肖恩·考克斯 过滤游戏和潜在的投射模块。 （英语） Zbl 07687306号 芬丹。数学。 260，第3期，199-232（2023）. 总结：（mathcal{C}）的概念-已过滤对象，其中\（\mathcal{C}\）是Grothendieck类别中的一些（通常是小的）对象集合，自2000年左右平面覆盖猜想的解决方案以来，它变得无处不在。我们引入\（\mathcal{C}\）-长度过滤博弈\（\omega_1\），特别注意其中\（\mathcal{C}\）是所有可数生成投射模的集合的情况。我们证明了Martin’s Maximum暗含多个长度（ω_1）的（mathcal{C}）-过滤对策的确定性，而这又暗含某些长度的Ehrenfeucht-Fraísse对策（ω_1）的确定性；这使得Mekler-Shelah-Vaananen（1993）的一个定理得到了显著加强。此外，Martin's Maximum还暗示，如果（R）是一个可数遗传环，那么-闭的潜在投射模–即，在某些（sigma）-封闭强迫宇宙扩展中投射的模块在（<aleph_2）-定向极限下闭合。我们还给出了一个例子，在普通子群关系下，一类（ZFC-可定义）阿贝尔群在一些集合论模型中构成了一个Löwenheim-Skolem数为（\aleph_1）的抽象初等类（AEC），但在其他集合论模型里却不是一个AEC。 MSC公司： 03E35号 一致性和独立性结果 03E57型 一般绝对性和强制公理 03E75型 集合论的应用 2016年40月 结合代数中的自由、射影和平坦模与理想 关键词：投射模;强制公理;抽象初等类;可解构类 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Cox}，芬丹。数学。260，编号3199-232（2023；Zbl 07687306） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 在内射∑保持映射下Γ是下闭的。那么只要D是<ℵΓ元素间∑保持（不一定是内射）映射的2-有向系统，D的直接极限在Γ中。推论5.8。假设RP是内部的，并且R最多是一个大小为的环ℵ 在所有σ-闭强迫扩张中是遗传的。然后，σ-闭的潜在投射R-模类在<ℵ 2-定向极限。 [2] 证明。如果R在所有σ-闭强迫扩张中都是遗传的，那么σ-封闭潜在投射模的类在子模下是封闭的（特别是在纯子模下）。然后根据Corol-lary 3.7、定理5.2和定理5.6得出结果。引理5.9。如果R是一个可数的遗传环，那么R在所有σ-闭强迫扩张中都是遗传的。证明。设R是可数的遗传的，且V[G]是V的σ-分布强迫扩张。根据[18，第2E]章，环R是遗传的当且仅当R中的所有理想都是投射的（作为R-模）；所以可以证明在V[G]中，R中的所有理想都是射影的。假设在V[G]中，I是R的理想，因为R在V中是可数的，而V[G]没有添加新的可数集，所以我已经是V的一个元素。由于V|=“R是遗传的”，因此I在V中是投射的，这很容易向上绝对于V[G]。 [3] 推论5.10。设RP为内环，R是一个可数的遗传环<ℵ 2-定向极限。证明。这紧接着引理5.9和推论5.8。5.4条。定理证明1.5。考虑语句Φ：≡“在纯嵌入序下，非σ-闭潜在自由的Z模（即交换群）G的类是AEC。”我们将证明Φ与ZFC无关。基本上已经完成了一个方向：定理5.11。RP内部意味着所有环的最大尺寸为Rℵ 1和可数表示R-模的所有商再生类C，非σ-闭潜在C-滤子的R-模类是（在纯嵌入序下）一个AEC。此外，其Löwenheim-Skolem数最多为ℵ 1 . 特别是Φholds和Löwenheim-Skolem数是ℵ 1（这是R＝Z和C＝{R}的特殊情况）。 [4] J.Barwise、M.Kaufmann和M.Makkai，《固定逻辑》，《数学年鉴》。逻辑13（1978），171-224·Zbl 0372.02031号 [5] R.E.Beaudoin，Martin公理的强类似物暗示公理R，符号逻辑52（1987），216-218·Zbl 0623.03049号 [6] S.Ben-David，《论Shelah对红衣主教的紧凑性》，Israel J.Math。31 (1978), 34-56. ·Zbl 0384.03036号 [7] L.Bican、R.El Bashir和E.Enochs，所有模块都有平盖，Bull。伦敦数学。