Lee，Seungjoon先生;普萨雷利斯，约戈斯M。;锡埃托斯，君士坦丁诺一世。;Ioannis G.凯夫雷基迪斯。 从基于代理的蒙特卡罗模拟数据中学习黑盒和灰盒趋化PDEs/闭包。 （英语） Zbl 1521.92007年 数学杂志。生物。 87，第1号，第15号论文，28页（2023年）. 摘要：我们提出了一个机器学习框架，用于从高保真度、基于个体的随机模拟中数据驱动地发现宏观趋化偏微分方程（PDE）——以及导致它们的闭包大肠杆菌细菌运动性。精细尺度、化学机械、混合（连续体-蒙特卡罗）模拟模型体现了潜在的生物物理，其参数来自单个细胞的实验观察。使用一组节省的集体观测值，我们使用机器学习回归器学习有效的粗粒度“Keller-Segel类”趋化性PDE：（a）（浅层）前馈神经网络和（b）高斯过程。学习到的定律可以是黑盒子（假设事先不了解PDE法律结构）或灰盒当方程的部分（例如纯扩散部分）已知并且在回归过程中“硬连接”时。更重要的是，我们讨论数据驱动更正（添加剂和功能性），分析已知，近似闭包。 引用于三文件 MSC公司： 92-08 生物学相关问题的计算方法 65二氧化碳 蒙特卡罗方法 65立方米 随机微分和积分方程的数值解 92年第35季度 与生物、化学和其他自然科学相关的PDE 35兰特 PDE的反问题 37N25号 生物学中的动力系统 68T05型 人工智能中的学习和自适应系统 92立方厘米 细胞运动（趋化性等） 关键词：反问题;偏微分方程;机器学习;随机模拟;趋化性;数值分析;多尺度方法 软件：代理单元格;亚当;TensorFlow公司;火炬差异 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Lee}等人，J.Math。生物学87，第1期，第15号论文，28页（2023年；Zbl 1521.92007年） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Abadi M、Agarwal A、Barham P、Brevdo E、Chen Z、Citro C、Corrado GS、Davis A、Dean J、Devin M、Ghemawat S、Goodfellow I、Harp A、Irving G、Isard M、Jia Y、Jozefowicz R、Kaiser L、Kudlur M、Levenberg J、ManéD、Monga R、Moore S、Murray D、Olah C、Schuster M、Shlens J、Steiner B、Sutskever I、Talwar K、Tucker P、Vanhoucke V、Vasudevan V、Vi gas F、，Vinyals O，Warden P，Wattenberg M，Wicke M，Yu Y，Zheng X（2015）TensorFlow：异构系统上的大规模机器学习，可从TensorFlow.org获取软件。https://www.tensorflow.org/ [2] Adler，J.，《细菌中的化学感受器》，《科学》，166，3913，1588-1597（1969）·doi:10.1126/science.166.3913.1588 [3] 亚历山大（Alexandridis），A。；Siettos，C。；Sarimveis，H。；Boudouvis，A。；Bafas，G.，使用Kohonen的神经网络、模糊系统和Chebyshev级数进行非线性过程动力学建模，计算化学工程，26，4-5，479-486（2002）·doi:10.1016/S0098-1354（01）00785-2 [4] Ansumali S、Frouzakis CE、Karlin IV、Kevrekidis IG（2005）《探索盖驱动微腔的流体动力封闭》。arXiv：统计力学 [5] 阿巴比，H。；Kevrekidis，IG，粒子到偏微分方程的简约性，混沌交叉J非线性科学，31，30333137（2021）·数字对象标识代码：10.1063/5.0037837 [6] 贝克，A。；弗拉德，D。；Munz，C-D，数据驱动LES闭合模型的深度神经网络，计算物理杂志，398（2019）·doi:10.1016/j.jcp.2019.108910 [7] 北卡罗来纳州贝洛莫。；Bellouquid，A。；Nieto，J。；Soler，J.，多细胞生长系统的多尺度生物组织模型和通量限制趋化性，数学模型方法应用科学，20，7，1179-1207（2010）·Zbl 1402.92065号 ·doi:10.1142/S0218202510004568 [8] Bellomo N、Outada N、Soler J、Tao Y、Winkler M（2022）《复杂环境中的趋化和交叉扩散模型：面向多尺度视觉的模型和分析问题》。