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安德烈亚·德尔·森蒂纳

庞塞雷特的多孔性：一个关于新发现的漫长故事。一、。 （英语） Zbl 1333.01015号

架构（architecture）。历史。精确科学。 70，第1期，1-122（2016）。
1.简介
争论中的文本是Poncelet闭包定理悠久历史的第一部分（以Cayley（参见第74页引用的Mention）命名）波尔斯主义希腊语πoρiσμoν[sic]的意思是“一个命题，它肯定了找到某个问题变得不确定或能够无限解的条件的可能性”（见第2页），它的发现，它的各种证明及其发展。第一部分也可以命名为“从查普尔到哈尔芬”，因为内容从查普尔一直到哈尔芬，也就是说，到19世纪末。这篇论文是一篇历史性的论文，引文很多，但也很有技术性，不是一篇容易阅读的论文。它不局限于陈述一些美丽的定理，但它复制了主要的证明，深入分析了任何细节。
一位对庞塞莱特闭包定理感兴趣的历史学家（以下简称PCT），一定不要错过阅读这本包含丰富信息的小册子。相反，在这个关于PCT的发现和调整的漫长冒险中，缺少的是人性的一面。也许，一些传记素描并不是不合时宜的，原因有二：1）将一些抽象的数学素材固定在现实中（用哲学术语来说），使结果更生动；2） 读者也可能对数学家的具体形象感兴趣。例如，除了长脚注25（第20页）之外，很少有人提到珍妮·维克托·蓬塞莱他的在拿破仑在俄罗斯战役中战败后，他在萨拉托夫被囚禁期间（直到1814年）首次接受PCT治疗。
我借此机会注意到，在在线数学百科全书中搜索“porism”或“Poncelet闭包定理”[https://www.encyclopediaofmath.org]导致无记录。不幸的是，维基百科中关于PCT的部分也非常少[https://www.wikidata.org/wiki/Q1785610]. 从事这一研究领域的任何人都无法在那里找到一些重要的东西。也正是出于这个目的，正在审查的文件赞扬了在一个独特的地方收集到的巨大信息来源。读者如果对作者所追述的历史不满意，可以信赖他丰富的参考资料。
它只有两个负面特征：任何引用都是用原始语言给出的。不幸的是，虽然法语、意大利语（当然）和英语的引语都是正确的，但德语的引语却充满了拼写错误。第二个消极或奇怪的特征是图30（第100页）的出现，它说明了达尔布的一个定理，文中没有引用，尽管没有人可以否认它的价值，以便直观地掌握达尔布的第四个定理（n=5）（第99页）。这也是强调图纸质量的正确地方（共36幅），这些图纸非常优雅，易于理解，没有任何多余的信息。
这是对所审查论文风格的一种介绍。对于历史学家来说，这是一篇内容丰富的论文，但不平凡，不适合外行。
2.内容
论文长达122页，内容如下：在概述了第一部分和第二部分的目标之后[Zbl 1345.01007号]，对第一部分（问题部分）进行了详细介绍。接下来是十节，最后是五页参考资料。这些部分包括：
1
史前史：从查普尔到施泰纳[William Chapple（1718-1781），John Landen（1719-1790），Leonhard Euler（1707-1783），Simone Antoine Jean Lhuillier（1750-1840）]；
2
Poncelet的定理和方法；
三。
雅可比与椭圆函数的使用；
4
特鲁迪：被遗忘的作品；
5
凯利显式条件；
6
不变量的代数方法[乔治·萨尔蒙（1819-1904）和弗朗西斯科·布里奥斯基（1824-1897）]；
7
1850年至1875年的其他贡献[弗里德里希·朱利叶斯·里奇洛（1808-1875）、J.Mention（1821-1901）、塞奥多尔·弗洛伦丁·穆塔德（1827-1901），雅各布·罗萨内斯（1842-1922）和莫里茨·帕施（1843-1930），雅科布·施泰纳（1796-1863），米歇尔·弗洛雷尔·蔡斯（1793-1880）]；
8
\（（2，2）-对应与闭包问题[再次是凯利和阿道夫·赫尔维茨（1859-1919）]；
9
达尔布定理；
10
Halphen论文中的Poncelet多边形。

