林凤鸣;方小雷;高哲明 分布稳健优化。理论与应用综述。 （英语） Zbl 1485.90083号 数字。代数控制优化。 12，第1号，159-212（2022）. 摘要：本文综述了分布鲁棒优化（DRO）理论和应用的初步研究。我们首先回顾了DRO方法的建模能力和计算吸引力，这是由歧义集结构和可处理的稳健对等重格式所诱导的。接下来，我们总结了有效的求解方法、样本外性能保证和收敛性分析。然后，我们举例说明了DRO在机器学习和运筹学中的一些应用，最后，我们讨论了未来的研究方向。 引用于6文件 MSC公司： 90立方厘米 数学规划中的稳健性 90-02 与运筹学和数学规划有关的研究博览会（专著、调查文章） 90立方厘米 数学规划中的极小极大问题 90 C90 数学规划的应用 关键词：分布鲁棒优化;不确定决策;易处理的方法;机器学习;运筹学 软件：EMD公司;罗马 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{F.Lin}等人，数字。代数控制优化。12，第1号，159--212（2022；Zbl 1485.90083） 全文： 内政部 参考文献： [1] F.Alizadeh；D.Goldfarb，二阶锥规划，数学规划，95，3-51（2003）·Zbl 1153.90522号 ·文件编号：10.1007/s10107-002-0339-5 [2] K.B.Athreya和S.N.Lahiri，测度论与概率论《施普林格科学与商业媒体》，2006年·Zbl 1130.60001号 [3] I.E.Bardakci和C.M.Lagoa，分布稳健的投资组合优化，英寸2019年IEEE第58届决策与控制会议（CDC），IEEE，（2019），1526-1531。 [4] G.Bayraksan和D.K.Love，使用phi-divergences的数据驱动随机规划，in运筹学革命《信息》，（2015），第1-19页。 [5] A.Ben-Tal；D.登赫托格；A.De Waegenaere；B.梅伦伯格；G.Rennen，受不确定概率影响的优化问题的稳健解决方案，《管理科学》，59，341-357（2013） [6] A.Ben-Tal；E.哈赞；T.科伦；S.Mannor，通过在线学习实现基于Oracle的稳健优化，运筹学，63228-638（2015）·Zbl 1327.90379号 ·doi:10.1287/opre.2015.1374 [7] A.Ben-Tal；A.Nemirovski，鲁棒凸优化，运筹学数学，23769-805（1998）·兹比尔0977.90052 ·doi:10.1287/门23.4.769 [8] A.Ben-Tal；A.Nemirovski，不确定线性规划的稳健解，运筹学快报，25，1-13（1999）·Zbl 0941.90053号 ·doi:10.1016/S0167-6377（99）00016-4 [9] A.Ben-Tal；A.Nemirovski，受不确定数据污染的线性规划问题的稳健解决方案，数学规划，88，411-424（2000）·Zbl 0964.90025号 ·doi:10.1007/PL00011380 [10] D.Bertsimas；D.B.Brown；C.Caramanis，稳健优化理论与应用，SIAM Review，53，464-501（2011）·Zbl 1233.90259号 ·doi:10.1137/080734510 [11] D.Bertsimas；M.S.Copenhaver，线性回归和矩阵回归中稳健化和正则化等价性的表征，《欧洲运筹学杂志》，270931-942（2018）·Zbl 1403.62040号 ·doi:10.1016/j.ejor.2017.03.051 [12] D.Bertsimas；X.V.多安；K.Natarajan；C.-P.Teo，带风险规避的极大极小随机线性优化问题模型，运筹学研究数学，35580-602（2010）·Zbl 1218.90215号 ·doi:10.1287/门.1100.0445 [13] D.Bertsimas；V.古普塔；N.Kallus，数据驱动稳健优化，数学规划，167，235-292（2018）·Zbl 1397.90298号 ·doi:10.1007/s10107-017-1125-8 [14] D.贝尔西马斯；V.