料类别中进行优化。在本次讲座中，我们考虑了描述两类最近邻相互作用混合物的总体性质的问题；即，表征形式为X ci的Ising系统的连续极限，j（ui−uj）2，<i，j>其中ui∈{−1，+1}，<i、j>表示方形晶格中的所有最近邻，而“键”ci、jare周期系数可能只取两个正值α和β，α<β。连续极限的识别是通过使用Γ-收敛工具的离散-连续收敛方法完成的。一个表示定理表明，极限能量可以用形式为Z（x，νu（x））dH1*{u=1}的积分泛函来表示。非弹性固体建模的变分方法291定义在“磁化”参数u∈BVloc（R2{−1，+1}）上，它是自旋变量的连续对应项。在键是周期性的假设下，我们使用β-键的体积分数θ精确描述了以这种方式获得的所有均匀表面能密度。该集合用H（θ）表示。我们证明，在θ固定的情况下，对于某些c1和c2，所有可能的ν∈S1，其中系数c1和c满足α≤c1，c2≤β，c1+c2=2（βθ+（1−θ）α）。另一方面，我们证明了具有固定周期的带键自旋系统的均匀能量密度始终是结晶型的，即它是凸多面体的支持函数，其极值点的数目取决于键的周期。图1.给出下限的周期单元图2.给出上限的周期单元292Oberwolfach Report 5/2018我们描述了图1和图2所示的“极端”几何结构，其中α连接用虚线表示，β连接用实线表示，值为+1或−1的节点分别为白圈或黑圈。在图1中，描绘了混合物的周期单元，由此给出了下限α（|ν1|+|ν2|）和能量最小的界面。图2表示混合物的周期元，给出了形式c1|ν1 |+c2|ν2 |的上限。注意，该图中所示的界面正好穿过与水平方向θvofβ键百分比成正比的键数。必须注意的是，与弹性情况相反，边界（即可能的⌀集）随着θ的增加而增加，尤其是它们始终包含最小表面张力α（|ν1|+|ν2|），这可以通过任意少量的α键实现。然后我们证明了一个局部化原理，类似于Dal Maso和Kohn提出的Sobolev空间中二次梯度能量的局部化原则。在我们的例子中，这相当于证明了我们可以获得的所有都是这样的，即，在适当选择其代表性后，几乎所有x都可以得到ψ（x，·）∈H（θ（x））。最后，我们表明，前面的结果可以应用于形式为xε2Wεi，j | ui−uj |，ε<i，j>的弱膜能量，其中ε→ 0是晶格间距，Wεi，j（z）=z2∧（ε−1ci，j）和u:εz2→ R。我们证明了上述泛函的Γ-极限的形式为ZZ f（x，Şu）dx+Γ（x，Γu（x））dH1，S（u），为函数u∈GSBVloc2（R2）定义，并且f是由适当弹性能的渐近单元公式描述的函数，而Γ与上述自旋系统的表面能密度一致。工具书类 [79] A.Braides，L.Kreutz，铁磁相互作用混合物的优化设计，arXiv预印本arXiv:11610.06455（2016）·Zbl 1373.35029号 [80] A.Braides，L.Kreutz，最近邻铁磁相互作用周期混合物的最佳界，Rendiconti-Lincei-Matematica e Applicazioni 28（2017），103-118·Zbl 1373.35029号 [81] L.Kreutz，弱膜能量均匀化结果，arXiv预印本arXiv:1801.02867（2018）。非弹性固体建模的变分方法293通过摆动能量模型和松弛EDP收敛性Thomas Frenzel（与Patrick Dondl、Alexander Mielke联合工作）。我们研究了梯度流（即梯度系统（X、eε、Rε））背景下演化方程解的收敛性；uε=aε（uε）诱导Aε（u）=ψR∗ε−DEε（t，u）的流量，其中X是状态空间，Eε：[0，t]×X−→ R{∞}是能量，Rε：X×X−→ [0，∞]是耗散势。