迈克尔·戈德曼;马特奥·诺瓦加;马蒂亚斯·罗格 弯曲能量的定量估计及其在非局部变分问题中的应用。 （英语） Zbl 1437.49005号 程序。爱丁堡皇家学会。，第节。A、 数学。 150，第1期，第131-169页（2020年）. 作者认为能量是三项之和（mathcal{F}_{\lambda，Q}（E）=\lambdaP（E）+W（E）+QV_{\alpha}（E\），对于子集\（E\子集\mathbb{R}^{d}\），\（d=2,3\），带\（lambda，Q\geq0\），其中\（P（E）\）是周长\（P（E）=\mathcal{H}^{d-1}（\partial E）\），\（W\）是弹性线或Willmore能量定义为\（W（E）=\int_{\partial E}H^{2} d日\mathcal{H}^{1}\）如果\(d=2\）和\（W（E）=\压裂{1}{4}\int_{\部分E}H^{2} d日\mathcal{H}^{2}\）如果\（d=3\）\(H是维2中（E部分）的平均曲率和维3中（偏E）的主曲率，和（V{alpha}\)是为\（α\in（0，d）\）定义的Riesz相互作用能，如下所示\(V_{\alpha}（E）=\int_{E\times E}\frac{1}{\left\vert x-y\right\vert^{d-\alpha}}\，dxdy\）。作者介绍了以下几类可容许的集合\（\mathcal{M}=\{E\subset\mathbb{R}^{d}\）有界于\（W^{2,2}\）-正则边界\（\｝\），\（\mathcal{米}_{sc}=\{E\in\mathcal{M}:E\）简单连接\（\}\）\(\数学{M}（\left\vert B_{1}\right\vert）=\{E\in\mathcal{M}:\left\ vertE\right\vert=\left\vert B_{1}\right\ vert\}\）和\（\mathcal{M}_{sc}（\left\vert B_{1}\right\vert）=\{E\in\mathcal{米}_{sc}:\left\vertE\right\vert=\left\vertB_{1}\right\ vert}），他们考虑这两个最小化问题{米}_{sc}（\left\vert B_{1}\right\vert）}\马查尔{F}（F）_{\lambda，Q}（E）\）和\（\min_{\mathcal{M}（\left\vertB_{1}\right\vert）}\mathcal{F}（F）_{\lambda，Q}（E）\）。第一个主要结果证明了在2D情况下，\（Q_{0}>0\）的存在性，从而所有（lambda>0），球是第一个最小化的唯一解决方案问题。在2D情况下，第二个主要结果证明了存在（Q_{1}>0\），这样，对于每个\（\lambda>\overline{\lambda}\）和每个\(Q\leq Q_｛1｝（\lambda-\overline｛\lambda｝）\），球是第二个最小化问题。存在这样的\（Q_{2}>0\），对于每个\(\lambda\ in（0，\overline{\lambda}）\）和every\（Q\leqQ^{2\lambda（3+\alpha)/2} \），中心环空是第二个最小化的唯一解决方案问题。对于（1,2）中的每一个（α），都存在这样的（Q_3}（α）对于每个（λ>0）和每个（Q\geq Q_{3}（α）（λ+λ（α-1）/2），第二个最小化问题没有解。在3D中在这种情况下，作者证明了在\（\lambda=0\）的情况下，存在\(这样，对于每一个（Q\leqQ_{4}），第二个的唯一解最小化问题是一个球。对于（2,3）中的每一个\(Q_{5}（α）Q_{5}（\lambda^{-（（3-\alpha）/2）}+\lambda ^{（3+\alpha）/2}），能量函数\（\mathcal{F}（F）_{\lambda，Q}\）在\（\mathcal{M}中没有最小值（\left\vert B_{1}\right\vert）\）。为了证明，作者首先建立能量的性质{F}（F）_{\lambda，Q}\）。他们证明普遍常数的存在性（c{0}>0\）使得对于每个集合\(E\in\mathcal公司{米}_{sc}（\left\vert B_{1}\right\vert）\），\（W（E）-W（B_{1}）\geqc_{0}\min_{x}\left\vert E\Delta B_{1}（x）\right\vert^{2}\），其中\（E\ Delta F\）是集合\（E\）和\（F\）的对称差。此外，还有存在\（δ_｛0｝＞0\）和\（c_｛1｝＞0\），使得如果\（W（E）\leq W（B_｛1｝）+\δ_{0}\），然后\（W（E）-W（B_{1}）\geq c_{1{（P（E）-P（B_}））\）。