我在方括号中插入了作者在相应章节中处理的内容。奇怪的是，尽管论文中经常引用欧拉，但只有很短的一段专门介绍他（第13-14页）。作者（脚注16，第17页）评论说，瑞士数学家西蒙·安托万·让·吕利埃有时被写成“吕利埃”。顺便说一下，恩里克斯总是把这位数学家称为L'Huilier。这是为了澄清另一件事。关于提及，作者写道（脚注74，第71页）：“关于J.Mention（1821年-？），可能是一位俄罗斯数学家，我们知之甚少”。在整篇文章中，作者还经常提到尼古拉·特鲁迪（1811-1884），因为他在一生中被忽视，今天也不太为人所知，尽管他对这一主题做出了重要贡献。
3.简短回顾
显然，本文的核心是第二节，专门介绍庞塞莱的作品。作者将Poncelet的闭包定理表述如下：
定理PCT：“设（C）和（D）是射影平面上的两个光滑二次曲线，如果存在一个内切于（C）并外切于（D）的由（n）条边组成的多边形，那么对于每一点（C中的P），都有一个顶点为（P）的多边形。”（第20页）
也就是说，如果存在一个内接于（C）中并外接于（D）的（n）-边，那么这种（n）-gon的数量是无限的（精度为（aleph_1）；（n）-gon表示（C）的任意点，但因为（C）有（aleph_1）点（我们在（mathbb{R}^2）中）；请参阅Cantor的著名证明），那么，有\（\aleph_1\）\（n \）-gons，而且数量是无限的。
二次曲线的推广称为Poncelet一般定理（简称PGT），如下所示：
定理PGT：“设\（C，D_1，D_2，\dots，D_｛n-1｝\）是铅笔的二次曲线\（\mathfrak｛F｝\）。考虑一个\（n\）-边\（P，P_1，\dots，P_｛n-1｝\）内切在\（C \）中，边\（P P_1 \）与\（D_1 \）相切，边\（P_1 P_2 \）与\（D_2 \）相切，依此类推，直到\（P_｛n-2｝P_｛n-1｝\）与\（D_｛n-1｝\）相切。然后，如果\（P \）移动\（C\）这样，边（P_1）、（P_1P_2）等分别与（D_1）和（D_2）等相切，第（n）边（P_{n-1}P）包络属于（mathfrak{F}）的圆锥曲线。”（同上）
换句话说，在满足某个前提的情况下，折线\（P，\dots，P_｛n-1｝\）闭合，因为定理表明\（P\）和\（P_｛n-1｝\）之间存在一条线。我们可以称这条线为闭合路径。
作者提供了Poncelet的PGT的两个证明：分析的（第26-30页）以及综合的第1页（第30-33页）。由于不可能考虑到本文中提供的所有结果，所以我将自己局限于一些好奇。例如，斯坦纳证明了圆圈的PCT（第78-80页）。他假设给定了两个圆（c）和（c），第一个位于后者内部。然后，可以建立一个圆序列（C_1，点，C_{n-1}），它既与（C）相切，又与（C）相切。对于序列中的任何圆（C_i），（C_i\）既与（C_{i+1}）相切又与（C_{i-1}相切。然后，斯坦纳声称：要么序列永远不会结束，要么它会结束。很容易看出，这个圆环链是PGT中直线链的吊坠。
非常有趣的是第8节中关于（2，2）-对应关系的内容，这是更一般的（m，n）-对应的特殊情况。事实上，设\（f（x，y）=0）是多项式，例如\（deg x=m）和\（degy=n）。然后总是有一个对应关系（φ），它将任何（x_i）（对于（i=1，\dots，m\））映射到所有（y_1，\ dots，y_n\），并将任何（y_j）（对于\（j=1，\ pots，n\））对应到所有（x_1，\pots，x_m\）。显然，a（（2,2））-对应是\（m=n=2\）的\（m，n）-对应。在这种情况下，给定多项式（f（x，y）=0），（φ）将（x_i）映射到（y_1）和（y_2），并将（y_j）映射到。换言之，任何点（x）都与两点（y）对应，而任何点（y）都与两个点（x\）对应。本节介绍了（2，2）-对应关系，这是文本中的一个转折点，因为作者在随后的部分中经常提到这些对应关系与PCT相关。
在第84页上，作者注意到任何对称的（2，2）对应关系都与该类型的双二次方程有关
\[f（x，y）=ax^2y^2+bxy（x+y）+c（x^2+y^2）+dxy+e（x+y）+f=0。\]
为什么这些信件与PCT如此相关？正如凯利所写[JFM 02.050.01标准]:
“内环面多边形的多孔性以二次曲线上点的对称（2,2）对应理论为基础；即a（2,2由一个形式的方程连接
\[（x，1）^2（y，1）|2=0，{（\ast）}\]
相对于参数\（x，y）对称。”（同上）
（\（\ ast\））是Cayley表示双二次方程的方式。安在和电路中多边形（P）是一个内接于二次曲线（C）并以二次曲线为界（不一定不同）的多边形。
在第102页，我们遇到了二次曲线系在脚注中。二次曲线系（S）是一个参数化的有限求和，即由方程（sum A{ij}（lambda）x_ix_j=0）给出，其系数取决于参数（lambda\）。嗯，“Chasles定义了第一特性（S）中通过一点的二次曲线的数目，以及第二特性系统中与直线相切的二次曲线的数量”（脚注95，第102页）。
最后但并非最不重要的是，本文以“Halphen揭示了Poncelet闭包定理与（sqrt{X（X）}连分式的发展之间的联系”（第118页）的观察结果结束。
审核人：大卫·邦多尼（安福）

引用于1审查
引用于16文件

MSC公司：

01A50号 18世纪数学史
01A55号 19世纪数学史
14C21型 代数几何中的铅笔、网、网
51A05号 线性关联几何和射影几何的一般理论
51N15号 射影解析几何

关键词：

Poncelet闭包定理;蓬塞莱特综合症;Poncelet多边形;射影几何;\（（2,2）\）-通信

传记参考：

蓬丝莱特、珍妮·维克托;尼古拉·特鲁迪;亚瑟·凯利;雅各布·斯坦纳;加斯顿·达布;Mention，J。

引文：

Zbl 1345.01007号;JFM 02.050.01标准

软件：

维基数据库
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Del Centina}，拱门。历史。精确科学。70，第1号，1--122（2016；Zbl 1333.01015）
全文： 内政部

整数序列在线百科全书：

Jordan函数J_2（n）（φ（n）的推广）。

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