在εց0的极限中，我们想要导出极限梯度系统（X，E0，Reff），使得u0，即uε的极限，是极限梯度系统诱导的梯度流的解。已有大量文献[1,2,3]研究如何传递到极限（X，Eε，Rε）（X，E0，Reff）。我们引入了唯一决定Reff的松弛EDP收敛的概念。我们研究了[4]提出的摆动能量模型，并给出了Rε和Reff之间的显式关系。方程式由u（1）ν˙u（t）=−u+给出ℓ（t） −κ′，u（0）=uε0，其中u（t）∈R。能量和耗散势由Eε（t，u）=2u2−给出ℓ（t） u+εκuε和R（v）=ν2v2松弛EDP收敛的概念基于以下公式：（1）能量耗散平衡（EDB）ZT（EDBε）Eεt，u（t）+Dεu。为了达到极限，我们计算了静态空间R中Eε和动态空间H1（0，T；R）中Dε的Γ-极限。然而，由于[5]，D0:=Γ-lim Dε不是（Ψ，Ψ*）形式，即对于任何Ψ，ZT D0u（·）6=Ψ（▪u）+Ψ*−DE0（t，u）dt 0。然而，我们放松了EDP收敛性，因此，我们得到了一个唯一确定的Reff，使得极限演化由梯度系统（R，E0，Reff）描述。这意味着Φε（u）：=Eε（t，u）+ℓ（t） 关于W1,2（0，t；R）中uε的弱收敛性，我们有ZT Jε（u，ξ）=R（˙u）+R∗−DΦε，对于摆动能量模型，我们有M（v，η）=Nu，v，η+DΦ0（u）Z1 M（v、η）：=infR（|v|˙z（s））+R*η−κ′（z（s，））ds z∈W1v，20，其中W1,2v=v∈W1,2（0，1）：z（1）=z（0）+符号（v）。对于（Ψ，Ψ∗）对，我们仍然有M（v，η）≥ηv，这意味着通过极限（EDB0），极限演化满足˙u（t），−DE0（t，u（t））∈CM:={（v，ξ）∈R×R:M（v、η）=ηv}。描述接触组CM的特征我们发现了动力学关系 0如果η∈范围（κ′）（v，η）∈CM⇐⇒ v=R1−1−10∈R*η−κ′（z）dzifη6∈Range（κ′），它通过关系（2）CM={（v，ξ）：v∈бReff（ξ）}定义了有效的双耗散势R*（ξ）R effeff（v）ξξv图1.定义（次微分）有效双重耗散势（左）和有效原始耗散势（右）的动力学关系。因此，摆动能量模型会导致有效耗散势，而不是ε-模型耗散势的（Γ-）极限。然而，非弹性固体建模的变分方法295——松弛EDP收敛的概念给出了R和Reffan之间的显式关系，并唯一地确定了后者。工具书类 [82] E.Sandier，S.Serfaty，梯度流的Gamma-收敛及其在GinzburgLandau的应用，Comm.Pure Appl。数学。，LVII，1627-16722004年·Zbl 1065.49011号 [83] A.Braides，局部最小化，变分进化和伽马收敛，Lect。数学笔记。第2094卷。施普林格，2013年。 [84] A.米尔克。关于梯度系统的进化Γ-收敛（第3章），In A.Muntean、J.Rademacher和A.Zagaris，编辑，《宏观和大规模现象：粗粒化、平均场极限和遍历性》，应用数学讲义。《力学》第3卷，第187-249页。斯普林格，2016年。程序。2012年6月，特温特大学暑期学校。 [85] R.Abeyaratne、C.-H.Chu、R.James。具有摆动能量的材料动力学：Cu-Al-Ni形状记忆合金中孪晶微结构演变的理论和应用，Phil.Mag.a，73457-4971996。 [86] P.Dondl、T.Frenzel和A.Mielke。具有摆动能量和松弛EDP收敛的梯度系统，2018，arXiv:1801.07144应变梯度塑性作为边缘位错能量的Γ极限，无需假设良好分离Janusz Ginster晶体塑性是晶体在外力作用下发生不可逆形状变化的效应。