作者还证明如果\（Q=0\）和\（d=2\），则存在\（\overline{\lambda}>0\），这样对于\(\lambda\在（0，\overline{\lambda}）中，第二个的解对于\（\lambda>\overline{\lambda}\），最小化问题是无效的它们是球。最后，如果由在前面的结果中，存在一个通用常量\（c{2}>0\），这样对于任何\（E\in\mathcal{M}（\left\vertB_{1}\right\vert）\）和\（\lambda>\上划线{\λ｝\）\（\mathcal{F}（F）_{\lambda，0}（E）-\mathcal{F}（F）_{\lambda，0}（B_{1}）\geqc_{2}（\lambda-\overline{\lambda}）\min_{x}\left\vert E\DeltaB_{1}（x）\right\vert^{2}），而对于任何\（\lambda_{ast}>0\），都存在一个常数\（c（\lambda_{\ast}）>0\），对于任何\（\lampda\in\lbrack\λ{\ast}，上划线{\lambda}]\）\（\mathcal{F}（F）_{\lambda，0}（E）-\min_{\数学{M}（\left\vert B_{1}\right\vert）}\mathcal{F}（F）_{\lambda，0}\geqc（\lambda_{\ast}）\min_{\Omega}\left\vert E\Delta\Omega \right\vert^{2}\），其中取所有集合中的最小值\（\Omega\）minimization\（\mathcal{F}_{\lambda，0}\）在\（\mathcal{M}（\left\vert B_{1}\right\vert）\）中（它们是球或环，取决于\（\lambda \））。作者还使用等周不等式。审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆） 引用于三文件 MSC公司： 49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论 53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制 76瓦99 磁流体力学和电流体力学 关键词：几何变分问题;相互竞争的互动;非局部周长扰动;Willmore功能;弯曲能;全局最小化;Riesz相互作用能;带电弹性液滴 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Goldman}等人，Proc。爱丁堡皇家学会。，第节。A、 数学。150，编号1，131--169（2020；Zbl 1437.49005） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Acerbi，E.、Fusco，N.和Morini，M.。非局部等周问题的二阶变分极小性。公共数学。《物理学》第322卷（2013年），第515-557页·Zbl 1270.49043号 [2] Alberti，G.，Choksi，R.和Otto，F.。具有长程相互作用的等周问题的统一能量分布。J.Amer。数学。Soc.22（2009），569-605·兹比尔1206.49046 [3] Bates，F.S.和Fredrickson，G.H.嵌段共聚物——设计师设计的软材料。物理学。今天52（1999），32-38。 [4] Bella，P.，Goldman，M.和Zwicknagl，B.。无界畴上外延应变膜中孤岛形成的研究。拱门。定额。机械。分析218（2015），163-217·Zbl 1327.74101号 [5] Bonacini，M.和Cristoferi，R.。非局部等周问题的局部和全局极小性结果ℝ^n.SIAM J.数学。分析46（2014），2310-2349·Zbl 1301.49114号 [6] Brasco，L.，De Philippis，G.和Velichkov，B.，Faber-Krahn尖锐数量形式的不等式。杜克数学。J.164（2015），1777-1831·Zbl 1334.49149号 [7] Bucur，D.和Henrot，A.。弹性力学的一个新的等周不等式。《欧洲数学杂志》。Soc.19（2017），3355-3376·Zbl 1377.49047号 [8] Choksi，R.和Peletier，M.A.，二嵌段共聚物问题的小体积分数极限。一： 锐利的界面功能。SIAM J.数学。