《社会》第33卷（2001年），第385-390页·Zbl 1029.16002号 [8] S.Cox，《强迫公理、可接近性和平稳集反射》，《符号逻辑杂志》86（2021），499-530·Zbl 07415213号 [9] S.Cox，∏1 [10] ↓ Löwenheim-Skolem-Tarski平稳逻辑的性质，RIMS Ko-kyuroku 2164（2020）。 [11] S.Cox和H.Sakai，马丁最大值和对角线反射原理，RIMS Kokyuroku 2124（2019）。 [12] P.C.Eklof，同调代数与集合论，Trans。阿默尔。数学。Soc.227（1977），207-225·Zbl 0355.02047号 [13] P.C.Eklof和A.H.Mekler，《几乎自由模块》，修订版，北荷兰语数学。2002年，阿姆斯特丹北霍兰德65号图书馆·Zbl 1054.20037号 [14] P.C.Eklof和J.Trlifaj，《如何使Ext消失》，公牛。伦敦数学。Soc.33（2001），41-51·Zbl 1030.16004号 [15] M.Foreman，《理想与一般基本嵌入》，收录于《集合论手册》。第2卷，施普林格，多德雷赫特，2010年，885-1147·Zbl 1198.03050号 [16] S.Fuchino、A.Ottenbreit Maschino Rodrigues和H.Sakai，平稳逻辑的强向下Lö-wenheim-Skolem定理，I，Arch。数学。逻辑60（2021），17-47·Zbl 1498.03117号 [17] S.Fuchino和T.Usuba，根据游戏制定的反射原理，RIMS Kokyuroku 1895（2014），37-47。 [18] R.Göbel和J.Trlifaj，模的逼近和自同态代数。第1卷，第2版，《德格鲁伊特数学公开课》。41，de Gruyter，柏林，2012年·Zbl 1292.16001号 [19] T.Jech，《集合论：第三个千年版，修订和扩充》，Springer Monogr。数学。，施普林格，柏林，2003年·Zbl 1007.03002号 [20] I.Kaplansky，《投射模》，数学年鉴（2）68（1958），372-377·Zbl 0083.25802号 [21] J.Krueger，《内部可接近性和反思》，J.Math。逻辑8（2008），23-39·Zbl 1183.03038号 [22] T.Y.Lam，模块和环讲座，毕业。数学课文。189年，纽约施普林格，1999年·Zbl 0911.16001号 [23] Magidor先生和S.Shelah先生，什么时候“几乎自由”意味着“自由”？（对于团体、跨性别销售等），J.Amer。数学。Soc.7（1994），769-830·Zbl 0819.20059号 [24] A.Mekler、S.Shelah和J.Vaänänen，《埃伦菲切特-弗雷塞-长度ω1的游戏》，Trans。阿默尔。数学。《社会分类》339（1993），567-580·Zbl 0805.03027号 [25] M.Nadel和J.Stavi，L∞λ-等价，同构和潜在同构，Trans。阿默尔。数学。Soc.236（1978），51-74·Zbl 0381.03024号 [26] M.Saorín和J.Št'ovichek，《关于三角连接和模型结构的精确分类和应用》，高等数学。228 (2011), 968-1007. ·Zbl 1235.18010号 [27] J.Šaroch和J.Trlifaj，模因式分解特性的测试集，Rend。Sem.Mat.Univ.Padova帕多瓦大学144（2020），217-238·Zbl 1477.16003号 [28] S.Shelah，非元素类的分类。二、。抽象基础课，见：分类理论（芝加哥，伊利诺伊州，1985年），数学课堂讲稿。1292年，柏林施普林格，1987年，419-497年·Zbl 0639.03034号 [29] 谢拉，广义量词与紧逻辑，译。阿默尔。数学。《社会学杂志》204（1975），342-364·Zbl 0322.02010 [30] J.Spencer，《随机图的奇怪逻辑，算法组合》，22，Springer，柏林，2001年·Zbl 0976.05001号 [31] J.Št'ovíček，Grothendieck范畴中的解构性和Hill引理，论坛数学。25 (2013), 193-219. ·Zbl 1262.18010号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。