朱利奥·齐拉奥洛;阿莱西奥·菲加利;阿尔贝托·朗科尼 凸锥中临界各向异性拉普拉斯方程的对称性结果。 （英语） Zbl 1453.35104号 地理。功能。分析。 30，第3号，770-803（2020）. 作者考虑了（mathbb{R}{n}）的范数（H），（n\geq2），使得（H^{2}）是类（C^{2{（mathbb{R}^n}\setminus），一致凸和（C^{1,1}）在（mathbb2}）中，是凸和开锥（Sigma）在（mathbb{）中R}^{n}\），写为\（\Sigma=\mathbb{R}^}\times\mathcal{C}\）、\（k\in\{0，\ldots，n\}\）并且（mathcal{C}\subset\mathbb{R}^{n-k}）是不包含直线的凸锥，各向异性（mathbb{R}^{n}）中的临界拉普拉斯方程：（mathrm{div}（a（nablau））+u^{p^{ast}-1}=0），（u>0），in（Sigma），其中（a（xi）=H^{p-1}（xi \）。将边界条件（a（nabla-u）\cdot\nu=0）施加在\（偏序\Sigma）上，假设解属于\（mathcal{D}^{1，p}（\Sigma-）=\{u\在L^{p^{ast}}（\ Sigma。本文的主要结果证明\[u（x）=u_{\lambda，x_{0}}^{H}\λ^{\frac{p}{p-1}}+H_0（x_{0}-x)^{\frac{p}{p-1}}\right）^{\frac{n-p}{p}}\]对于某些\（lambda>0\），\（x{0}\ in \Sigma\），其中\（H_{0}）表示与\（H\）相关联的对偶范数。此外，如果\（k=n），那么\（Sigma=\mathbb{R}^{n}）和\（x_{0}）可以是\（mathbb}R}^}）中的一个泛型点，如果\}=\mathcal{O}\）。当（Sigma=mathbb{R}^{n}）和（H）是欧几里德范数时，这个结果已经被不同的作者证明了。作者首先证明了u是有界的，并且在无穷远处满足一定的衰减估计。利用Caccioppoli型不等式，他们证明了某些涉及u的高阶导数的积分的一些渐近估计。然后他们引入了函数（v=u^{frac{-p}{n-p}}），并导出了由（v）满足的椭圆方程。最后证明了（v）和（nabla v）在无穷远处满足显式增长条件，由此证明了（nabla-a（nablav））是单位矩阵的倍数，从而得到对称性结果。审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆） 引用于1审查引用于25文件 理学硕士： 35J92型 具有\（p\）-Laplaceian算子的拟线性椭圆方程 35B33型 偏微分方程中的临界指数 35B06型 PDE上下文中的对称性、不变量等 关键词：拟线性各向异性椭圆方程;定性特性;Sobolev嵌入;凸锥 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛G.Ciraolo｝等人，Geom。功能。分析。30，第3号，770--803（2020；Zbl 1453.35104） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 公元亚历山德罗夫。大型曲面的唯一性定理。I（俄语）。维斯特尼克·列宁格勒大学数学系。，11 (1956), 5-17 [2] Aubin，T.，《非线性方程组与雅马比相关问题的方程》，J.Math。Pures应用。，55, 269-296 (1976) ·Zbl 0336.53033号 [3] 托·奥宾（T.Aubin），《索博列夫的问题》（Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev）。J.差异几何。，(4)11 (1976), 573-598 ·Zbl 0371.46011号 [4] B.Avelin、T.Kuusi和G.Mingione。极限情况下的非线性Calderón-Zygmund理论。架构（architecture）。理性力学。分析。，(2018) 227-663 ·Zbl 1390.35078号 [5] E.Baer和A.Figalli。近似凸锥内等周集的特征。离散连续。动态。系统。，(1)37 (2017), 1-14 ·Zbl 1355.49035号 [6] 比安奇尼，C。；Ciraolo，G.，Wulff超定各向异性椭圆问题中的形状特征，Comm.偏微分方程，43，790-820（2018）·Zbl 1411.35214号 ·doi:10.1080/03605302.2018.1475488 [7] C.Bianchini、G.Ciraolo和P.Salani。各向异性容量的超定问题。计算变量偏微分方程，（2016），55-84·Zbl 1368.35195号 [8] B.Brandolini、C.Nitsch、P.Salani和C.Trombetti。