克劳迪娅·劳滕萨克;谢尔盖·祖耶夫 随机拉盖尔细分。 （英语） Zbl 1154.60011号 高级申请。普罗巴伯。 40，第3号，630-650（2008）. 随机细分广泛用于模拟从有机组织到电信网络再到宇宙起源的自然细胞结构。也许最流行的模型是\（{mathbb R}^d\）中的Voronoi细分，它由一组最多可数的不同“生成器”点或核定义（\varphi=\{x_1，x_2，\dots\}\子集{mathbbR}^1\），如下所示。对于每一个\（x_i\ in \varphi\），都有一个关联的单元格\（C（x_i，\varphi）\），它由\（{mathbb R}^d\）的点组成，这些点与\（x_ i\）比其他任何一个（x_j\ in \varphi\）更接近。作为半空间的交集，所有单元格都是非空的多面体，通常称为单元格的中心或质心（C_i=C（x_i，\varphi）），这意味着单元格和（\varphi\）之间存在一对一的对应关系。在核集合是随机点过程（Phi）的情况下，细分（C（x，Phi）：x\In\Phi\}）成为随机对象，通常通过细胞边界的随机闭合集来描述。特别是，当（Phi）是齐次泊松过程时，我们称之为泊松-沃罗尼细分。非随机和随机Voronoi细分都有大量结果。在专著中可以找到对这些问题的全面描述[A.Okabe、B.Boots、K.Sugihara和S.N.Chiu先生《空间镶嵌——Voronoi图的概念和应用》，第二版，John Wiley，Chichester（2000；Zbl 0946.68144号)].尽管Voronoi镶嵌被证明在建模许多自然现象时非常有用，但在某些情况下，它们可能仍然过于严格。特别是，细胞的几何形状完全取决于核之间的相互位置和距离。在这方面，所有的原子核都具有相同的“重量”。但我们也可以设想当不同的核具有不同的“能量”时的实际情况，以便更强大的核具有更大的单元。这个想法导致用一个权力距离。也就是说，如果每个细胞核\（x_i）都有一个相关的重量\ \欧米茄\）。如果\（ω\）为正，则它确实是点\（y \）相对于以\（x \）为中心半径的球体\（s（x，r）\的幂，因此得名。在本文中，作者考虑了正权重的情况，并用这些半径（r_i）而不是用（ω_i）标记原子核（x_i）。这些细分通常称为权力细分。然而，同义词拉盖尔还建立了细分。很明显，当所有权重都相同时，拉盖尔细分就是沃罗诺伊细分。当所有的权重都不相同时，与沃罗诺伊情况仍有很大的相似性：细胞都是多面体，并且在对细胞核施加一般位置类型的一些温和的规则性假设下，拉盖尔镶嵌也是如此正常的即，每个（k）维面正好位于（d-k+1）单元的交点处（顶点是零维面）。但也有差异，最引人注目的可能是，细胞核可能不包含在其细胞中，而拉盖尔细胞可能是空的。因此，对于拉盖尔细分，细胞核和细胞质心的概念是不同的。作者首次对随机拉盖尔镶嵌进行了系统研究。其余部分的内容如下。第2节包含了细分的符号和形式定义，它们的一般属性，以及它们的力矩特性。第三节研究拉盖尔细分的重要拓扑性质。作者指出，带有凸单元的（d\geq3）的\（{mathbbR}^d\）的每一个正规细分都是拉盖尔细分。第4节集中讨论泊松-拉盖尔细分。第五节给出了研究拉盖尔细分到Voronoi细分收敛性的一些极限结果。最后，在第6节中给出了平面情况下的一般表达式。给出了公式，并对一些示例进行了数值评估。特别是，可以明确评估单元格为空的概率。审核人：Viktor Oganyan（埃雷万） 引用于32文件 MSC公司： 60D05型 几何概率与随机几何 60G55型 点过程（例如，泊松、考克斯、霍克斯过程） 62立方米 空间过程推断 05B45号 镶嵌和平铺问题的组合方面 52A22型 随机凸集和积分几何（凸几何的方面） 62H11型 定向数据；空间统计学 关键词：增强细分;加权Voronoi细分;\（k）-面密度;泊松过程 引文：Zbl 0946.68144号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Lautensack}和\textit{S.Zuyev}，高级应用程序。普罗巴伯。40，第3号，630--650（2008；Zbl 1154.60011） 全文： 内政部 参考文献： [1] Ash，P.和Bolker，E.（1986年）。广义Dirichlet细分。Geometriae Dedicata德迪卡几何20、230–243·Zbl 0586.52011号 ·doi:10.1007/BF00164401 [2] Aurenhammer，F.（1987）。（R^d）中细胞复合体和（R^d+1）中凸多面体的仿射等价性的判据。离散计算几何2，49–64·Zbl 0608.52006 ·doi:10.1007/BF02187870 [3] Aurenhammer，F.（1987）。功率图：属性、算法和应用。SIAM J.计算。16, 78–96. ·Zbl 0616.52007号 ·数字对象标识代码：10.1137/0216006 [4] Barndorff Nielsen，O.