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马布奇（Mabuchi，Toshiki）

芒福德几何不变量理论中的Chow稳定性和Hilbert稳定性。 （英语） Zbl 1156.14039号

大阪J.数学。 45，第3号，833-846（2008）.
本文是对极化变体的几何不变量理论（GIT）稳定性的重要贡献。
设（M）是紧（n）维复流形，（L）是（M）上的充分线丛，并调用（P（r）=chi（M，L^r）对的Hilbert多项式（它有度）。然后，对于每一个大的（r>0），选择（L^r）的全局全纯截面的基给出了（M）在（mathbb{P}^{P（r）-1}中的嵌入。不同的基对应于射影等价嵌入，它们由元素\（G=SL（P（r），\mathbb{C}）\）关联。对于任何这样的嵌入，Chow的经典构造都会在一个大的射影空间中关联一个点，即嵌入的Chow点。如果这个Chow点相对于（G）的自然作用是GIT稳定的，我们说（M，L^r）是Chow稳定的（这是很好的定义，因为两个不同的嵌入位于同一个（G）轨道上）。我们说（M，L）是渐近Chow稳定的，如果（M，L^r）对所有的（r）都是Chow稳定。
Hilbert的另一个经典结构与点序列（mathrm）中的给定投影嵌入（M）有关{山坡}_｛r，k｝\），每个都位于具有自然\（G\）作用的大投影空间中。我们说（M，L^r）是Hilbert稳定的，如果点｛希尔布｝_{r，k}对所有（k）大的都是GIT稳定的。如果（M，L^r）对所有（r）大的来说是Hilbert稳定的，我们说（M，L）是渐近Hilbert稳定性的。
一个定理J.福格蒂[J.Reine Angew.数学.234，65–88（1969；Zbl 0197.17101号)]表示（M，L）的渐近Chow稳定性意味着渐近Hilbert稳定性（参见J.罗斯和R.P.托马斯[J.Algebr.Geom.16，第2期，201–255（2007；Zbl 1200.14095号)]现代证据）。本文的主要结果是，逆渐近Hilbert稳定性也意味着渐近Chow稳定性。
这个结果的证明可以用以下符号写成草图J.Ross和R.P.Thomas[当地引文]。结果表明，渐近希尔伯特稳定性等价于以下事实：{w}_{r，k}>0\）表示所有\（k\）大型，其中\[\波浪线{w}_{r，k}=w（k）rP（r）-w（r）kP（k），\]并且，（w（k）是一个次多项式（n+1）（严格地说，必须对整个多项式族进行检查，但逐个检查就足够了）。然后写\[\波浪线{w}_{r，k}=\sum_{i=0}^{n+1}ei（r）k^i，\]其中系数\（e_i（r）\）是次多项式\（n+1\）。那么渐近Chow稳定性等价于对于所有（r）大的（e_{n+1}（r）>0）。
现在很清楚，渐近Chow稳定性意味着渐近Hilbert稳定性。另一方面，对于任何正数\（k’\），我们计算得出\[\压裂{\tilde{w}_{r，kk'}}{kk'P（kk'）}-\frac{\tilde{w}_{r，k}}{kP（k）}=\波浪线｛w｝_{k，kk'}\frac{rP（r）}{k^2k'P（kk'）P（k）}。\]然后，我们通过设置\（k_0=r\）和选择\（k_{i+1}=k_i k'\）（其中\（k'\）大），归纳地定义了一个数字序列\（k_i\），使得\[\波浪线{w}_{k{i}，k_{i} k个'}>0,\]这是可能的，因为渐近希尔伯特稳定性的假设。从上面的等式可以得出数字序列\[A_i=\frac{\tilde{w}_{r，k_i}}{k_iP（k_i）}\]正在急剧增加。自\[\压裂{\tilde{w}_{r，k_0}}{k_0P（k_0）}=0，\]我们可以看到，对于所有（i>0），都是（A_i>0\）。因此极限（lim_{i\to\infty}A_i）是存在的，并且是正的，但这等于（e_{n+1}（r））直到一个正常数，因此我们证明了（（M，L）是渐近Chow稳定的。
审核人：瓦伦蒂诺·托萨蒂（剑桥）

引用于7文件

MSC公司：

2014年12月 几何不变量理论
2015年第32季度 卡勒歧管
20年第32季度 Kähler-Einstein流形
53元25角 特殊黎曼流形（爱因斯坦、佐佐木等）

关键词：

周向稳定性;希尔伯特稳定性;希尔伯特-芒福德准则

引文：

Zbl 0197.17101号;Zbl 1200.14095号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{T.Mabuchi}，大阪J.数学。45，第3号，833--846（2008；Zbl 1156.14039）
全文： arXiv公司 欧几里得

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