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曼珠尔·巴加瓦;阿鲁尔山卡尔

具有有界不变量的二元四次型和椭圆曲线平均秩的有界性。 （英语） Zbl 1307.11071号

安。数学。(2) 181，第1期，191-242（2015）.
本文证明了（mathbb{Q}）上椭圆曲线的平均秩是有界的。更准确地说，考虑曲线\[E_｛A，B｝：\，y^2=x^3+Ax+B\]对整数系数（A，B）进行了规范化，使得（A^3）和（B^2）没有重要的公共12次幂因子。集合\（H（E_{A，B}）：=\最大值（4|A|^3\，，\，27B^2）\）。然后\[\limsup_{X\rightarrow\infty}\frac{\sum_{H（E_{A，B}）\leqX}\mathrm{Rank}。\]这一结果直接来源于关于2-Selmer组平均大小的断言：\[\和（E_{A，B}）\]作为\（X\rightarrow\infty\）。事实上，当一个人通过任何有限的同余条件集，甚至是一个包含无限多个同余条件的合适的自然集来限制系数（A）和（B）时，情况也是如此。
证明通过计算二元四次型（f（x，y）=ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4）来处理2-Selmer群，使得曲线（f（x，y）=z^2）在局部处处有点。为了将这种形式（f）与带（H（E_{A，B}）的椭圆曲线联系起来，我们计算了不变量（I（f），J（f））满足（H（I，J）：=max（|I|^3，J^2/4）leq Y）的形式，其中可以再次对（f）施加额外的同余条件。这种同余条件允许考虑局部可解性约束。写下\（\mathrm）下等价类的数量\（h^{（j）}（I，j）\）{德国}_2（f）形式的（mathbb{Z}）具有不变量（I）和（J），并且具有精确的实根。然后举例说明\[\sum_{H（I，J）\leqX}H^{（0）}（I，J）=\frac{4}{135}\zeta（2）X^{5/6}+O（X^{3/4+\varepsilon}），\]对于任何固定的\（\varepsilon>0\）。其他计数函数（h^{（j）}（I，j））和形式（f）上有同余限制的情况也有类似的结果。
二元四次型的等价类是通过为\（\mathrm的作用生成一个合适的基本域来计算的{德国}_2（\mathbb{Z}）\）。然而，这个基本域是无界的，所以在它的扩张中计算整数点并不简单。这一困难是通过使用第一作者早期作品【Ann.Math.（2）162，No.2，1031–1063（2005；兹比尔1159.11045); 同上，172，第3号，1559–1591（2010年；Zbl 1220.11139号)].
审核人：D.R.Heath-Brown（牛津）

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MSC公司：

11G05号 全局场上的椭圆曲线
11亿欧元 二级以上学位形式
11第21页 指定区域中的晶格点

关键词：

椭圆曲线;等级;平均的;有界：Selmer群;二元四次型;不变性

引文：

Zbl 1159.11045号;Zbl 1220.11139号

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\textit{M.Bhargava}和\textit{A.Shankar}，Ann.数学。（2） 181，第1号，191--242（2015；Zbl 1307.11071）
全文： 内政部 arXiv公司

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