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菲利波·卡内蒂;Antonin Chambolle;马蒂奥·佩鲁吉尼;露西娅·斯卡迪亚

广义有界变形特殊函数的推广结果。 （英语） Zbl 1486.49061号

J.凸面分析。 28，第2期，457-470（2021年）。
作者证明了广义有界变形特殊函数（GSBD）的扩张算子的存在性。他们的主要结果确实证明了对于（Omega子集O）的开子集和有界子集（mathbb{R}^{n}），（n\geq2），具有（Omega\）Lipschitz且连通，并且（p>1），存在一个扩张算子（T:GSBD^{p}（Omeca）\rightarrowGSBD^}（O））和一个正常数（c=c（n，p，\Omega，O），这样（Tu=u\）盐酸{L}^{n}\）-a.e.在\（\Omega\cap O\）中，\（Tu\在W^｛1，p｝中（O\setminus\Omega；\mathbb｛R｝^｛n｝）\），\（\int_｛O｝\left\vert e（Tu）\right\vert^{p} dx公司\leq\int_{\Omega}\left\verte（Tu）\right\vert（图）^{p} dx公司\)，（\mathcal{H}^{n-1}（J_{Tu}\cap O）\leq c\mathcal{H}^{n-1}（J_{u}\cap\Omega）\），对于GSBD^{p}（\Omega\）中的每一个\（u\）。在这里，GSBD（Omega）中的（GSBD^{p}（Omega）={u）：L中的e（u）（Omeca；mathbb{R}{sym}^{n\timesn}），（mathcal{H}^{n-1}（J{u}）<+\infty\}）中的，（mathcal{H{n-1{）是（n-1）中的维Hausdorff测度mathbb{R}^{n}），（mathcal{L}^{n}）维勒贝格测度，（e（u）\)（u）关于（mathcal{L}^{n}）的分布梯度（Du）的对称部分（mathcal{E}（u））的绝对连续部分是（u）的跳集。为了证明，作者观察到，对于GSBD^{p}（\Omega）中的每一个\（u），都存在一组有限周长\（\Omega\subset\Omega\）和一个函数\（v\在W^{1，p}中（\Omega；\mathbb{R}^{n}）\），使得\（u=v\）在\（\Omesga\setminus\Omega\）中。然后证明，如果（Omega）是（mathbb{R}^{n}）的一个开的有界子集，则存在一个常数（C=C（n，Omega（）），使得对于每个仿射函数（a:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{n}），（a（x）=Ax+b），带有（a\in\mathbb{R}^{n次n}，）和），\（\left\垂直a\right\垂直_{L^{infty}（\Omega；\mathbb{R}^{n} ）}\leq C\left\Verta a\right\Vert_{L^{1}（\Omega；\mathbb{R}^{n}）}\）和\（\ left\Vert a\right\ Vert\leq C\ left\ Verta a\ right\Vert_L^{infty}（\ Omega，\mathbb{R}^{n{）}\）。他们证明了定义为（L_{\Omega}（\xi，t）=\sup_{x\in\Omega+t\xi}dist（x，\Pi_{xi}））的连续函数（L_}\Omega}，F_{\Omega}:\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{R}\rightarrow（0，\infty）的上下界^{n}:\xi\cdot z=0\}）和\（F_{\Omega}（\xi，t）=\int_{\欧米茄+t\xi}\left\vert\xi\cdot x\right\vert dx/L_{\Omega}（\xi，t）\）。他们最后观察到，如果在\（\Omega\）中完全控制\（u\）的梯度，他们将能够构造一个扩展操作符来保留\（\partial\Omega \cap O\）上的跟踪。在二维情况下，一个分段Korn不等式由M.弗里德里希[SIAM J.Math.Anal.50，No.4，3842–3918（2018；Zbl 1391.74227号)]导致了一个保持轨迹并满足（稍微次优的）能量界的扩展算子。
审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆）

引用于3文件

MSC公司：

20年第49季度 几何测量理论环境中的变分问题
46N10号 函数分析在优化、凸分析、数学规划、经济学中的应用
70G75型 力学问题的变分方法
74兰特 脆性断裂

关键词：

有界变形函数;扩展运算符;微量保存

引文：

Zbl 1391.74227号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{F.Cagnetti}等人，J.凸面分析。28，第2号，457--470（2021；Zbl 1486.49061）
全文： 链接

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