在原子尺度上，位错（晶体结构的局部缺陷）被认为在这种效应中起主要作用。我们主要讨论具有无限圆柱对称性和直平行边型位错线的物体的情况。通过考虑正交平面和相应的平面内应变，我们将问题简化为二维情况，其中位错仅出现在二维域中的点缺陷。然后，我们有兴趣了解这个平面中存储的弹性能量的行为。我们使用半离散模型来描述位错和应变，即切片中允许的位错密度集Ω⊂ R2由（M）（1）X=µ∈M给出(Ω; R2）：µ=Xbkδxk，M∈N，bk∈S，xk∈Ω. k=1，其中S是（重整化）Burgers向量的离散格。在位错连续理论中，弹性应变β：Ω→ R2×2满足容许位错测量的方程curlβ=µ。众所周知，这种约束与应变平方增长的有限弹性能量不兼容。因此，我们将约束条件正则化，并将容许应变集定义为296Oberwolfach Report 5/2018，遵循asε（µ）=β∈L2(Ω; R2×2）：β=0 in Bε（supp（µ）），卷曲β=0 inΩBε（µ），对于每个光滑有界开集A⊆Ω这样ZA⊆ΩBε（supp（µ））保持β·τdH1=µ（A）A然后将储存的弹性能量定义为（R1 Fε（µ，β）=Ω2Cβ：βdx+|µ|(Ω）如果µ∈X(Ω) β∈ASε（µ），+∞其他。这里，C∈R2×2×2×2~2是一个弹性张量，即它在对称矩阵上是正定的。术语|µ|(Ω) 解释了位错核内储存的能量。[1、2、5、6、7、8]中考虑了类似的模型。与现有文献的主要区别在于，我们没有假设位错的良好分离性，即我们没有假设两个不同的位错在远大于ε的尺度上分离。从启发性的角度来看，位错对能量的两个主要贡献是位错的自能和位错的弹性相互作用。自能集中在位错周围的圆盘中，位错收缩为ε→ 0，但逐渐大于ε。我们考虑两种捐款顺序相同的制度。这是～|logε|位错的情况。能量为|logε|2级。[5，8]中考虑了其他制度。我们证明了重标能量|logε|12Fε的Γ-收敛结果。主题如下。我们说（ε，βε）⊆M(Ω; R2）×L2(Ω; 如果|logε，R2×2）收敛到（µ，β）|⇀ L2中的β(Ω; R2×2）和|logε|µε→ μin W01，∞(Ω; R2）*。注意，位错测度的收敛性允许在极限中湮灭大的偶极团簇。我们表明，作为Γ极限，我们发现了应变梯度塑性模型，例如，见[3]和其中的参考文献。定理1。它容纳Fε→ F、 Γ其中F:M(Ω; R2）×L2(Ω; R2×2）→ [0，∞]定义为 南非兰特Ω2Cβ：βdx+Ω如果µ∈M，则d |µ| dµd |¦Μ|(Ω; R2）μH−1(Ω; R2），F（µ，β）=β∈L2(Ω; R2×2），卷曲β=µ，+∞否则。函数是1-齐次和次可加的。它可以通过一个松弛的细胞公式给出。非弹性固体建模的变分方法297为了证明重标应变βε的互补紧性结果，我们使用了[5]中证明的不相容场的Korn不等式，|logε|βε−Wε2Z（β！dx≤Cε）sym2dx+1 | curlβΩ| 对数ε|Ω| 对数ε|logε|2ε|(Ω)对于某些Wε∈Skew（2）。右边的第一项很容易被重标能量所限定。如果人们额外假设位错的分离性很好，那么也可以利用位错的自能来控制右边的第二项。在我们的例子中，这是不可能的，因为我们无法单独计算不同位错的自能，因为不同位错不被假定在相关尺度上分离。相反，人们可能希望找到良好的位错簇，使得X（2）|logε||µ（C）|≤Fε（µ，β）。簇C在第二步中，可以修改应变，使上述不等式可以用于其旋度。我们通过使用球构造技术的修改版本找到了满足不等式（2）的良好位错团，该技术是在Ginzburg Landau能量的背景下开发的，见[4，9]，并且已经成功地应用于只有有限多位错的亚临界区域，见[2]。