皮埃特罗·科瓦贾;Andrei S.Rapinchuk。;任金波;翁贝托·桑尼尔（Umberto M.Zannier）。 非虚交换各向异性线性群不是有界生成的。 （英语） Zbl 1491.11045号 发明。数学。 227，编号1，1-26（2022）. 这是一篇重要的论文，介绍了处理涉及群的有界生成问题的新方法。一个组（G）被称为有界生成或具有属性（BG），如果存在（G）的有限子集（X）和正整数（m），使得（G）中的每个元素（G）都可以写成形式\[G=X_1^{n_1}\cdots X_m^{n_m}，\]其中\（X中的X_i）和\（mathbb{Z}中的n_i）。根据定义，每个具有（BG）的组都是有限生成的。最简单的例子是有限生成的虚幂零群。没有（BG）的有限生成群包括所有有限秩的非循环自由群。第一个例子非虚拟可解具有（BG）的组是由于D.卡特和G.凯勒【《美国数学杂志》105、673–687（1983；Zbl 0525.20029号)]. 它们表明\（\mathrm{SL}_n其中，（mathcal{O}）是一个代数整数环，并且是有界生成的，边界数（m\）由\（n\）和\（mathcal{O}\）的判别式确定。此外，他们还证明了\（X\）可以被选择为完全由初等（因此是单极）矩阵组成。这个结果（通常不适用于（n=2））随后被推广到秩为（>1）的所有Chevalley群和大多数拟裂群。虽然有界生成是群的一个纯粹的组合性质，但它有许多令人惊讶的重要结果和应用。例如，已知数域\（K\）上的绝对几乎简单代数群的\（S\）-算术子群的有界生成，其中\（S\）是\（K\）的一个有限估值集，包含所有非阿基米德估值，确保这些群具有同余子群性质（根据一些自然假设）。更准确地说，这意味着对于这些群体同余核，最初由Serre定义为有限的，有限的.该性质（BG）在证明Chevalley群的高秩（S）-算术子群的可公度子群的Margulis-Zimmer猜想以及Kazhdan常数的估计中起着至关重要的作用。此外，性质（BG）到profinite群的自然扩展，\（（\mathrm{BG}）_{\mathrm{pr}}\）也起着重要作用。特别地，具有\（（\mathrm｛BG｝）_｛\mathrm｛pr｝｝）的前\（p\）群正是\（p\）adic分析群。线性群（Gamma\subset\mathrm{GL}（K）），其中（K）是特征为零的场，称为各向异性的if\（\Gamma\）完全由半简单元素组成。迄今为止，已知有界生成的数域（K）上绝对几乎简单代数群的所有（S）-算术子群都不是各向异性的。本文的主要目的之一是寻找由半单元生成的有界生成线性群的例子。主要结果如下。定理A.设（Gamma\subset\mathrm{GL}_n（K） 是特征为零的场（K）上的线性群，该场实际上是不可解的。那么，在\（\Gamma\）的每个可能表示（BG）中，至少有两个元素\（x_i\）不是半简单的。在简化到“（K）是一个数字域”的情况后，根据一个涉及“（mathrm）”中的有限矩阵集的技术结果进行证明{GL}_n（上划线{mathbb{Q}}）其特征值满足一个条件，称为乘法独立性.冗长而复杂的证明利用了通用元素在Zarisk-dense子群中以及Diophantine几何中的Laurent定理。这有一些重要后果。推论B.各向异性线性群{GL}_n（K） 特征零域上有（BG）当且仅当它是有限生成的且实际上是阿贝尔的。定理C。设（G）是数域（K）上的代数群，设（S）是（K）的有限赋值集，包含所有阿基米德值。然后，（G）的无限（S）-算术子群，其中（G）是绝对几乎简单的和（K）-各向异性的，并不是有界生成的。很明显，根据定义，如果\（\Gamma\）是具有属性（BG）的离散群，则其profinite完成\（\widehat{\Gamma}\）具有属性\（（\mathrm{BG}）_{\mathrm{pr}}\）。反之不成立。推论D.存在剩余有限有限生成群\（\Gamma\）不具有属性\（\mathrm{（BG）}\），其中\（\widehat{\Gamma}\）具有属性\。丢番图几何和泛型元素的存在可以提供一种明显新颖的方法来确定一个组是否有界生成。在本文中，这种方法扩展了现有的结果。例如，用标准方法证明一个组不have（BG）简化为证明其第二有界上同调是无限维实向量空间。定理C证明了一些第二有界上同调消失的群的相同结果。例如，希望这些方法能够为某些自由合并产品具有有界生成提供可验证的充分条件。审核人：亚历山大·梅森（格拉斯哥） 引用于1审查引用于6文件 MSC公司： 11层06 模群的结构与推广；算术群 11日72 多变量丢番图方程 关键词：有界生成;各向异性的;实际上是阿贝尔的，泛型元素;丢番图几何;有界生成的profinite群 引文：兹伯利0525.20029 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Corvaja}等人，发明。数学。227，编号1，1--26（2022；Zbl 1491.11045） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 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