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艾文·A·J。；莱恩，C.R。；R.I.麦克拉克伦。；罗伯茨，M.G。

利用神经场模型的哈密顿结构。 （英语） Zbl 1203.37034号

物理D 239，第9期，537-546（2010）.
这项工作涉及以下模型\[\frac｛\partial u（x，t）｝｛\partial t｝\，=\，-u（x，t）+\int_｛-\infty｝^｛+\infty｝w（x-y）f[u（y，t）]dy，\]其中，（u（x，t）是空间位置（x）和时间（t）的神经元群的平均电压或活动水平。耦合函数（w（x））是神经元元件之间连接的距离依赖强度，由下式给出\[w（x）\，=\，e^{-b|x|}\左（b\sin|x|+\cos x\右），\]带（b）的参数控制（w）中振荡随距离衰减的速率。放电率函数（f（u））对达到阈值后的神经元放电进行建模，并随着刺激的增加趋于最大限度。它由以下公式给出：\[f（u）\，=\，2 \，exp\左[-r/（u-\theta）^2\right]\theta（u-\t theta），\]其中，参数\（\theta\）是触发阈值，\（r\）是陡度参数，\（\tata\）是Heaviside阶跃函数。我们记得，Heaviside阶跃函数定义为\[\Theta（x）\，=\，\int_{-\infty}^{x}\delta（t）\，dt，\]其中，\（\δ（t）\）是Diracδ函数\对于\（x<0），（Theta（x）\）为零，对于\（x>0），它为\（1）。该模型已在[C.R.Laing公司等，SIAM J.Appl。数学。，第63期，第1期，第62–97页（2002年；Zbl 1017.45006号)]和[C.R.Laing，W.C.特洛伊，SIAM J.应用。动态。系统。，第2期，第3期，487–516页（2003年；Zbl 1088.34011号)].
作者考虑了方程的时间无关解，这些解是平稳的和空间尺度的，即：，\[\lim_{x|\to\infty}（u，u'，u''，u''）\，=\，（0,0,0.0）。\]这些解满足积分方程\[u（x）\，=\，\int_{-\infty}^{\infty}w（x-y）f[u（y）]dy，\]它可以通过傅里叶变换转换为以下微分方程：\[u“”-2（b^2-1）u“”+（b^2+1）^2 u \，=\，4b（b^2+1）f（u）。\标记{eq9}\]这个方程可以写成四个一阶常微分方程的系统，具有以下性质：
1） 系统在原点的线性化具有四个特征值（pmb\pmi），即原点是一个具有二维不稳定流形和二维稳定流形的双焦点。
2） 这个系统可以写成哈密顿系统。
3） 这个哈密顿系统在空间反转对称下是不变的。
利用所有这些性质，作者导出了一个实标量函数，该函数的零点产生到（eq9）原点不动点的单凸同宿轨道。
作者对方程进行了数值积分，以检验稳定同宿轨道在参数空间的某些区域中的意外消失。当点火率函数足够陡峭时，稳定同宿轨道的解曲线断裂。
审核人：Maite Grau（莱伊达）

引用于11文件

MSC公司：

第37页第29页 动力系统的同宿和异宿轨道
92C20美元 神经生物学

关键词：

图案形成；哈密顿体系；分叉，分叉；同宿

引文：

Zbl 1017.45006号；Zbl 1088.34011号

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\textit{A.J.Elvin}等人，Physica D 239，No.9，537--546（2010；Zbl 1203.37034）
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