数学模型方法应用科学1-80·Zbl 1497.35039号 [9] 伯格，HC；Brown，DA，《通过三维追踪分析大肠杆菌的趋化性》，《自然》，2395374500-504（1972）·doi:10.1038/239500a0 [10] 伯格，HC；特纳，L.，玻璃毛细管阵列中细菌的趋化性，大肠杆菌，运动性，微通道板和光散射，生物物理杂志，58，4，919-930（1990）·doi:10.1016/S0006-3495（90）82436-X [11] Bertalan，T。；迪特里希，F。；Mezić，I。；Kevrekidis，IG，《从数据中学习哈密顿系统》，《混沌间盘J非线性科学》，29，12，121107（2019）·doi:10.1063/1.5128231 [12] 区块，SM；杰·西格尔（JE Segall）；Berg，HC，细菌趋化性的脉冲反应，细胞，31，1，215-226（1982）·doi:10.1016/0092-8674（82）90421-4 [13] 区块，SM；杰·西格尔（JE Segall）；Berg，HC，细菌趋化性的适应动力学，细菌学杂志，154，1，312-323（1983）·doi:10.1128/jb.154.1.312-323.1983 [14] Bowman AW，Azzalini A（1997）《数据分析应用平滑技术：带S-Plus插图的核方法》，第18卷。牛津大学OUP·Zbl 0889.62027号 [15] A.博伊德。；克里科斯，A。；Simon，M.，大肠杆菌的感官传感器由同源基因编码，Cell，26，3，333-343（1981）·doi:10.1016/0092-8674（81）90202-6 [16] 布鲁顿，SL；普克托，JL；Kutz，JN，通过非线性动力学系统的稀疏识别从数据中发现控制方程，美国国家科学院院刊，113，153932-3337（2016）·Zbl 1355.94013号 ·doi:10.1073/pnas.1517384113 [17] Chavanis，P-H，非线性平均场Fokker-Planck方程。《生物种群趋化性的应用》，《欧洲物理杂志》B，62，2，179-208（2008）·Zbl 1189.35335号 ·doi:10.1140/epjb/e2008-00142-9 [18] Chen RTQ，Rubanova Y，Bettencourt J，Duvenaud D（2019）神经常微分方程。arXiv:1806.07366号 [19] Chen，T。；Chen，H.，具有任意激活函数的神经网络对非线性算子的通用逼近及其在动力系统中的应用，IEEE Trans neural Netw，6，4，911-917（1995）·doi:10.1109/72.392253 [20] 陈，Y。；侯赛尼，B。；奥瓦迪，H。；Stuart，AM，用高斯过程求解和学习非线性偏微分方程，计算物理杂志，447（2021）·Zbl 07516428号 ·doi:10.1016/j.jcp.2021.110668 [21] 陈，Z。；丘吉尔，V。；Wu，K。；Xiu，D.，节点空间中未知偏微分方程的深度神经网络建模，计算物理杂志，449（2022）·Zbl 07524779号 ·doi:10.1016/j.jcp.2021.110782 [22] Cluzel，P。；苏雷特，M。；Leibler，S.，通过监测单个细胞中的信号蛋白揭示的一种超敏细菌运动，《科学》，28754581652-1655（2000）·doi:10.1126/science.287.5458.1652 [23] 科本，L。；Cerone，L。；托尼，C。；Couzin，身份证；Neufeld，Z.，触觉相互作用导致迁移细胞的连贯运动和增强趋化性，《物理生物学》，10，4（2013）·doi:10.1088/1478-3975/10/4/046002 [24] J·多曼德。；Prince，P.，嵌入式Runge-Kutta公式家族，《计算应用数学杂志》，6，1，19-26（1980）·Zbl 0448.65045号 ·doi:10.1016/0771-050X（80）90013-3 [25] Dsilva CJ，Talmon R，Coifman RR，Kevrekidis IG（2018）通过流形学习对非线性动力系统的简约表示：趋化性案例研究。应用计算和谐分析44（3）：759-773。doi:10.1016/j.acha.2015.06.008·兹比尔1390.68523 [26] Duraisamy，K。；艾卡里诺，G。；Xiao，H.