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埃米利·比费特;弗朗科·吉恩;毛里齐奥·莱蒂齐亚

曲线上高秩除数的Abel-Jacobi映射。 （英语） Zbl 0840.14003号

数学。安。 299，第4期，641-672（1994）.
本文的目的是提出一种代数几何方法来研究任意特征的代数闭域（k）上定义的光滑射影曲线上稳定丛的模空间的几何。基本思想之一是考虑高秩除数的概念和适当的Abel-Jacobi映射，将经典概念推广到秩1。设（{mathcal O}_C）是曲线（C）的结构层，设（K）是其有理函数的域，被认为是常数（{mathcal O}-C）模。
我们定义了秩和度的除数，简称为（r，n）-除数，是（K^r=K^{oplusr}）的任何相干子模。由于\（C\）是光滑的，这些子模是局部自由的，并且与由A.韦尔[数学杂志.Pures Appl.，IX.Sér.17，47-87（1938；Zbl 0018.06302号)]. 用\（\text{Div}表示^{r，n}_｛C/k｝\）所有\（（r，n）\）-除数的集合。这个集合可以用代数ind-variety（{mathcal D}iv）的有理点集来标识^｛r，n｝_{C/k}\），如下所述。对于任何有效的普通除数\（D\）集合\（\text{Div}^{r，n}_{C/k}（D）=\{E\in\text{Div}^{r，n}_{C/k}\mid E\subseteq{\mathcal O}_C（D）^r}\）其中\（{\mathcal O}-C（D。集合\（\text{Div}的元素^{r，n}_{C/k}（D））可以用（text{Quot}^m_{{mathcal-O}_C（D，^r/X/k}），（m=r\cdot\degD-n\）的有理点来标识，参数化具有度的（{mathcal-O}-C（D（D）^r）的扭商。将ind-variety（{mathcal D}iv）分层是很自然的^{r，n}_{C/k}\）根据Harder-Narasimhan类型\（{\mathcal D}iv^{r，n}_{C/k}=（{\mathcal D}iv^｛r，n｝_{C/k}）^{ss}\cup\bigcup_{P\neq-ss}{\mathcal S}_P\）其中\（（{\mathcal D}iv^{r，n}_{C/k}）^{ss}\）是半稳定因子的开ind-子簇。各层的上同调稳定，此分层是完美的。（这里的上同调是指适当素数的（\ ell \）-adic上同调。）特别是，有一个庞加莱级数的恒等式\[P（{mathcal D}iv^{r，n}_{C/k}；t） =P\bigl（（{\mathcal D}iv）^{r，n}_{C/k}）^{ss}；t\biger）+\sum_{P\neq-ss}P（{\mathcal S}_P，t）\cdot t^{2d_r}，\]其中，\（d_P\）是\（{\mathcal S}_P\）的余维。设\（r）和\（n）为互质。然后，（C）上稳定丛和半稳定丛的符号重合，且秩为（r）且度为（N）的稳定向量丛的模空间（N（r，N）在这种情况下是一个光滑投影代数簇。通过与经典情况的类比，定义Abel-Jacobi映射（vartheta：（{mathcal D}iv）是很自然的^{r，n}_{C/k}）^{ss}到N（r，N），通过将其同构类作为向量束赋给除数（E）。为了找到\（N（r，N）\的Betti数，只需知道\（{mathcal D}iv^｛r，n｝_{C/k}）^{ss}\）。对于任意\（r \）和\（n \），此计算简化为\（｛\mathcal D｝iv的计算^{r，n}_{C/k}\）。
变种\（\text{Div}^{r，n}_{C/k}（D）\）类似于格拉斯曼学派，与他们具有分解为舒伯特“地层”的性质。一个人获得\[P（{mathcal D}iv^{r，n}_{C/k}；t） ={{\prod^r_{j=1}（1+t^{2j-1}）^{2g}}\在{（1-t^{3r}）\prod上^{r-1}_{j=1}（1-t^{2j}）^2}}。\]

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MSC公司：

14C20型 除法器、线性系统、可逆滑轮
14小时60分 曲线上的向量丛及其模
13日40分 Hilbert-Suell和Hilbert-Kunz职能；庞加莱级数

关键词：

稳定丛的模空间;秩\（r）和度\（n）的除数;代数ind变种;半稳定因子;分层;庞加莱级数;Abel-Jacobi地图

引文：

Zbl 0018.06302号
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\textit{E.Bifet}等人，数学。Ann.299，No.4，641--672（1994；Zbl 0840.14003）
全文： 内政部 arXiv公司 欧洲DML

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