，Kendall，W.和van Lieshout，M.（1999）。随机几何可能性和计算。查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿·Zbl 0935.62108号 [5] Baumstark，V.和Last，G.（2007年）。Poisson–Voronoi镶嵌的一些分布结果。高级申请。探针。39, 16–40. ·Zbl 1119.60004号 ·doi:10.1239/aap/1175266467 [6] Blaschke，W.（1929年）。Vorlesungenüber微分几何与几何Grundlagen von Einsteins相对论。施普林格，柏林。 [7] Boissonnat，J.-D.和Yvinec，M.（1998）。算法几何。剑桥大学出版社·Zbl 0917.68212号 [8] Coxeter，H.S.M.（1969年）。几何导论。约翰·威利，纽约·Zbl 0181.48101号 [9] Fischer，W.、Koch，E.和Hellner，E.（1971）。Zur Berechnung von Wirkungsbereichen在《Strukturen anorganischer Verbingengen》中。Neues Jahrbuch für Mineralogie Monatsheft 1971年，227–237年。 [10] Heinrich，L.（1998）。静态Voronoi细分的接触和弦长分布。高级申请。探针。30303–618年·Zbl 0922.60020号 ·doi:10.1239/aap/1035228118 [11] Imai，H.、Iri，M.和Murota，K.（1985年）。拉盖尔几何中的Voronoi图及其应用。SIAM J.计算。14, 93–105. ·Zbl 0556.68038号 ·数字对象标识代码：10.1137/0214006 [12] Lautensack，C.（2007）。随机拉盖尔细分。劳滕萨克、韦勒·贝·宾根。可在http://www.itwm.fhg.de/bv/theses/works/lautensack。 ·Zbl 1154.60011号 ·doi:10.12239/ap/1222868179 [13] Mecke，J.（1984）。平稳随机拼接平均值的参数表示。数学。运营商。统计师。序列号。统计师。3, 437–442. ·Zbl 0547.60019号 ·网址：10.1080/0233188840801794 [14] Miles，R.E.（1971）。各向同性随机单体。高级申请。探针。353–382之间。JSTOR公司：·Zbl 0237.60006号 ·doi:10.2307/1426176 [15] Molchanov，I.（2005）。随机集理论。柏林施普林格·Zbl 1109.60001号 [16] Möller，J.（1989）。\（\R^d\）中的随机细分。高级申请。探针。21, 37–73. ·Zbl 0684.60007号 ·doi:10.2307/1427197 [17] Möller，J.（1992）。Random Johnson–Mehl细分。高级申请。探针。24, 814–844. JSTOR公司：·Zbl 0768.60014号 ·doi:10.2307/1427714 [18] Möller，J.（1994）。随机Voronoi细分讲座（讲义统计.87）。纽约州施普林格·兹伯利0812.60016 [19] Muche，L.和Stoyan，D.（1992年）。Poisson–Voronoi细分的接触和弦长分布。J.应用。探针。29, 467–471. JSTOR公司：·Zbl 0753.60019号 ·doi:10.2307/3214584 [20] Okabe，A.、Boots，B.、Sugihara，K.和Chiu，S.N.（2000年）。空间镶嵌——Voronoi图的概念和应用，第2版。奇切斯特约翰·威利·Zbl 0946.68144号 [21] Schlottmann，M.（1993）。周期和准周期拉盖尔贴片。国际。现代物理学杂志。公元71351年至1363年·Zbl 0798.52030号 ·doi:10.1142/S021797929302365 [22] Schneider，R.（1993）。凸体：Brunn-Minkowski理论。剑桥大学出版社·Zbl 0798.52001号 [23] Schneider，R.和Weil，W.（1992年）。积分几何。斯图加特，图布纳·Zbl 0762.52001号 [24] Schneider，R.和Weil，W.（2000年）。随机几何。莱比锡，图布纳·Zbl 0964.52009 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。