，《数据时代的湍流建模》，《流体力学年鉴》，51，1，357-377（2019）·Zbl 1412.76040号 ·doi:10.1146/annurev-fluid-010518-040547 [27] 埃莫内，T。；Macal，CM；北部，MJ；Wickersham，CE；Cluzel，P.，Agentcell:细菌趋化性的数字单细胞分析，生物信息学，21，11，2714-2721（2005）·doi:10.1093/bioinformatics/bti391 [28] Erban，R。；Othmer，HG，《细菌趋化性中从个体到集体的行为》，SIAM应用数学杂志，65，2，361-391（2004）·Zbl 1073.35116号 ·doi:10.137/S0036139903433232 [29] Erban，R。；Othmer，HG，变形虫细胞的Taxis方程，《数学生物学杂志》，54，6，847-885（2007）·Zbl 1148.92003号 ·doi:10.1007/s00285-007-0070-1 [30] Erban，R。；Kevrekidis，IG；Othmer，HG，《从基于个体的生物传播模型中提取种群级行为的无方程计算方法》，Physica D，215，1，1-24（2006）·Zbl 1094.35127号 ·doi:10.1016/j.physd.2006.01.008 [31] Erban，R。；TA Frewen；王，X。；TC Elston；科伊夫曼，R。；纳德勒，B。；Kevrekidis，IG，《随机模型的无变量探索：基因调控网络示例》，《化学物理杂志》，126，15，04B618（2007）·doi:10.1063/1.2718529 [32] Franz B、Erban R（2013），个人运动和集体行为的混合建模。在：扩散，个体运动和空间生态。施普林格，第129-157页·Zbl 1347.92111号 [33] Galaris，E。；法比亚尼，G。；加洛斯，I。；Kevrekidis，我。；Siettos，C.，格子Boltzmann模型模拟偏微分方程的数值分叉分析：一种简约的机器学习方法，J Sci-Comput，92，2，34（2022）·Zbl 1490.65184号 ·doi:10.1007/s10915-022-01883-y [34] Gonzalez-Garcia，R。；Rico-Martinez，R。；Kevrekidis，I.，分布式参数系统的识别：一种基于神经网络的方法，Comput Chem Eng，22，S965-S968（1998）·doi:10.1016/S0098-1354（98）00191-4 [35] Gorban AN、Kevrekidis IG、Theodoropoulos C、Kazantzis NK、Øttinger HC（Eds.）（2006）多尺度现象的模型简化和粗粒度方法。柏林施普林格doi:10.1007/3-540-35888-9·Zbl 1129.82005年 [36] 海特，B。；Tarede，S。；Raharjo，E。；Kubes，P.，《细胞内信号层次决定了反向趋化梯度的迁移方向》，《细胞生物学杂志》，159，1，91-102（2002）·doi:10.1083/jcb.200202114 [37] Ho KKY、Srivastava S、Kinnunen PC、Garikipati K、Luker GD、Luker KE（2023）振荡ERK信号和形态学通过MEK-ERK和p38-MAPK信号通路确定乳腺癌细胞趋化性的异质性。生物工程10（2）。doi:10.3390/生物工程10020269 [38] 石原慎太郎。；杰·西格尔（JE Segall）；区块，SM；Berg，HC，大肠杆菌丝状细胞上鞭毛的协调，细菌杂志，155，1，228-237（1983）·doi:10.1128/jb.155.1.228-237.1983 [39] 伊斯卡科夫，AS；新泽西州丁市；Chen，E.，神经网络与闭合模型开发PDE数值解的集成，Phys Lett A，406（2021）·Zbl 07411271号 ·doi:10.1016/j.physleta.2021.127456 [40] 江，Y。；Kolehmainen，J。；顾毅。；Kevrekidis，YG；Ozel，A。；Sundaresan，S.，《基于神经网络的气粒流过滤阻力模型》，《粉末技术》，346403-413（2019）·doi:10.1016/j.powtec.2018.11.092 [41] A.卡马特。；巴尔加斯·埃尔南德斯，RA；克雷姆斯，RV；卡林顿，T。；Manzhos，S.，代表势能表面的神经网络与高斯过程回归：拟合质量和振动光谱精度的比较研究，化学物理杂志，148，24（2018）·doi:10.1063/1.5003074 [42] 通用电气公司Karniadakis；Kevrekidis，IG；卢，L。