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马磊;李荣新;曾凡海;郭玲;Karniadakis，乔治·埃姆

双正交fPINN：一种基于物理信息的神经网络方法，用于求解含时随机分数阶偏微分方程。 （英语） Zbl 07783920号

Commun公司。计算。物理学。 34，第4期，1133-1176（2023）.
摘要：分数阶偏微分方程（FPDEs）可以有效地表示反常输运和非局部相互作用。然而，由于随机力或未知材料特性，在实际应用中自然会出现固有的不确定性。考虑非局部相互作用和不确定性量化的数学模型可以表示为随机分数阶偏微分方程（SFPDE）。数值求解SFPDE有很多挑战，特别是对于长期积分，因为这些问题是高维和非局部的。在这里，我们将表示随机过程的双正交（BO）方法与求解偏微分方程的物理信息神经网络（PINNs）相结合，形成求解含时SFPDE的双正交PINN方法（BO-fPINN）。具体来说，我们引入了一个深度神经网络来求解含时SFPDE的随机解，并在损失函数中加入了BO约束，遵循一个弱公式。由于自动微分目前不适用于分数阶导数，我们在网格上使用离散化来计算神经网络输出的分数阶导数。BO-fPINN方法的弱公式损失函数可以克服BO方法的一些缺点，因此可以用于求解具有特征值交叉的SFPDE。此外，BO-fPINN方法可以用于具有与正问题相同框架和相同计算复杂度的逆SFPDE。我们证明了BO-fPINN方法对不同基准问题的有效性。具体地说，我们首先考虑具有特征值交叉的SFPDE，并在原BO方法失败的情况下获得了良好的结果。然后，我们解决由SFPDE控制的几个正问题和逆问题，包括具有噪声初始条件的问题。我们研究了分数阶和BO模数对BO-fPINN方法精度的影响。结果证明了所提出方法的灵活性和有效性，尤其是在反问题中。我们还提供了一个简单的转移学习示例（分数阶），可以帮助加快SFPDE的BO-fPINN训练。综上所述，仿真结果表明，BO-fPINN方法可以有效地求解含时SFPDE，并且可以为显示异常输运的实际应用提供可靠的计算策略。

MSC公司：

65立方米 含偏微分方程初值和初边值问题反问题的数值方法
68T07型 人工神经网络与深度学习
第68季度32 计算学习理论
65二氧化碳 蒙特卡罗方法
6500万06 偏微分方程初值和初边值问题的有限差分方法
65天32分 数值求积和体积公式
49米41 PDE约束优化（数值方面）
65个M12 含偏微分方程初值和初边值问题数值方法的稳定性和收敛性
65岁15岁 偏微分方程初值和初边值问题的误差界
35兰特 PDE的反问题
35卢比60 随机偏微分方程的偏微分方程
26A33飞机 分数导数和积分
35兰特 分数阶偏微分方程

关键词：

科学机器学习;不确定性量化;随机分数微分方程;PIN码;反问题

软件：

NSF网络;质量管理4PDE;FPIN编号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Ma}等人，Commun。计算。物理学。34，编号4，1133--1176（2023；Zbl 07783920）
全文： 内政部 arXiv公司

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