Serrin型超定问题：另一种证明。架构（architecture）。定额。机械。分析。，(2)190 (2008), 267-280 ·Zbl 1161.35025号 [9] X.Cabré、X.Ros-Oton和J.Serra。通过ABP方法的尖锐等周不等式。《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS），（12）18（2016），2971-2998·Zbl 1357.28007号 [10] L.A.Caffarelli、B.Gidas和J.Spruck。具有临界Sobolev增长的半线性椭圆方程的渐近对称性和局部行为。普通纯应用程序。数学。，(3)42 (1989), 271-297 ·Zbl 0702.35085号 [11] A.Cianchi和V.Maz'ya。一类拟线性椭圆型方程的全局Lipschitz正则性。偏微分方程中的通信，（1）36（2010），100-133·Zbl 1220.35065号 [12] Cianchi，A。；Maz'ya，V.，非线性椭圆问题的二阶双侧估计，Arch。理性力学。分析。，229, 569-599 (2018) ·Zbl 1398.35078号 ·doi:10.1007/s00205-018-1223-7 [13] A.Cianchi和P.Salani。超定各向异性椭圆问题。数学。附录（4），345（2009），859-881·Zbl 1179.35107号 [14] Ciraolo，G。；Roncoroni，A.，凸锥中的Serrin型超定问题，计算变量偏微分方程，59，28（2020）·Zbl 1430.35167号 ·doi:10.1007/s00526-019-1678-x [15] D.Cordero-Erausquin和A.Figalli。无界域之间单调传输映射的正则性。离散连续。动态。系统。，要显示·Zbl 1448.35188号 [16] D.Cordero-Erausquin、B.Nazaret和C.Villani。尖锐Sobolev和Gagliardo-Nirenberg不等式的质量传递方法。高级数学。(2), 182 (2004), 307-332 ·Zbl 1048.26010号 [17] L.Damascelli、S.Merchán、L.Montoro和B.Sciunzi。涉及（-\Delta_p（\cdot））算子和（{\mathbb{R}}^n）中临界非线性的问题的径向对称性及其应用。高级数学。，(10)265 (2014), 313-335 ·Zbl 1316.35135号 [18] G.De Philippis和A.Figalli。Monge-Ampère方程及其与最佳运输的联系。牛市。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），（4）51（2014），527-580·Zbl 1515.35005号 [19] E.迪贝内德托\退化椭圆方程弱解的（C^{1+\alpha}）局部正则性。非线性分析。，(8)7 (1983), 827-850 ·Zbl 0539.35027号 [20] A.Figalli和E.Indrei。凸锥内相对等周不等式的一个明显稳定性结果。《几何杂志》。分析。，(2)23 (2013), 938-969 ·Zbl 1262.49045号 [21] A.Figalli、F.Maggi和A.Pratelli。定量等周不等式的质量传输方法。发明。数学。，(1)182 (2010), 167211 ·Zbl 1196.49033号 [22] I.丰塞卡和N.福斯科。各向异性图像分割模型的正则性结果。Ann.Scuola标准。主管比萨Cl.Sci。（IV） 24（1997），463-499·Zbl 0899.49018号 [23] B.吉达斯。非线性椭圆方程正解的对称性和孤立奇点。工程和应用科学中的非线性偏微分方程（Proc.Conf.，罗德岛大学，Kingston，R.I.，1979），pp.255-273，《纯粹和应用数学讲义》，54，Dekker，New York（1980）·Zbl 0444.35038号 [24] B.Gidas，W.M.Ni和L.Nirenberg。（{mathbb{R}}^n）中非线性椭圆方程正解的对称性。数学分析与应用，A部分，第369-402页，《数学高级》。补充研究，7a，学术出版社，纽约-朗顿（1981）·Zbl 0469.35052号 [25] Gilbarg，D。；Trudinger，NS，二阶椭圆偏微分方程（1977），柏林-纽约：Springer-Verlag，柏林-美国·Zbl 0361.35003号 [26] 吉咪·李；帕克，TH，山形问题，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，17，37-91（1987）·Zbl 0633.53062号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1987-15514-5 [27] P.L.