；佩迪卡里斯，P。；王，S。；Yang，L.，《基于物理的机器学习》，Nat Rev Phys，3，6，422-440（2021）·doi:10.1038/s42254-021-00314-5 [43] 凯勒，EF；Segel，LA，趋化性模型，《Theor生物学杂志》，30，2，225-234（1971）·Zbl 1170.92307号 ·doi:10.1016/0022-5193（71）90050-6 [44] Kemeth，FP；Bertalan，T。；Thiem，T。；迪特里希，F。；月亮，SJ；赖恩，CR；Kevrekidis，IG，在学习出射空间中学习出射偏微分方程，Nat Commun，13，1，3318（2022）·doi:10.1038/s41467-022-30628-6 [45] Kim，I。；Yao，Y.，Patlak-Keller-Segel模型及其变体：通过最大值原理求解的性质，SIAM J Math Anal，44，2568-602（2012）·Zbl 1261.35080号 ·doi:10.1137/10823584 [46] Kingma DP，Ba J（2014）Adam：一种随机优化方法。doi:10.48550/ARXIV.1412.6980 [47] Kocijan，J。；Girard，A。；班戈，B。；Murray-Smith，R.，用高斯过程识别动态系统，数学计算模型动态系统，11，4，411-424（2005）·Zbl 1122.93081号 ·数字对象标识代码：10.1080/13873950500068567 [48] Krischer，K。；Rico-Martinez，R。；Kevrekidis，我。；Rotermund，H。；Ertl，G。；Hudson，J.，时空变化催化反应的模型识别，AIChE J，39，1，89-98（1993）·doi:10.1002/aic.690390110 [49] Larsen，SH；读卡器，RW；科特，EN；Tso，W-W；Adler，J.，鞭毛旋转方向的改变是大肠杆菌趋化反应的基础，《自然》，249，5452，74-77（1974）·doi:10.1038/249074a0 [50] LeCun，Y。；Bengio，Y.，图像、语音和时间序列的卷积网络，255-258（1998），剑桥：麻省理工学院出版社，剑桥 [51] Lee，S。；迪特里希，F。；通用电气公司Karniadakis；Kevrekidis，IG，将高斯过程回归与数据驱动流形嵌入相结合，用于非线性数据融合，界面焦点，9，3，20180083（2019）·doi:10.1098/rsfs.2018.0083 [52] Lee，S。；Kooshkbaghi，M。；脊柱炎，K。；锡耶托斯，CI；Kevrekidis，IG，通过机器学习从精细尺度观测中获得的粗尺度偏微分方程，混沌间盘J非线性科学，30，1，013141（2020）·doi:10.1063/1.5126869 [53] Lee K，Hernández AM，Stewart DS，Lee S（2021）凝聚相炸药的数据驱动混合状态方程。燃烧理论模型1-23·Zbl 1519.80250号 [54] 李，J。；凯夫雷基迪斯，PG；齿轮，顺时针；Kevrekidis，IG，通过微观模拟确定粗略方程的性质：婴儿洗澡水方案，多尺度模型模拟，1，3，391-407（2003）·Zbl 1031.65019号 ·doi:10.1137/S1540345902419161 [55] 刘杰。；帕金森，JS，咀嚼蛋白在将膜受体偶联到细菌趋化性细胞内信号系统中的作用，国家科学院学报，86，22，8703-8707（1989）·doi:10.1073/pnas.86.22.8703 [56] 刘凯。；李毅。；胡，X。；卢库，M。；Widanage，WD，用于锂离子电池日历老化预测的高斯过程回归，IEEE Trans Industr Inf，16，6，3767-3777（2019）·doi:10.1109/TII.2019.2941747 [57] 麦凯，DJ，贝叶斯插值，神经计算，4，3，415-447（1992）·Zbl 0833.62006号 ·doi:10.1162/neco.1992.4.3.415 [58] Maeda，K。；伊玛，Y。；Shioi，J-I；Oosawa，F.，温度对大肠杆菌运动性和趋化性的影响，细菌杂志，127，3，1039-1046（1976）·doi:10.1128/jb.127.3.1039-1046.1976 [59] 马萨里，旧金山；恰西亚科斯股份有限公司；考基，TK，《使用神经网络识别非线性动态系统》，《应用力学杂志》，60，1，123-133（1993）·数字对象标识代码：10.1115/12900734 [60] Nash，J.