我们面临的主要困难是，在建造过程中，我们需要避免薄结构，因为其上的大量刚度损失可能会阻止统一的下限。我们展示了修改后的离散球构造和组合参数的组合如何限制坏簇的数量，从而得到统一的下界。由此得到的紧性结果是定理2。让Ω⊆ R2a连接的有界Lipschitz域。设（εε，βε）∈X×ASε（ε。则存在β∈L2(Ω；R2×2），μ∈M(Ω; R2）μH−1(Ω; R2）和Wε∈Skew（2），使得子序列保持*（1）|logε|uε→ µinW01，∞(Ω; R2）和（β|logε|ε）sym⇀ βsymin L2(Ω; R2×2），（2）所有1>γ>0和UΩ 我们有β|logε|ε−Wε1Ω(µε)⇀ L2中的β（U；R2×2），（3）卷曲β=µ。此外，ZZ dµlim infFε（µε，βε）≥Cβ：βdx+d|µ|。ε→0ΩΩd|µ|298 Oberwolfach报告5/2018参考文献 [87] P.Cermelli，G.Leoni，位错上的重整化能量和力，SIAM J.Math。分析。37 (2005), 1131-1160. ·Zbl 1141.74023号 [88] L.de Luca，A.Garroni，M.Ponsiglione，边位错系统的Γ-收敛分析：自能区，Arch。配给。机械。分析。206 (2012), 885-910 ·Zbl 1366.74006号 [89] N.Fleck，J.Hutchinson，塑性应变梯度效应的唯象理论，J.Mech。物理学。《固体》41（1993），1825-1857·兹伯利0791.73029 [90] R.L.Jerrard，广义Ginzburg-Landau泛函的下界，J.Math。分析。30 (1999), 721-746. ·Zbl 0928.35045号 [91] A.Garroni，G.Leoni，M.Ponsiglione，《离散位错均匀化塑性梯度理论》，《欧洲数学杂志》。《社会分类》第12卷（2010年），第1231-1266页·Zbl 1200.74017号 [92] J.Ginster，《作为位错能Γ-极限的塑性》，博士论文，波恩莱茵-弗里德里希-威廉大学，2016年·兹比尔1422.49012 [93] S.M¨uller，L.Scardia，C.I.Zeppieri，《不相容场的几何刚度和应变-颗粒塑性的应用》，印第安纳大学数学系。J.631365-1396年·Zbl 1309.49012号 [94] L.Scardia，C.I.Zeppieri，作为非线性位错能量Γ极限的塑性线张力模型，SIAM J.Math。分析。44 (2012), 449-469. ·Zbl 1264.49012号 [95] E.Sandier，单位向量场能量的下限及其应用，J.Funct。分析。152 (1998), 379-403. 自由不连续问题的Gamma收敛性和随机同质化Gianni Dal Maso（与Filippo Cagnetti、Lucia Scardia和Caterina Ida Zeppieri联合工作）在[2]中，我们考虑了形式为ZZ-Ek（u，a）：=fk（x，ξu）dx+gk（x、[u]、νu）d Hn−1、a\JuAJu其中a⊂R是有界开集，u：答→ Rm是一个函数，Ju是它的跳跃集，[u]：=u+−u−是u的跳跃幅度，νuis是Ju的法线单位。在序列（fk）和（gk）的适当假设下，我们证明了存在一个未重新标记的子序列和一个形式为ZZ E（u，a）：=f（x，but u）dx+g（x，[u]，νu）d Hn−1，a\JuAJu Ju，使得对于每个有界开集a⊂Rn，Ek（·，a）Γ-收敛到E（·，a）的泛函E。