古普塔；N.Kallus，稳健样本平均近似，数学规划，171，217-282（2018）·Zbl 1432.90168号 ·doi:10.1007/s10107-017-1174-z [15] D.Bertsimas；I.Popescu，概率论中的最优不等式：凸优化方法，SIAM优化杂志，15780-804（2005）·Zbl 1077.60020号 ·doi:10.1137/S1052623401399903 [16] D.Bertsimas；M.Sim，《稳健性的代价》，运筹学，52，35-53（2004）·Zbl 1165.90565号 ·doi:10.1287/opre.1030.0065 [17] D.Bertsimas；M.Sim，鲁棒二次曲线优化问题的可追踪近似，数学规划，107，5-36（2006）·Zbl 1134.90026号 ·doi:10.1007/s10107-005-0677-1 [18] D.Bertsimas；M.Sim；M.Zhang，自适应分布稳健优化，《管理科学》，65，604-618（2019） [19] H.-G.拜尔；B.Sendhoff，《稳健优化——综合调查》，《应用力学与工程中的计算机方法》，1963190-3218（2007）·Zbl 1173.74376号 ·doi:10.1016/j.cma.2007.03.003 [20] C.Bhattacharyya，特征选择的二阶锥规划公式，机器学习研究杂志，51417-1433（2004）·Zbl 1222.68147号 [21] J.R.Birge和F.Louveaux，随机规划导论第2版，Springer Publishing Company，Incorporated，2011年·Zbl 1223.90001号 [22] J.Birrell、P.Dupuis、M.A.Katsoulakis、Y.Pantazis和L.Rey-Bellet，\（f，γ）-发散：（f）-发散度和积分概率度量之间的插值，arXiv:2011.05953。 [23] J.Blanchet、L.Chen和X.Y.Zhou，具有wasserstein距离的分布鲁棒均值方差投资组合选择，arXiv:1802.04885。 [24] J.Blanchet、P.W.Glynn、J.Yan和Z.Zhou，绝对误差损失下的多元分布稳健凸回归，arXiv:1905.12231。 [25] J.Blanchet和Y.Kang，基于wasserstein距离的样本外推断，arXiv:1605.01340·Zbl 1472.90077号 [26] J.Blanchet；Y.Kang，基于分布式鲁棒优化的半监督学习，数据分析和应用3：计算、分类、金融、统计和随机方法，5，1-33（2020） [27] J.Blanchet；Y.Kang；K.Murthy，Robust wasserstein轮廓推断及其在机器学习中的应用，应用概率杂志，56，830-857（2019）·Zbl 1436.62336号 ·doi:10.1017/jpr.2019.49 [28] J.Blanchet、K.Murthy和N.Si，wasserstein分布稳健估计的置信域，重印arXiv:1906.01614。 [29] V.I.博加乔夫；A.V.Kolesnikov，《monge-kantorovich问题：成就、联系和观点》，《俄罗斯数学调查》，67785-890（2012）·Zbl 1276.28029号 ·doi:10.1070/rm2012v067n05abeh004808 [30] F.博利；A.吉林；C.Villani，非紧空间上经验测度的定量集中不等式，概率论及相关领域，137，541-593（2007）·Zbl 1113.60093号 ·doi:10.1007/s00440-006-0004-7 [31] M.Breton；S.El Hachem，求解随机动态极大极小问题的算法，计算优化与应用，4，317-345（1995）·Zbl 0844.90059号 ·doi:10.1007/BF01300861 [32] M.Breton；S.El Hachem，解决随机动态极大极小问题的情景聚合算法，《随机与随机报告》，53，305-322（1995）·Zbl 0857.90146号 ·doi:10.1080/17442509508833994 [33] G.C.Calafiore，模糊风险度量和最优稳健投资组合，SIAM优化杂志，18，853-877（2007）·Zbl 1154.91022号 ·doi:10.1137/060654803 [34] G.C.Calafiore；L.El-Gaoui，关于分布鲁棒机会约束线性规划，最优化理论与应用杂志，130，1-22（2006）·Zbl 1143.90021号 ·数字对象标识代码：10.1007/s10957-006-9084-x [35] R.Chen；I.C.Paschalidis，基于分布稳健优化的回归模型稳健学习方法，机器学习研究杂志，19，1-48（2018）·Zbl 1437.68149号 [36] Y.Chen；郭勇军；H.Sun；Z.Li；W.Wu；Z.Li，基于kullback-leibler发散的机组组合分布式稳健优化模型，IEEE电力系统汇刊，33，5147-5160（2018） [37] J.