，用分析数据分析隐函数问题的解，《数学年鉴》，84，3，345-355（1966）·Zbl 0173.09202号 ·doi:10.2307/1970448 [61] Othmer，HG；Schaap，P.，盘基网柄菌发育中的振荡阵营信号传导，Theor Biol评论，5175-282（1998） [62] Othmer，HG；Xin，X。；Xue，C.，细菌中的激发和适应——一种控制趋化和空间格局形成的模型信号转导系统，国际分子科学杂志，14，5，9205-9248（2013）·doi:10.3390/ijms14059205 [63] Painter，KJ，趋化性的数学模型及其在自组织现象中的应用，Theor Biol，481，162-182（2019）·Zbl 1422.92025 ·doi:10.1016/j.jtbi.2018.06.019 [64] 潘，S。；Duraisamy，K.，数据驱动的闭合模型发现，SIAM J Appl Dyn Syst，17，4，2381-2413（2018）·Zbl 1411.70023号 ·doi:10.1137/18M1177263 [65] 教区，EJ；Duraisamy，K.，《使用场反演和机器学习的数据驱动预测建模范式》，《计算物理杂志》，305758-774（2016）·Zbl 1349.76006号 ·doi:10.1016/j.jcp.2015.11.012 [66] 大肠杆菌的帕金森、JS、cheA、cheB和cheC基因及其在趋化性中的作用，细菌杂志，126，2，758-770（1976）·doi:10.1212/jb.126.2.758-7701976 [67] 帕金森，JS，影响大肠杆菌趋化性信号成分的新突变，细菌杂志，142,3953-961（1980）·doi:10.1128/jb.142.3.953-961.1980 [68] Pathak J、Mustafa M、Kashinath K、Motheau E、Kurth T、Day M（2020）使用机器学习增强粗网格计算流体动力学模拟。doi:10.48550/ARXIV.2010.00072 [69] Patlak，CS，《对生物定向研究的数学贡献》，《公牛数学生物学》，第15、4、431-476页（1953年）·doi:10.1007/BF02476435 [70] 佩迪卡里斯，P。；莱斯，M。；Damianou，A。；劳伦斯，ND；通用电气公司Karniadakis，《用于数据高效多保真建模的非线性信息融合算法》，Proc R Soc A Math Phys Eng Sci，473，2198，20160751（2017）·Zbl 1407.62252号 [71] Psarellis YM、Lee S、Bhattacharjee T、Datta SS、Bello-Rivas JM、Kevrekidis IG（2022）通过机器学习发现细菌趋化迁移的数据驱动。doi:10.48550/ARXIV.2208.11853 [72] 秦，T。；Wu，K。；Xiu，D.，使用深度神经网络的数据驱动控制方程近似，《计算物理杂志》，395，620-635（2019）·Zbl 1455.65125号 ·doi:10.1016/j.jcp.2019.06.042 [73] 莱斯，M。；Karniadakis，GE，《隐藏物理模型：非线性偏微分方程的机器学习》，《计算物理杂志》，357125-141（2018）·Zbl 1381.68248号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.11.039 [74] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，GE，使用高斯过程的线性微分方程机器学习，计算物理杂志，348，683-693（2017）·Zbl 1380.68339号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.07.050 [75] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，GE，Physics-informated neural networks:a deep learning framework for solving forward and inverse problems including normal partial differential determination，J Comput Physis，378，686-707·Zbl 1415.68175号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.10.045 [76] Rao C，Ren P，Liu Y，Sun H（2022）利用物理编码学习从稀缺数据中发现非线性偏微分方程。