此外，我们证明了极限泛函的被积函数f（x，ξ）和g（x，ζ，ν）可以通过考虑泛函Z1ZρnQρ。对于前者，对于y∈ξQρ（x），边界条件为u（y）=ξy，而对于后者，则为u（y）=0（关于−Qνρ（x）），u（y。非弹性固体建模的变分方法299通过将极限值先取为k，得到f（x，ξ）和g（x，ζ，ν）的值→ +∞ 然后作为ρ→ 0+. 变量改变后，这允许我们使用次可加遍历定理 [96] 为了证明几乎必然的Γ-收敛，asε→ 序列ZxZx Eε（u，A）的0+：=f（，+u）dx+g（，[u]，νu）dHn−1，AíJuε，其中f和g是平稳随机被积函数（见[3]）。工具书类 [97] M.A.Akcoglu，Krengel U.，超可加过程的遍历定理，J.Reine Angew。数学。323 (1981), 53-67. ·Zbl 0453.60039号 [98] F.Cagnetti，G.Dal Maso，L.Scardia，C.I.Zeppieri，Γ-自由间断问题的收敛性，2017年预印本http://cvgmt.sns.it/paper/3371/。 ·Zbl 1417.49010号 [99] F.Cagnetti、G.Dal Maso、L.Scardia、C.I.Zeppieri，自由不连续性问题的随机均质化，2017年预印本http://cvgmt.sns.it/paper/3708/。纳米材料中氢扩散的变形-扩散耦合计算模型Pilar Ariza（与孙兴胜、Michael Ortiz、Kevin G.Wang联合工作）了解金属纳米材料中氢的传输对于促进储能和缓解氢脆至关重要。以纳米钯颗粒为模型，最近的实验研究揭示了几个长期发生的高度非线性现象。这些现象的时间尺度超出了已建立的原子模型（如分子动力学）的能力。在这项工作中，我们提出了一种新的方法，称为扩散分子动力学（DMD），用于模拟原子尺度上的长期扩散质量输运。DMD是最近开发的一类计算模型，用于在原子长度尺度上模拟长期扩散质量输运。与以前的原子模型（例如基于过渡态理论的加速分子动力学）相比，DMD允许使用更大的时间步长，但由于需要在每个时间步长处解决非线性优化问题，因此在每个时间步处具有更高的计算复杂度。DMD的基本假设是扩散的时间尺度远大于微观状态转变的时间尺度。因此，在中等时间尺度上，微观状态变量——如晶格位置的瞬时位置和占有率——可以被视为随机变量。最近，Li等人[1]扩展了DMD，通过空位交换处理扩散质量传输，并将其应用于研究纳米压痕和烧结过程[1]以及位错反应机制[2]。文丘里尼（Venturini）等人[3，4]为扩散分子过程（包括热量和质量传输）开发了一个通用框架。DMD的最新理论综述见[5]。300Oberwolfach报告5/2018继[3]之后，在当前的工作中，我们耦合了一个经验扩散模型或主方程，驱动原子位置占用平均值的演变，非平衡统计热力学模型通过最小化巨正则自由熵来确定原子位置和原子分数的平均值。在数值实现方面，我们的方法涉及主方程的数值积分，以及在每个时间步长处高度非线性优化问题的数值解。通过使用原子分数，我们的DMD模拟的特征时间步长可以比基于AMD和KMC方法的模拟大得多，因为我们没有明确跟踪单个原子/空位跳跃。因此，我们计算中的时间步长不受这些事件频率的限制。相反，它仅受扩散时间尺度的限制，例如，受相边界传播速度的限制，其速度可能低至1nm/s[6]。图1.钯中氢吸收的形变-扩散耦合过程。为了评估所提出的DMD模型，我们以钯-氢（Pd-H）体系为例，模拟了氢原子在钯纳米颗粒中的扩散。