狮子和F.帕塞拉。凸锥的等周不等式。程序。阿默尔。数学。Soc.（2）109，（1990），477-485·Zbl 0717.52008号 [28] P.L.Lions、F.Pacella和M.Tricarico。Sobolev不等式中函数在边界某些部分消失的最佳常数及相关问题。印第安纳大学数学。J.，（2）37（1988），301-324·Zbl 0631.46033号 [29] Obata，M.，黎曼流形保角变换猜想，微分几何，6247-258（1971）·Zbl 0236.53042号 ·doi:10.4310/jdg/1214430407 [30] F.Pacella和G.Tralli。圆锥中的超定问题和常平均曲率曲面。伊比利亚美洲修订版·Zbl 1445.35258号 [31] 一、Peral。（p\）-Laplacian解的多重性。第二学院非线性泛函分析及其在微分方程中的应用的课堂讲稿，ICTP，Trieste 1997） [32] P.Polácik、P.Quittner和P.Souplet。通过Liouville型定理在超线性问题中的奇异性和衰减估计，I：椭圆方程和系统。杜克大学数学。J.，（3）139（2007），555-579·Zbl 1146.35038号 [33] R.C.赖利。Hessian算子在黎曼流形中的应用。印第安纳大学数学。J.，（3）26（1977），459-472·Zbl 0391.53019号 [34] Ros，A.，具有恒定高阶平均曲率的紧致超曲面，Rev.Mat.Iberoamericana，3447-453（1987）·Zbl 0673.53003号 ·doi:10.471RMI/58 [35] R.Schoen。黎曼度量到恒定标量曲率的共形变形。J.差异几何。，（2） 20（1984），479-495·Zbl 0576.53028号 [36] B.Sciunzi。（{mathbb{R}}^n）中临界拉普拉斯方程正解的分类。数学进展，291（2016），12-23·Zbl 1344.35061号 [37] Serrin，J.，拟线性方程解的局部行为，数学学报。，113, 219-240 (1965) ·Zbl 0173.39202号 ·doi:10.1007/BF02391778 [38] Serrin，J.，《势能理论中的对称问题》，Arch。老鼠。机械。分析。，43, 304-318 (1971) ·Zbl 0222.31007号 ·doi:10.1007/BF00250468 [39] J.Serrin和H.Zou。拟线性椭圆方程和不等式的Cauchy-Liouville和泛有界性定理。数学学报，(1) 189 (2002), 79-142 ·Zbl 1059.35040号 [40] Talenti，G.，Sobolev不等式中的最佳常数，Ann.di Mat.Pura ed Appl。，110, 353-372 (1976) ·Zbl 0353.46018号 ·doi:10.1007/BF02418013 [41] 一类更一般的拟线性椭圆方程的正则性。J.微分方程，（1）51（1984），126-150·Zbl 0488.35017号 [42] Trudinger，NS，On Harnack型不等式及其在拟线性椭圆方程中的应用，Comm.Pure Appl。数学。，20, 721-747 (1967) ·Zbl 0153.42703号 ·doi:10.1002/cpa.316020406 [43] N.S.Trudinger公司。关于紧致流形上黎曼结构的共形变形的注记。Ann.Scuola标准。主管比萨Cl.Sci。，3 (1968), 265-274 ·兹伯利0159.23801 [44] J.Vétois。临界拉普拉斯方程解的对称性的先验估计及其应用。《微分方程杂志》，260（2016），149-161·Zbl 1327.35117号 [45] C.维拉尼。最佳运输主题。数学研究生课程，第58卷。美国数学学会，普罗维登斯（2003），xvi+370 pp·Zbl 1106.90001号 [46] Weinberger，HF，关于Serrin，Arch的前一篇论文的评论。理性力学。分析。，43, 319-320 (1971) ·Zbl 0222.31008号 ·doi:10.1007/BF00250469 [47] L.翁。凸锥中各向异性方程的一个超定问题。微分方程杂志，（2019） [48] Yamabe，H.，关于紧致流形上黎曼结构的变形，大阪数学。J.，12，21-37（1960）·Zbl 0096.37201号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。