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大卫·R·亚当斯。;肖杰

非线性椭圆系统的奇异性。 （英语） Zbl 1281.35027号

Commun公司。部分差异。方程 38，编号7-9，1256-1273（2013）.
设（Omega）是（mathbb{R}^n）中的有界域，设（p\in（1，infty））和（m\inmathbb}n}）中的域，使得（n>mp\）。此外，设\（q>\frac｛np｝｛n-mp｝\）。
本文的主要结果表明，如果（u）是Meyers-Elcrat系统的（W^{m，p}cap L^q）-解[N.G.Meyers公司和A.埃尔克拉特杜克大学数学系。J.42，121–136（1975年；Zbl 0347.35039号)] \[\sum_{|\gamma|\leq-m}（-1）^{|\gamma|}\left（\frac{\partial}{\paratilx}\right）^{\gamma}A_{\gama}（x，D^mu）=0\；\文本{on}\Omega\]（这里，对于\（N=\sum_{k=1}^mn^k\），\（A_\gamma:\Omega\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb}R}^N）是一个Carathèdory函数，对于一些正常数\（A_0，M\），它满足以下条件\[\sum_{|\gamma|\leq-m}A_{\gamma}（x，D^mu）\left（\frac{\partial}{\partivex}\right）^{\gama}u\geqa_0\left|\left；\文本｛a.e.on｝\Omega\]
\[|A_{\gamma}（x，D^mu）|\leq M\left|\left（\frac{\partial}{\partic x}\right）^mu\right|^{p-1}，\|\伽马|\leq m，\；\；\文本{a.e.on}\Omega），\]则\（|D^mu|\）属于莫里空间\（L^{p，\lambda}（\Omega）\），其中\（lambda=（m+\frac{n}{q}）p\）。
因此，（u）的奇异集的Hausdorff维数不能大于（frac{np}{q}）。特别是，对于有界解，奇异集的Hausdorff维数为零。
证明使用了Zorko空间的概念（所有函数的空间都可以用标准范数（L^{p，\lambda}（\Omega））中的\（C^1（\Omega）\）-函数近似）和Morrey空间容量的概念。
用同样的方法，作者还研究了（W^{1,2}）-极小型泛函的局部奇异集（这里使用求和对流）（mathcal{J}（u，Omega）=int_\Omega A{ij}^{kl}（x，u）u{x_k}^iu^J{x_l}），其中系数（A{ij}^kl}\）是有界的，Hölder连续的，形式为（A_{ij}^{kl}（x，u）=g_{ij}（x，u）g^{kl}（x）\）。此外，它们还满足某些（A_0>0）的对称条件（A_{ij}^{kl}（x，u）=A_{ji}^{lk}（x，u））和椭圆性条件（A_（ij}^{kl}（x,u）\xi_k^i\xi_l^i\geqa_0|\xi|^2）。
特别地，作者证明了如果（W^{1,2}中的u）是\（mathcal{J}（u，\Omega）\）的极小值，那么对于\（\Omega\）中的任何紧集\（B），则为\（L^{2,2}（B）中的（|\nablau|\）。因此，此类极小元的所有局部奇异集都具有Hausdorff维数零。
最后一个结果是关于调和映射的能量泛函从（mathbb{B}^n）到（mathbb2{S}^m-1}）的极小值（u:mathbb}B}^n\rightarrow\mathbb[S}^{m-1}\）的所有不连续点的集合（（u，mathbb_2B}^）。这里，（mathbb{B}^n）是（mathbb{R}^n，）的单位球，而（mathbb2{S}^{m-1}，）是（mathbb{R}，m）的单位球体。作者证明了以下身份\[\mathrm{sing}（u，\mathbb{B}^n）=\{x\in\mathbb{B}^n:\int_{mathbb}B}^n}|x-y|^{1-n}|\frac{\partial}{\partityy}u（y）|=\infty\}\]它建立了（u）的有界奇点和（frac{部分}{部分x}u）范数的（1）-Riesz势的无界间断之间的对应关系。
审核人：乔瓦尼·阿内洛（墨西拿）

引用于2文件

MSC公司：

35J48型 高阶椭圆系统
42B37型 谐波分析和偏微分方程

关键词：

调和图;Hausdorff维数;局部奇异集;Meyers-Elcrat系统;莫里空间;莫里势;莫里容量

引文：

Zbl 0347.35039号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.R.Adams}和\textit{J.Xiao}，Commun。部分差异。等式38，编号7--91256--1273（2013；Zbl 1281.35027）
全文： 内政部 arXiv公司

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