arXiv:2201.12354 [77] Rasmussen CE，Williams CKI（2005）机器学习的高斯过程（自适应计算和机器学习）。麻省理工学院出版社 [78] Rasmussen CE，Williams CKI（2006）机器学习的高斯过程。麻省理工学院出版社·Zbl 1177.68165号 [79] Rico-Martinez，R。；Krischer，K。；Kevrekidis，我。；Kube先生。；Hudson，J.，铜电解溶解数据的离散与连续非线性信号处理，化学工程通讯，118，1，25-48（1992）·网址：10.1080/00986449208936084 [80] Rico-Martinez R，Anderson J，Kevrekidis I（1994），连续时间非线性信号处理：基于神经网络的灰盒识别方法。收录：IEEE信号处理神经网络研讨会论文集。IEEE，第596-605页 [81] 罗塞特，M。；Samaey，G.，用渐近方差减少模拟基于个体的细菌趋化性模型，数学模型方法应用科学，23，12，2155-2191（2013）·Zbl 1291.35417号 ·doi:10.1142/S0218202513500292 [82] Sandhu，R。；佩蒂特，C。；哈利勒，M。；波雷尔，D。；Sarkar，A.，使用非线性动力系统的自动相关性确定进行贝叶斯模型选择，计算方法应用机械工程，320，237-260（2017）·Zbl 1439.62087号 ·doi:10.1016/j.cma.2017.01.042 [83] 萨卡尔，MK；Paul，K。；Blair，D.，趋化信号蛋白CheY与转子蛋白FliN结合以控制大肠杆菌鞭毛旋转方向，《国家科学院学报》，107，20，9370-9375（2010）·doi:10.1073/pnas.1000935107 [84] 比利时沙夫；法赫纳，KA；特纳，L。；Berg，HC，《细菌趋化性中鞭毛旋转方向的控制》，《国家科学院学报》，95,1201-206（1998）·doi:10.1073/pnas.95.1.201 [85] 西格尔，洛杉矶；Goldbeter，A。；Devreotes，PN；Knox，BE，基于受体修饰的精确感觉适应机制，《Theor Biol杂志》，120，2，151-179（1986）·doi:10.1016/S0022-5193（86）80171-0 [86] 塞塔耶什加，S。；齿轮，顺时针；Othmer，HG；Kevrekidis，IG，粗积分在细菌趋化性中的应用，多尺度模型模拟，4，1307-327（2005）·Zbl 1082.92012年 ·数字对象标识代码：10.1137/030600874 [87] Sheriffdeen S、Ragusa JC、Morel JE、Adams ML、Bui-Thanh T（2019）利用深度学习和降阶模型加速PDE约束逆解。arXiv:1912.08864 [88] Siettos，C.，细菌运动蒙特卡罗模拟集体动力学的粗粒度计算稳定性分析和加速，Appl Math Comput，232836-847（2014）·Zbl 1410.92007年 [89] 锡耶托斯，CI；Bafas，GV，使用模糊控制和奇异摄动方法的非线性系统的半全局镇定，模糊集系统，129,3275-294（2002）·Zbl 1013.93034号 ·doi:10.1016/S0165-0114（01）00136-1 [90] 锡耶托斯，CI；巴法斯，GV；Boudouvis，AG，用于控制和非线性系统识别的模糊系统的截断切比雪夫级数近似，模糊集系统，126，1，89-104（2002）·兹比尔1002.93526 ·doi:10.1016/S0165-0114（01）00124-5 [91] 宾夕法尼亚州斯皮罗；帕金森，JS；Othmer，HG，细菌趋化性的激发和适应模型，国家科学院学报，94，14，7263-7268（1997）·doi:10.1073/pnas.94.14.7263 [92] 拍摄，F。；兰德·D。；Young，L-S，《探测湍流中的奇怪吸引子，动力系统和湍流》，沃里克1980年，366-381（1981），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 0513.58032号 ·doi:10.1007/BFb0091924 [93] 田纳西州蒂姆；Kemeth，FP；Bertalan，T。