分析42（2010），1334-1370·Zbl 1210.49050号 [9] Choksi，R.、Muratov，C.B.和Topaloglu，I.A.。一个老问题在非局部重新浮现：Gamow的液滴启发了当今的研究和应用。通知美国。数学。Soc.6464（2017），1275-1283·Zbl 1376.49059号 [10] Cicalese，M.和Leonardi，G.P.。尖锐数量等周不等式的选择原则。拱门。定额。机械。《2006年分析》（2012），617-643·Zbl 1257.49045号 [11] Cicalese，M.和Spadaro，E.。具有长程相互作用的等周问题的液滴最小化。普通纯应用程序。数学66（2013），1298-1333·Zbl 1269.49085号 [12] Cicalese，M.，Leonardi，G.P.和Maggi，F.。气泡簇的改进收敛定理I.平面情况。印第安纳大学数学。J.65（2016），1979-2050·Zbl 1381.49051号 [13] De Lellis，C.和Müller，S.。近脐带表面的最佳刚度估计。《差异几何杂志》69（2005），75-110·Zbl 1087.53004号 [14] De Simone，A.、Kohn，R.V.、Müller，S.和Otto，F.《微磁学的最新分析进展》。在滞后科学中。物理建模、微磁学和磁化动力学（编辑：Bertotti，G.和Mayergoyz，I.D.），第269-381页（阿姆斯特丹：爱思唯尔[u.a.]，2006年）·Zbl 1151.35426号 [15] Ferone，V.，Kawohl，B.和Nitsch，C.。面积约束下的弹性问题。数学。Annalen365（2016），987-1015·Zbl 1345.49049号 [16] Figalli，A.、Fusco，N.、Maggi，F.、Millot，V.和Morini，M.。球相对于非局部能量的等周和稳定性。公共数学。Phys.336（2015），441-507·Zbl 1312.49051号 [17] Frank，R.L.、Killip，R.和Nam，P.T.。液滴模型中不存在大核。莱特。数学。Phys.106（2016），1033-1036·Zbl 1347.49069号 [18] Fuglede，B.。R^n.Trans中凸域或近球域的等周问题的稳定性。阿默尔。数学。Soc.314（1989），619-638·Zbl 0679.52007 [19] Fusco，N.，Maggi，F.和Pratelli，A.。尖锐的定量等周不等式。安。数学。(2)168 (2008), 941-980. ·Zbl 1187.52009年 [20] Gamow，G.，质量缺陷曲线和核构成。程序。R.Soc.伦敦。A126系列（1930年），632-644。 [21] Goldman，M.和Ruffini，B.。带电液滴的平衡形状和相关问题：（主要）综述。地理。流量2（2017），94-104·兹比尔1383.49008 [22] Goldman，M.和Runa，E.。关于具有非局部相互作用的变分模型中条纹的最优性。预印本，2016年·Zbl 1415.49033号 [23] Goldman，D.，Muratov，C.B.和Serfaty，S.。二维Ohta-Kawasaki能量的Γ极限。I.液滴密度。拱门。定额。机械。分析210（2013），581-613·2018年6月29日 [24] Goldman，M.，Novaga，M.和Ruffini，B.带电液滴非局部等周模型的存在性和稳定性。拱门。定额。机械。分析217（2015），1-36·Zbl 1328.76031号 [25] Hutchinson，J.E.，杂色褶皱的第二基本形式和曲率最小曲面的存在。印第安纳大学数学。J.35（1986），45-71·Zbl 0561.53008号 [26] 带有库仑排斥项的等周问题。印第安纳大学数学。J.63（2014），77-89·Zbl 1311.49110号 [27] Julin，V.。关于非局部等周问题的注释。非线性分析154（2017），174-188·Zbl 1358.49039号 [28] Knüpfer，H.和Muratov，C.B.关于具有竞争非局部项的等周问题I：平面情况。普通纯应用程序。数学66（2013），1129-1162·Zbl 1269.49087号 [29] Knüpfer，H.和Muratov，C.B.关于具有竞争非局部项的等周问题II：一般情况。普通纯应用程序。数学67（2014），1974-1994·Zbl 1302.49064号 [30] Knüpfer，H.、Kohn，R.V.和Otto，F.。立方-四方相变的成核势垒。普通纯应用程序。数学66（2013），867-904·Zbl 1322.74057号 [31] Knüpfer，H.