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吴成强;夏永辉

具有扰动的三次哈密顿系统的极限环数。 （英语） Zbl 1117.34037号

非线性分析。，真实世界应用。 7，第5期，943-949（2006）。
考虑以下扰动哈密顿系统：
\[\压裂{dx}{dt}=y+\varepsilon\sum_{j=0}^{l}a_jx^j|y|^{2m-1}，\quad\frac{dy}{dt{=-x-x^3，\tag{1}\]
其中\（0<\varepsilon<<1\），\（l=2n+1\）或\（2n+2\），\（n\）和\（m\）是任意正整数，\（a_0\），\（a_1，\dots，a_l\）是实数。工作的主要结果是，这个扰动哈密顿系统最多有（n+m）个极限环。研究了特殊情况（m=1），给出了（n）极限环的上界，通过适当选择参数（a_i），（i=0,1,2，dots，l），该上界很尖锐。此外，还广泛研究了特殊情况（（m，n）=（1,1）和（m，n=（1,2）），并根据摄动系数描述了现有极限环的数量和稳定性的一般条件。
证明这些结果的主要工具是以下众所周知的结果。让我们考虑一个形式的扰动哈密顿系统
\[\压裂{dx}{dt}=-\frac{\partial H}{\parial y}+\varepsilon P（x，y），\]
其中，（0<varepsilon<<1）、（H）、（P）和（Q）属于（mathbb{R}^2）中的类（mathcal{C}^1），并且（Gamma_H）是由（H（x，y）=H）定义的闭合曲线。我们假设闭合轨道围绕（Gamma{h0}），如果（h1>h0）。让我们定义阿贝尔积分：\[A（h）=\int_{\Gamma_h}Q（x，y）dx-P（x，y）dy。\]那么，以下事实成立：
1） 如果扰动哈密顿系统在（Gamma{h^{*}}）附近有一个极限环，则（a（h^{**}）=0。
2） 如果\（A（h^*）=0\）和\（A'（h^*\）neq0\），则扰动哈密顿系统在\（Gamma_{h^{*}}\）附近有一个唯一的极限环，当\（A`（h^*1）<0\）（分别为A'（h ^*>0\）时，该极限环是稳定的（分别是不稳定的）。
我们让读者参考以下两个经典参考文献[R.卢萨里平面向量场的分岔与希尔伯特第十六问题。数学进步164。巴塞尔：Birkhäuser（1998年；Zbl 0898.58039号)]和[Y.伊利亚申科，公牛。美国数学。Soc.，新Ser。39，第3期，301-354（2002年；Zbl 1004.34017号)]以及其中关于此结果的完整定义、历史和设置的参考。
我们注意到系统（1）中考虑的哈密顿量是（H（x，y）=（x^2+y^2）/2+x^4/4），并且对于（H>0）存在闭轨道（Gamma_H）。选择该哈密顿量和微扰项的形式，以便通过通常的多项式积分明确地计算（A（h））。秩\（\lambda>0\）中的参数变化\（h=（2+\lambda）\lambda/4\）给出了\（A（h）=\lambda ^｛m+1/2｝I（\lambda）\），其中\（I（\lambda）\）是\（\lambda）中的次多项式\（n+m\），其系数线性依赖于\（A_0\），\（A_1，\dots，A_l\）。这个事实，以及无穷大不存在极限环的证明，导致了主要结果的结论。此外，还证明了（1）扰动部分中的偶数项（x）不影响极限环的数量，因为它们不出现在（I（lambda））的系数中。
当（m=1）时，从笛卡尔法则的角度分析了多项式（I（lambda））的系数，得到了极限环的尖锐界。最后，显式计算了情形（（m，n）=（1,1）和（m，n=（1,2））的多项式（I（lambda））。这些多项式根据系数（a_1）、（a_3）和（a_5）对分岔图进行了详细描述。
审核人：Maite Grau（莱伊达）

引用于4文件

MSC公司：

34C08（二氧化碳） 常微分方程和与实代数几何的联系（多项式、去三角化、阿贝尔积分的零点等）
34二氧化碳 积分曲线、奇点、常微分方程极限环的拓扑结构
37J40型 有限维哈密顿系统的扰动，正规形式，小因子，KAM理论，阿诺尔扩散

关键词：

哈密顿体系;扰动系统;极限循环;稳定性

引文：

Zbl 0898.58039号;Zbl 1004.34017号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.-Q.Wu}和\textit{Y.Xia}，非线性分析。，真实世界应用。7，第5号，943--949（2006；Zbl 1117.34037）
全文： 内政部

参考文献：

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[8] Ye，Y.Q.，极限环理论，（数学专著汇刊，第66卷（1986），美国数学学会：美国数学学会纽约）·Zbl 0588.34022号
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