程；E.分层；A.Lisser，分布鲁棒随机背包问题，SIAM优化杂志，241485-1506（2014）·Zbl 1336.90071号 ·数字对象标识代码：10.1137/130915315 [38] J.Cheng；陈立阳（R.Li-Yang Chen）；H.N.纳吉姆；A.皮纳尔；C.萨夫塔；J.-P.Watson，带主成分分析的分布稳健优化，SIAM优化杂志，281817-1841（2018）·Zbl 1400.90231号 ·doi:10.1137/16M1075910 [39] A.Cherukuri；J.Cortés，协同数据驱动分布式稳健优化，IEEE自动控制事务，65，4400-4407（2019）·Zbl 07320020号 [40] V.K.Chopra和W.T.Ziemba，均值、方差和协方差误差对最优投资组合选择的影响，英寸财务决策基础手册：第一部分《世界科学》（2013），第365-373页。 [41] K.L.Clarkson；E.哈赞；D.P.Woodruff，机器学习的次线性优化，ACM杂志（JACM），59，1-49（2012）·Zbl 1281.68177号 ·doi:10.1145/2371656.2371658 [42] A.R.连接；N.I.Gould，半无限规划的精确罚函数，数学规划，37，19-40（1987）·Zbl 0623.90069号 ·doi:10.1007/BF02191681文件 [43] T.M.Cover和J.A.Thomas，信息论要素第2版，威利在线图书馆，霍博肯，2012年。 [44] G.B.Dantzig，《不确定性下的线性规划》，管理科学，501764-1769（2004）·Zbl 1163.90646号 ·doi:10.1287/opre.50.1.42.17798 [45] E.del Barrio；杜松子酒；C.Matrán，经验分布和真实分布之间wasserstein距离的中心极限定理，《概率年鉴》，271009-1071（1999）·Zbl 0958.60012号 ·doi:10.1214/aop/1022677394 [46] E.延迟；Y.Ye，矩不确定性下的分布稳健优化及其在数据驱动问题中的应用，运筹学，58595-612（2010）·Zbl 1228.90064号 ·doi:10.1287/opre.1090.0741 [47] S.Dharmadhikari和K.Joag-Dev，单峰性、凸性和应用爱思唯尔出版社，1988年·Zbl 0646.62008号 [48] T.丁；R.Fukasawa；J.Luedtke，机会约束车辆路径问题的精确算法，数学规划，172105-138（2018）·Zbl 1406.90079号 ·doi:10.1007/s10107-017-1151-6 [49] X.V.Doan；十、李；K.Natarajan，使用重叠边际的投资组合优化中依赖性的稳健性，运筹学，631468-1488（2015）·Zbl 1347.91227号 ·doi:10.1287/opre.2015.1424 [50] N.Du；刘毅（Y.Liu）；刘彦，基于wasserstein模糊集的数据驱动分布式稳健投资组合优化新方法，IEEE Access，93174-3194（2021） [51] C.段；W.Fang；L.Jiang；姚力宏；J.Liu，带wasserstein度量的分布鲁棒随机约束近似ac-opf，IEEE电力系统汇刊，33，4924-4936（2018） [52] J.C.Duchi；H.Namkoong，基于方差的凸目标正则化，机器学习研究杂志，20，1-68（2019）·Zbl 1489.62193号 [53] J.C.Duchi和H.Namkoong，通过分布鲁棒优化实现性能一致的学习模型，arXiv:11810.08750·Zbl 1473.62019年 [54] J.Dupačová，《随机编程：Minimax方法》，《百科全书优化》，5327-330（2001） [55] J.Dupačová，随机线性规划问题的极小极大解,Jo