、Muratov，C.B.和Novaga，M.，均匀带电液体中的低密度相。Commun公司。数学。《物理学》第345卷（2016年），第141-183页·Zbl 1346.49017号 [32] Kohn，R.V.和Müller，S.。相干相变中的表面能和微观结构。普通纯应用程序。数学47（1994），405-435·Zbl 0803.49007号 [33] Kuwert，E.和Schätzle，R.。Willmore曲面点奇异性的可移除性。安。数学。(2)160 (2004), 315-357. ·Zbl 1078.53007号 [34] Kuwert，E.和Schätzle，R.《Willmore函数》。《现代正则性理论主题》，CRM系列第13卷（Mingione，G.编辑），第1-115页（Pisa:ed.Norma.，2012）·Zbl 1322.53002号 [35] Lamm，T.和Schätzle，R.M.。任意余维下近似脐带曲面的最佳刚度估计。地理。功能。分析24（2014），2029-262·Zbl 1322.53008号 [36] Leoni，G.。外延生长的变分模型。《自由不连续性问题》，CRM系列第19卷（编辑：Fusco，N.和Pratelli，A.），第69-152页（比萨：编辑：Norm.，2016）·兹比尔1378.82053 [37] Lieb，E.H.和Loss，M.分析。第二版梯度。学生数学。（普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS），2001年）·Zbl 0966.26002号 [38] Lu，J.和Otto，F.。Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker模型的极小值不存在。普通纯应用程序。《数学67》（2014），1605-1617·Zbl 1301.49002号 [39] Marques，F.C.和Neves，A.，Min-max理论和Willmore猜想。安。数学。第二辑179（2014），683-782·Zbl 1297.49079号 [40] Müller，S.和Röger，M.。弯曲能最小的约束结构。J.Diff.Geom.97（2014），109-139·Zbl 1296.53127号 [41] Muratov，C.B.和Novaga，M.关于带电液滴变分模型的适定性。程序。R.Soc.A472（2016），20150808·Zbl 1371.76163号 [42] Muratov，C.B.、Novaga，M.和Ruffini，B.关于带电平滴的平衡形状。普通纯应用程序。数学71（2018），1049-1073·Zbl 1394.49046号 [43] Ohta，T.和Kawasaki，K.嵌段共聚物熔体的平衡形态。大分子19（1986），2621-2632。 [44] Okamoto，M.，Maruyama，T.，Yabana，K.和Tatsumi，T.。低密度核物质中的核“意大利面”结构和中子星外壳的性质。物理学。修订版C88（2013年8月），025801。 [45] 瑞利，L.。关于带电液体导电质量的平衡。Phil.Mag.14（1882），184-186。 [46] Ren，X.和Wei，J.。二嵌段共聚物形态非局部自由边界问题的球面解。SIAM J.数学。分析39（2008），1497-1535·Zbl 1153.35091号 [47] Röger，M.和Schätzle，R.。通过Willmore赤字控制等周赤字。分析32（2012），1-7·Zbl 1252.49069号 [48] Schygulla，J.Willmore使用规定的等周比最小化。拱门。定额。机械。分析203（2012），901-941·Zbl 1288.74027号 [49] Simon，L.，《几何测量理论讲座》，《数学分析中心学报》第3卷（堪培拉：澳大利亚国立大学，1983年）·Zbl 0546.49019号 [50] Simon，L.。最小化Willmore泛函的曲面的存在性。通用分析。Geom.1（1993），281-326·兹比尔0848.58012 [51] Topping，P.，平均曲率流和几何不等式。J.Reine Angew。数学503（1998），47-61·Zbl 0909.53044号 [52] Willmore，T.J.，关于嵌入表面的注释。安。斯汀特。Al.I.Cuza大学，IašI，Sect。I a Mat.（N.S.）11B（1965），493-496·Zbl 0171.20001号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。