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威廉·班克斯;福特、凯文;特伦斯·陶

大素数缺口和概率模型。 （英语） 兹伯利07724116

发明。数学。 233，第3期，1471-1518（2023）.
在本文中，作者介绍了一种新的素数概率模型。作者将新模型与Cramér和Granville的素数模型进行了比较。该模型的新颖之处在于如何通过筛选模素数达到某个阈值的随机剩余类来形成随机集。在该模型下，得到了区间（[1，x]\）中素数之间最大间隙大小的某些启发式界。
考虑随机集\[\马查尔{S} z（_z）：=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{p\leqz}（a_p\bmod{p}）\]其中，（ap\bmod{p}）是每个素数的联合独立随机变量。在这个新的素数模型中，随机集定义为\[\数学{R}={n\geqe^2:\，n\in\mathcal{宋体}_{z（n）}\}，\]这里选择了（z（n））来尽可能地匹配素数的比例，特别是选择了（zn）作为最大素数，并用（prod_{p\leqz（n。让\（\mathcal{希腊}_｛\mathcal｛R｝｝（x）=\max\｛b-a:\，[a，b]\subet[1，x]\，\，\text｛and｝\，\，[a，b]\cap\mathcal｛R｝=\emptyset\｝\）。它们表明，对于任意（ε>0），概率为1，\[（2e^{-\gamma}-\epsilon）\log^2 x\leq\mathcal{希腊}_{\mathcal{R}}（x）\leq（2e^{-\gamma}+\epsilon）\frac{\log^2x\log\logx}{\log\Logx}\]其中，\（\gamma\）表示Euler-Marcheroni常数。这里的分析导致了这样一个猜想，即素数之间的最大间隙渐近于（2e^{-\gamma}\log^2x），这与Granville模型所建议的下限相匹配。
此外，他们证明了Hardy-Littlewood猜想的一个类似物几乎可以肯定地适用于随机集（mathcal{R}）。更准确地说，它们表明，对于固定的（c\in[1/2,1）\）和（epsilon>0\），几乎可以肯定\[|\{n\leqx:\，n+h\in\mathcal{R}\，\，\text{forall（h\in\fathcal{h}\）}\}|=\mathfrak{S}（\mathcal{h}）\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log^{|\mathcali{h}|}t}+O\left（x^{1-\frac}{8c^2-2c}}+\epsilon\right）\]对于所有允许的元组\（\mathcal{H}\）和\（\mathcal{H2}\子集[0，\exp\left（\log^{1-c}x/\log\log x\right）]\）和\（|\mathcal{H}|\leq\log^{c} x个\). 在特殊情况下，当\（\mathcal{H}=\{0\}，\）他们证明了一个更精确的语句，对于\（a>3/2），几乎可以肯定\[|\{n\leqx:\，n\in\mathcal{R}\}|=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\logt}+O\left（x^{1/2}\log^Ax\right）\]保持不变，恢复了该模型下的“黎曼假设”。
作者还证明，如果（mathcal{A}）是Hardy-Littlewood猜想的一种形式在其上成立并具有特定误差项的任何整数集，则可以根据这个渐近公式获得（mathcal{A}\）元素之间最大间隙的下界。
审核人：库布拉·本利（莱思布里奇）

引用于1文件

理学硕士：

11号05 素数的分布
11B83号 特殊序列和多项式

关键词：

素数;素数的随机模型
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{W.Banks}等人，《发明》。数学。233，第3号，1471--1518（2023；Zbl 07724116）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

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