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克里斯托夫·伯姆;塞巴斯蒂安·施莱·辛格

多狭缝、多连通域和分支点的Loewner方程。 （英语） Zbl 1364.30031号

方舟垫。 54，第2号，339-370（2016）.
设\（\gamma:[0，T]\to\overline｛\mathbb D｝\）是单位圆盘\（\mathbb D=\｛z:|z|<1\｝\）的闭包\（\overline｛\mathbb D｝\）中的一条简单曲线，其中\（\gamma:=\gamma（0，T]\subet \mathbb D\setminus\｛0\｝\）和\（\gamma（0）\in\partial \mathbb D\）。对于每个\（t\in[0，t]\），域\（\Omega_t:=\mathbb D\setminus\gamma[0，t]\）通过保角映射\（g_t\），\（g_t（0）=0\），\（g_t'（0）>0\）映射到\（\mathbbD\）。值\（\log g_t'（0）\）称为对数映射半径，并用\（\text{lmr}（g_t）\）表示。众所周知，函数（c（t）：=\text{lmr}（g_t）在（t_0）处是可微的当且仅当族（[0，t]}中的{g_t}_{t\）在（t=t_0）时是可微。在这种情况下，（g_t）满足Loewner微分方程\[\点g{t0}（z）=\dotc（t0）g{t0}（z）\frac{\xi（t0-）+g{t0-}（x）}{\xi-g{to}（j）}，\quad\xi（t_0）=\lim{z\to\gamma，\]而\（\gamma\）是\（t_0）处\（\gamma\）的\（\mathbb D\）-Loewner参数化。现在，让\（g_t）是从\（\Omega_t:=\mathbb D\setminus\{\gamma_1[0，t]\cup\gamma_2[0，t]\}\）到\（\mathbbD\），\（g_t（0）=0\），\（g_t'（0）>0\）的共形映射。作者证明了单连通域的下列定理。
定理1.2：假设\（t_0\in[0，t]\）是这样的\（\gamma_1（t_0）\neq\gamma_2（t0）\）。那么以下两个条件是等价的：（1）对于\（j=1,2\），\（\gamma_j\）是\（\mathbb D\）-Loewner参数化的\（\gamma_j）在\（t_0）；（2） 函数\（t\mapsto g_t（z）\）在\（t_0）处对于每个\（z\ in \Omega_{t_0}\）都是可微的。
定理1.3：在（mathbb D\）中存在两个狭缝\（Gamma_1\）和\（Gamma_2 \），其中\（overline{\Gamma_1}\cap\ overline{\Gamma_2}=\{p\}\ subset\ partial\mathbb D _（z）\），\（z\ in \ Omega_T\），在\（t=0\）处不可微分。
定理1.5：设\（b_1，b_2\geq0），\（\gamma_1（0）=\gamma_2（0）\），并假设\（\gamma_j）在\（\alpha_j）-方向上接近\（\partial\mathbb D\）与\（\alpha_1\leq\alpha_2\）。设\（\gamma_j\）为\（\gamma_j）在\（t=0\）的\（j=1\）和\（j=2\）的a \（\mathbb D\）-Loewner参数化，其中\（b_1=\dot c_1（0）\）和_（b_2=\ dot c_2（0）。那么函数\（t\mapsto g_t（z）\）在\（t=0\）处对于每个\（z\ in \Omega\）都是可微的。如果\（b_1=0\）或\（b_2=0\），则\（\dot c（0）=\max\｛b_1，b_2\｝\）。如果\（b_1，b_2>0\），则\（\max\{b_1、b_2\}\leq\dot c（0）<b_1+b_2\），\（\dot c（0）=\ max\{b_1、b2\}\）当且仅当\（\alpha_1=\alpha_2\）和\（\dot c（0\ to b_1+b2\）as \（\alpha_1，\alpha_2）\ to（0，\pi）\）。
此外，作者用相应的Komatu-Loewner方程研究了多连通域情况下的问题，并证明了在（t_0）处的（t\mapsto g_t（z））的可微性可以简化为每个狭缝相对于单连通域的可微。
审核人：德米特里·普罗霍罗夫（萨拉托夫）

引用于2文件

MSC公司：

30摄氏度80 极大值原理、Schwarz引理、Lindelöf原理、类比和推广；从属关系
30立方厘米 共形映射的一般理论

关键词：

Loewner方程;保角映射;狭缝;分支点;对数映射半径
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Böhm}和\textit{S.Schleißinger}，Ark.Mat.54，No.2，339--370（2016；Zbl 1364.30031）
全文： 内政部 arXiv公司

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