asopis Pro PěstofáníMatematiky律师事务所, 091 (1966), 423-430. ·Zbl 0161.17102号 [56] J.Dupačová，随机规划的极小极大方法和说明性应用，《随机学》，2073-88（1987）·Zbl 0616.90046号 ·doi:10.1080/7442508708833436 [57] J.Dupačová，极大极小随机规划中的不确定性，最优化，601235-1250（2011）·Zbl 1231.90301号 ·doi:10.1080/02331934.2010.532214 [58] L.El Ghaoui；H.Lebret，不确定数据最小二乘问题的稳健解，SIAM矩阵分析与应用杂志，18，1035-1064（1997）·Zbl 0891.65039号 ·doi:10.1137/S0895479896298130 [59] E.埃尔多安；G.Iyengar，模糊机会约束问题和鲁棒优化，数学规划，107，37-61（2006）·Zbl 1134.90028号 ·doi:10.1007/s10107-005-0678-0 [60] P.M.Esfahani；D.Kuhn，《使用wasserstein度量的数据驱动分布式稳健优化：性能保证和易处理的重新计算》，《数学规划》，171115-166（2018）·Zbl 1433.90095 ·doi:10.1007/s10107-017-1172-1 [61] F.Farnia；D.Tse，监督学习的极大极小方法，神经信息处理系统进展，29，4240-4248（2016） [62] L.Faury；U.Tanielian；E.多马托布；E.斯米尔诺娃；F.Vasile，分布稳健的反事实风险最小化，《AAAI人工智能会议论文集》，34，3850-3857（2020） [63] N.Fournier；A.Guillin，《关于经验测度的wasserstein距离的收敛速度》，《概率论及相关领域》，162707-738（2015）·Zbl 1325.60042号 ·doi:10.1007/s00440-014-0583-7 [64] D.Fouskakis；D.Draper，《随机优化：综述》，《国际统计评论》，70315-349（2002）·Zbl 1217.62003年 [65] C.弗罗格纳；S.Claici；E.Chien；J.Solomon，《将未标记数据纳入分布式稳健学习》，《机器学习研究杂志》，22，1-46（2021）·Zbl 07370573号 [66] V.加布里埃尔；C.穆拉特；A.Thiele，稳健优化的最新进展：概述，《欧洲运筹学杂志》，235，471-483（2014）·Zbl 1305.90390号 ·doi:10.1016/j.ejor.2013.09.036 [67] G.加列戈；I.Moon，《免费分发报童问题：回顾与扩展》，《运筹学学会杂志》，44825-834（1993）·Zbl 0781.90029号 [68] R.Gao、，wasserstein分布鲁棒优化的有限样本保证：打破维数诅咒，arXiv:2009.04382。 [69] R.Gao和A.J.Kleywegt，基于wasserstein距离的分布鲁棒随机优化，arXiv:1604.02199。 [70] R.Gao和A.J.Kleywegt，具有依赖结构的分布鲁棒随机优化，arXiv:1701.04200。 [71] R.Gao、L.Xie、Y.Xie和H.Xu，基于wasserstein不确定性集的稳健假设检验，英寸NeurIPS公司, (2018), 7913-7923. [72] L.E.Ghaoui；M.Oks；F.Oustry，《最坏情况下的价值风险和稳健投资组合优化：圆锥规划方法》，运筹学，51，543-556（2003）·Zbl 1165.91397号 ·数字对象标识代码：10.1287/opre.51.443.16101 [73] S.Ghosal；W.Wiesemann，《分布式鲁棒机会约束车辆路径问题》，运筹学，68，716-732（2020）·Zbl 1445.90009号 ·doi:10.1287/opre.2019.1924年 [74] A.L.Gibbs；F.E.Su，《关于选择和限定概率指标》，《国际统计评论》，70，419-435（2002）·Zbl 1217.62014年 [75] M.阿拉斯。戈伯纳和M.A.López，半有限规划：最新进展，施普林格科学与商业媒体，2013。 [76] J.Goh；M.Sim，《分布稳健优化及其可处理近似》，运筹学，58902-917（2010）·Zbl 1228.90067号 ·doi:10.1287/opre.1090.795 [77] I.J.Goodfellow、J.Shlens和C.Szegedy，解释和利用对抗性示例，arXiv:1412.6572。 [78] 郭树清；H.Xu；L.Zhang，具有分布稳健二阶优势约束的随机程序的概率近似方案，优化方法和软件，32，770-789（2017）·Zbl 1381.90062号 ·doi:10.1080/10556788.2016.1175003 [79] V.Gupta，分布稳健优化的近最优贝叶斯模糊集，《管理科学》，65，4242-4260（2019） [80] S.公司。古斯塔夫森，半无限规划：线性问题的方法，英寸优化百科全书施普林格，（2009），3424-3429。 [81] G.A.Hanasusanto；D.Kuhn，基于wasserstein balls的两阶段分布鲁棒线性规划的二次锥规划重构，运筹学，66849-869（2018）·Zbl 1455.90121号 ·doi:10.1287/opre.2017.1698 [82] G.A.Hanasusanto；D.库恩；S.W.华莱士；S.Zymler，《具有多模态需求分布的分布稳健多项目新闻供应商问题》，《数学规划》，152，1-32（2015）·Zbl 1327.90153号 ·doi:10.1007/s10107-014-0776-y [83] G.A.Hanasusanto；V.罗伊奇；D.库恩；W.Wiesemann，《不确定性量化和机会约束规划的分布稳健观点》，《数学规划》，151，35-62（2015）·Zbl 1328.90090号 ·doi:10.1007/s10107-015-0896-z [84] R.Hettich、A.Kaplan和R.Tichatschke，半无限规划：数值方法，英寸优化百科全书施普林格，（2009），3429-3434。 [85] R.Hettich；K.O.Kortanek，《半无限规划：理论、方法和应用》，SIAM评论，35180-429（1993）·Zbl 0784.90090号 ·doi:10.1137/1035089 [86] Z.Hu和L.J.Hong，Kullback-leibler发散约束分布鲁棒优化，在Optimization Online上提供。 [87] 黄光裕；H.Yang；I.国王；M.R.Lyu；L.Chan，最小误差最小最大概率机器，机器学习研究杂志，51253-1286（2004）·兹比尔1222.62071 [88] G.婴儿，求解大规模随机线性规划的不确定性规划《技术报告》，斯坦福大学，1992年。 [89] K.Isii，《关于切比雪夫型不等式的尖锐性》，《统计数学研究所年鉴》，第14期，185-197页（1962年）·Zbl 0245.60014号 ·doi:10.1007/BF02868641 [90] R.Ji和M.A.Lejeune，基于wasserstein度量的数据驱动分布鲁棒机会约束优化,全球优化杂志，（2020），1-33。 [91] R.Jiang；关毅，数据驱动机会约束随机规划，数学规划，158291-327（2016）·Zbl 1346.90640号 ·doi:10.1007/s10107-015-0929-7 [92] R.Jiang；关勇，具有分布模糊性的风险规避两阶段随机规划，运筹学，661390-1405（2018）·Zbl 1455.90114号 ·doi:10.1287/opre.2018.1729 [93] R.Jiang、M.Ryu和G.Xu，基于wasserstein balls的数据驱动分布式鲁棒预约调度，arXiv:1907.03219。 [94] P.Kall、S.W.Wallace和P.Kall，随机规划斯普林格出版社，1994年·Zbl 0812.90122号 [95] Z.Kang；十、李；Z.Li；S.Zhu，分布模糊下的数据驱动稳健均值-方差投资组合选择，Quantitative Finance，19，105-121（2019）·Zbl 1407.91225号 ·网址：10.1080/14697688.2018.1466057 [96] L.V.Kantorovich，《论物质的易位》，《数学科学杂志》，1331381-1382（2006）·Zbl 1080.49507号 ·doi:10.1007/s10958-006-0049-2 [97] D.Klabjan；D.Simchi-Levi；M.Song，《利用直方图进行稳健随机批量计算》，《生产和运营管理》，22，691-710（2013） [98] Ç. 