马克·沃特金斯 虚二次域的类数。 （英语） Zbl 1050.11095号 数学。计算。 73，第246号，907-938（2004）. 作者通过对已知方法的修改和计算机的长时间计算（七个月），将高斯类数（N）问题的完全（无条件）解的范围扩大到（Nleq 100）。设\（h（-d）\）是判别式\（-d\）（\（d>0））的虚二次域\（\ mathbb{Q}（\ sqrt{d}）\的类数。大约在1800年，高斯推测（h（-d））趋向于无穷大。1934年，M.Deuring、L.J.Mordell和H.Heilbronn的工作结合起来，解决了这个猜想。因此，对于任何给定的\（N\），只有有限多个\（\mathbb{Q}（\sqrt{d}）\）和\（h（-d）=N\）。确定所有这些字段的问题称为高斯类数（N）问题。根据ERH，我们有\[h（-d）\geq\frac｛\pi（1+o（1））｝｛12e^｛\gamma｝｝\cdot\frac｛\sqrt｛d｝｝｛\log\log｛d｝｝\][J.利特伍德，程序。伦敦。数学。Soc.27358-372（1928年；JFM 54.0206.02标准)]对于给定的（小）\（N），问题很容易解决。由于D.M.Goldfeld和Gross-Zagier的工作，我们获得了（h（-D））的（无条件）有效下界，然后将任务简化为任意（N）的有限计算量。秩为（3）的（mathbb{Q}）上的椭圆曲线（E）的存在性给出了这样一个界。J.Oestrelé【Enseign.Math.，II.Ser.34，第1/2号，43–67（1988；Zbl 0668.12005号)]明确表示要给予\[h（-d）>\frac{1}{55}（\logd）\prod_{{\substack{{p\midd}\\{p\neqd}}}}（1-[2\sqrt{p}]/（p+1））。\]遗憾的是，即使对于小的（N）（例如，（h（-d）\leq 3\Rightarrow\log d\leq 165\）），这也给了（d）和（h（.d）\leq N）的上限太大，因此主要任务是在大范围内筛选\（d），以及h.Stark和Montgomery-Weinberger用于解决案例\（N=1\）和\（2\）的旧方法20世纪70年代被用于修改，需要计算机进行长时间的计算。最新的两个结果是由于C.瓦格纳[数学计算.65785-800（1996；Zbl 0857.11057号)]，他指出，相同的技术似乎不适用于情况（N=8），以及由于S.阿诺,M.L.罗宾逊和F.S.惠勒[《阿里斯学报》第83卷第4期，第295–330页（1998年；Zbl 0904.11031号)]. 与Montgomery-Weinberger方法获得的界限相比，作者成功地将计算筛选量减少了一倍（>1000\）。主要的理论技术是对Goldfeld-Oestellé工作的修改，该工作在中心临界点使用了一个阶数为（3）的椭圆曲线（L）函数，而不是考虑实线附近具有低高度零点的Dirichlet（L）-函数（尽管在他的证明中仍然需要前者）。审核人：Ken Yamamura（横须贺） 引用于1审查引用于50文件 MSC公司： 11兰特29 类号、类群、判别式 2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi）） 11年35 分析计算 11兰特 二次扩展 关键词：类别编号；虚二次场 引文：Zbl 0668.12005号；Zbl 0857.11057号；Zbl 0904.11031号；JFM 54.0206.02标准 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Watkins}，数学。计算。73，No.246，907--938（2004；Zbl 1050.11095） 全文： DOI程序 参考文献： [1] Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，《带公式、图形和数学表的数学函数手册》，国家标准局应用数学丛书，第55卷，文件主管出售，美国政府印刷局，华盛顿特区，1964年·Zbl 0171.38503号 [2] 史蒂文·阿诺，第4类的虚二次域，阿里思学报。60（1992），第4期，321-334·Zbl 0760.11033号 [3] Steven Arno、M.L.Robinson和Ferrell S.Wheeler，小奇数类的虚二次域，Acta Arith。83（1998），第4期，295–330·Zbl 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