；赖恩，CR；Kevrekidis，IG，交互异质主体的全局和局部简化模型，混沌间盘J非线性科学，31，7，073139（2021）·doi:10.1063/5.0055840 [94] 廷德尔，MJ；波特，S。；Maini，P。；Gaglia，G。；Armitage，JP，《用于模拟细菌趋化性的数学方法概述I：单细胞》，《公牛数学生物学》，70，6，1525-1569（2008）·Zbl 1166.92008号 ·doi:10.1007/s11538-008-9321-6 [95] 廷德尔，MJ；缅因州，PK；SL波特；Armitage，JP，用于模拟细菌趋化性的数学方法概述II：细菌种群，Bull Math Biol，70，61570（2008）·Zbl 1209.92006年9月 ·doi:10.1007/s11538-008-9322-5 [96] 特纳，L。；SR卡普兰；Berg，HC，细菌鞭毛运动的温度诱导切换，生物物理学J，71，42227-2233（1996）·doi:10.1016/S0006-3495（96）79425-0 [97] 弗拉查斯，PR；再见，W。；万，ZY；皂甙，TP；Koumoutsakos，P.，《长短期记忆网络高维混沌系统的数据驱动预测》，Proc R Soc A Math Phys Eng Sci，474，2213，20170844（2018）·Zbl 1402.92030 [98] 弗拉查斯，PR；帕塔克，J。；亨特，BR；皂甙，TP；Girvan，M。；Ott，E。；Koumoutsakos，P.，复杂时空动力学预测递归神经网络中的反向传播算法和水库计算，神经网络，126191-217（2020）·doi:10.1016/j.neunet.2020.02.016 [99] 弗拉查斯，PR；Arampatzis，G。；尤勒，C。；Koumoutsakos，P.，《通过学习有效动力学对复杂系统进行多尺度模拟》，《Nat Mach Intell》，第4、4、359-366页（2022年）·doi:10.1038/s42256-022-00464-w [100] 万，ZY；Sapsis，TP，混沌动力系统数据驱动概率预测的简化空间高斯过程回归，Physica D，345，40-55（2017）·Zbl 1380.37111号 ·doi:10.1016/j.physd.2016.12.005 [101] Whitney，H.，可微流形，《数学年鉴》，37，3，645-680（1936）·doi:10.2307/1968482 [102] Wu，K。；Xiu，D.，《使用数据近似控制方程的数值方面》，《计算物理杂志》，384200-221（2019）·Zbl 1451.65008号 ·doi:10.1016/j.jcp.2019.01.030 [103] Wu，K。；Xiu，D.，模态空间中偏微分方程的数据驱动深度学习，计算物理杂志，408（2020）·Zbl 07505629号 ·doi:10.1016/j.jcp.2020.109307 [104] 吴，M。；罗伯茨，JW；Kim，S。；科赫，DL；DeLisa，MP，《使用三维种群尺度散焦粒子追踪技术揭示的细菌动力学》，《应用环境微生物》，72，7，4987-4994（2006）·doi:10.1128/AEM.00158-06 [105] Xue，C.，细菌趋化性的宏观方程：细胞信号详细生物化学的整合，数学生物学杂志，70，1，1-44（2015）·Zbl 1375.92012年 ·doi:10.1007/s00285-013-0748-5 [106] Yang，L。；X孟。；Karniadakis，GE，B-PINNs:带噪声数据的正向和反向PDE问题的贝叶斯物理信息神经网络，计算物理杂志，425（2021）·Zbl 07508507号 ·doi:10.1016/j.jp.2020.109913 [107] Yasuda，S.，《动力学趋化模型的蒙特卡罗模拟：在流动人口波中的应用》，《计算物理杂志》，3301022-1042（2017）·Zbl 1378.92011年 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.10.066 [108] Zhang ZJ，Duraisamy K（2015）“数据驱动湍流建模的机器学习方法”。第22届AIAA计算流体动力学会议，美国航空航天学会。doi:10.2514/6.2015-2460。美国航空协会航空论坛 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。