Pd-H系统在几个应用领域具有广泛影响，包括储氢、净化过滤器、同位素分离和燃料电池[7,8]。在室温下，Pd-H表现出两种截然不同的相：氢浓度低的稀α相（高达PdH0.015）和氢浓度高的β相（PdH0.6及以上）。在这两个相中，钯亚晶格保持面心立方（FCC）结构，而氢原子占据八面体间隙位置。伴随着α/β相变，在10.4内有一个晶格膨胀 [100] J.Li，S.Sarkar，W.T.Cox，T.J.Lenosky，E.Bitzek，Y.Wang，扩散分子动力学及其在纳米压痕和烧结中的应用，《物理评论》B 84（5）（2011），054103。 [101] S.Sarkar，J.Li，W.T.Cox，E.Bitzek，T.J.Lenosky，Y.Wang，《寻找原子论中耦合位移-扩散缺陷过程的激活途径：fcc铜中的位错攀升》，《物理评论》B 86（1）（2012），014115。 [102] G.Venturini，K.Wang，I.Romero，M.P.Ariza，M.Ortiz，热量和质量传输的原子长期模拟，固体力学和物理杂志73（2014），242-268·Zbl 1349.82063号 [103] K.Wang，M.Ortiz，M.P.Ariza，金属中氢扩散的长期原子模拟，《国际氢能杂志》40（15）（2015），5353-5358。 [104] G.Simpson，M.Luskin，D.J.Srolovitz，扩散分子动力学的理论检验，SIAM应用数学杂志76（6）（2016），2175-2195·Zbl 1354.82015年 [105] T.C.Narayan、F.Hayee、A.Baldi、A.L.Koh、R.Sinclair、J.A.Dionne，单个钯纳米颗粒中氢吸收动力学的直接可视化，《自然通信》8（2017），14020。 [106] G.Li、H.Kobayashi、J.M.Taylor、R.Ikeda、Y.Kubota、K.Kato、M.Takata、T.Yamamoto、S.Toh、S.Matsumura等，金属-有机框架覆盖的钯纳米晶体中的储氢，《自然材料》13（8）（2014），802-806。 [107] Y.-M.Lin，G.-L.Lee，M.-H.Rei，《钯膜催化反应器的氢气综合净化和生产》，《今日催化》44（1）（1998）343-349。 [108] R.J.Wolf，M.W.Lee，R.C.Davis，P.J.Fay，J.R.Ray，钯氢化物的压力组成等温线，《物理评论》B 48（17）（1993）12415。 [109] X.Zhou，J.A.Zimmerman，B.M.Wong，J.J.Hoyt，pd-h合金的嵌入原子方法原子间势，材料研究杂志23（03）（2008），704-718。302Oberwolfach报告5/2018能量为|curl（p）|2项的粘塑性Ben Schweizer（与Matthias R¨oger联合工作）。我们给出了粘塑性几何线性模型的存在性结果。用u表示变形，并将梯度分解为弹性部分和塑性部分，如+u=e+p，相关能量为Z（1）We（+u，p）=Q（sym（+u−p）），Ω Z（2）Wp（p）=|卷曲p|2+δ|+p|2，Ω其中Q是一个凸函数，但不一定是二次能量密度函数，δ≥0是一个实参数。包含|curl p|2积分是因为curl p是位错线密度的度量。相反，p的全梯度没有明确的物理动机，因此我们对δ=0的情况特别感兴趣。我们将弹性能量密度写成形式We（F，p）=Q（sym（F−p）），总能量asW（+u，p）=We（+u、p）+Wp（p）。这两种能量都伴随着带有凸对偶R*的耗散率泛函R。在其强形式下，塑性演化问题表示为（3）−＋·σ=f，（4）σ=sym＋FWe（∧u，p），（5）−∑∈ЛpW（∧u,p）。我们注意到，前两个方程也可以用更紧凑的形式写成f∈õuW（Şu，p）。最后两个方程可以公式化为毕奥定律：¦ΒR（¦Βtp）=−¦ΒpW（¦Βu，p）。我们注意到，反向应力变量∑包含贡献旋度p。我们贡献[1]的两个主要结果涉及解的存在性。证明使用标准方法：我们考虑系统的时间离散版本。用变分法的直接方法证明了时间离散型的存在性。通过时间离散系统中的测试程序，在能量空间中获得先验估计。最有趣的步骤是最后一步：验证近似解的弱极限是非线性系统的解。为了证明弱极限是一个解，引入弱解的概念很重要。我们本质上使用了以下内容：我们要求u、p和∑是具有u∈L2（0，T；HD1）性质的时空函数(Ω; R3）），∑∈L2（0，T；L2(Ω; R3×3）），p，∈tp∈L2（0，T；L2(Ω; R3×3））。我们要求逐点时间能量最小化ZZZZ（7）We（+u（t），p（t））−f（t）·u（tΩΩΩΩ 非弹性固体建模的变分方法303适用于所有∈HD1(Ω; R3），反应力方程（8）W（+u，p）+W*Ωs=00（9）Zt≤−htf（s），u（s）i ds。实际上，我们在[1]中使用了一个更为凝聚的体系：给定p和f，我们表示通过变形no（10）E1（p；f）：=infWe(Ω; R3），（11）E（p；f）：=E1（p；f）+Wp（p）。如果我们总是假设u（t）是实现E（p；f）的变形，并表示M（p，f）等变形的集合，那么方程组可以简化为（12）Ep；f+E*−∑；f=h-∑，π。和tZt E p（s）；f（s）s=0+{R。0u∈M（p（s），f（s））主要结果可以表示为该系统的稳定性性质。松散地说：如果“pN，576 pN，和”∑Nare近似解（方程（12）只满足一个小误差），并且p，∑是这些函数的能量范数的弱极限，那么（p，∑）是（12）和（13）的解。在δ>0的情况下的证明是相当标准的，因为序列pˆN的紧性可以从空间和时间正则性得出；我们确实具有强收敛性ˆpN→ L2中的p（0，T；L2(Ω; R3×3））。因此，根据插值的一个抽象结果，我们还得到了？pN→ 在这种情况下，由于左手侧的弱下半连续性和右手侧的收敛性，可以直接形成关系式（12）的极限。在第二步中，我们表明，当uNare对近似解进行最小化时，u’Nis的弱极限u是极限的最小化器。这里还利用了？pN的强收敛性，这一性质的证明是直接的。最后，通过弱下半连续性很容易在（13）中取极限。在最后一步中，我们利用第二步中的极小元重构来处理两组极小元-uN∈M（pN，f）和uá∈M。在δ=0的情况下，不具有强收敛性ˆpN→ 证明必须基于分曲线引理和亥姆霍兹分解。更准确地说，与（12）有关的极限可以用div-curl 304Oberwolfach Report 5/2018引理来实现，并观察到？pN的旋度和？∑Nare的散度受控。一旦显示重建属性，就如前所述形成（13）中的极限。重建步骤基于[2]中的亥姆霍兹分解，该分解允许在给定任意比较函数的情况下构造一系列比较函数бN，以便（14）N⇀ 在L2（0，T；H1）中(Ω; R3）），（15）¼N−¨pN→ ∇−p在L2（0，T；L2）中(Ω; R3×3））。能量仅取决于差值N−ñpN，因此该差值的强收敛性允许得出结论，即u是p的能量最小值。参考文献 [110] M.R¨oger，B.Schweizer，位错密度对能量贡献的应变梯度粘塑性，数学。模型方法应用。科学。27 (2017), 2595-2629. ·Zbl 1386.74034号 [111] B.施魏泽 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。