科萨伊特；G.Iyengar；D.库恩；W.Wiesemann，《分布稳健机制设计》，《管理科学》，66，159-189（2020） [99] D.Kuhn、P.M.Esfahani、V.A.Nguyen和S.Shafieezadeh-Abadeh，Wasserstein分布鲁棒优化：机器学习理论与应用，英寸分析时代的运筹学与管理学《信息》，（2019），130-166。 [100] S.Kullback，信息论与统计学，Courier Corporation，Mineola，1997年·Zbl 0897.62003号 [101] G.Lanckriet、L.E.Ghaoui、C.Bhattacharyya和M.I.Jordan，极小极大概率机，英寸神经信息处理系统研究进展, (2001), 801-807. [102] G.R.兰克里特；L.E.Ghaoui；C.巴塔查里亚；M.I.Jordan，《稳健的极小极大分类方法》，《机器学习研究杂志》，3555-582（2002）·Zbl 1084.68657号 ·doi:10.1162/153244303321897726 [103] H.J.Landau，最大熵和矩问题，美国数学学会公报，16，47-77（1987）·Zbl 0617.42004号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1987-15464-4 [104] C.Lee和S.Mehrotra，一种寻找支持向量机的分布式ro-blast方法, 2015. [105] S.Lee、H.Kim和I.Moon，具有wasserstein模糊集的数据驱动分布式稳健新闻供应商模型,运筹学学会杂志, (2020), 1-19. [106] D.Levy、Y.Carmon、J.C.Duchi和A.Sidford，分布稳健优化的大尺度方法,神经信息处理系统研究进展, 33. [107] A.S.Lewis；C.J.Pang，鲁棒正则化的Lipschitz行为，SIAM控制和优化杂志，483080-3104（2010）·Zbl 1202.49047号 ·doi:10.1137/08073682X文件 [108] 李俊彦；R.H.Kwon，《模型不确定性下的投资组合选择：基于惩罚矩的优化方法》，《全球优化杂志》，第56期，第131-164页（2013年）·Zbl 1272.90038号 ·doi:10.1007/s10898-012-9969-1 [109] G.D.Lin，《当下问题的最新发展》，《统计分布与应用杂志》，4，1-17（2017）·Zbl 1386.60058号 [110] Q.Lin；R.Loxton；K.L.Teo；Y.H.吴；C.Yu，半无限规划问题的一种新的精确惩罚方法，计算与应用数学杂志，261271-286（2014）·Zbl 1278.90410号 ·doi:10.1016/j.cam.2013.11.010 [111] J.Liu；Z.Chen；A.Lisser；徐志明，均值和方差未知的分布稳健均值-方差问题的闭式最优投资组合，应用数学与优化，79671-693（2019）·兹伯利1417.49032 ·doi:10.1007/s00245-017-9452-y [112] 刘毅（Y.Liu）；R.Meskarian；H.Xu，带力矩约束的分布稳健回报风险比优化，SIAM优化杂志，27957-985（2017）·Zbl 1365.90179号 ·doi:10.1137/16M106114X [113] F.Luo；S.Mehrotra，使用wasserstein度量的分布稳健优化分解算法及其在一类回归模型中的应用，《欧洲运筹学杂志》，27820-35（2019）·Zbl 1430.90557号 ·doi:10.1016/j.ejor.2019.03.008 [114] C.Lyu、K.Huang和H.-N.Liang，对抗性例子的统一梯度正则化族，英寸2015 IEEE数据挖掘国际会议，IEEE，（2015），301-309。 [115] A.Majumdar；G.霍尔；A.A.Ahmadi，《机器学习、控制和机器人应用中半定规划的近期可扩展性改进》，《控制、机器人和自治系统年度回顾》，第331-360页（2020年） [116] S.Mehrotra；D.Papp，半无限凸规划的切割面算法及其在力矩稳健优化中的应用，SIAM优化杂志，241670-1697（2014）·Zbl 1330.90119号 ·doi:10.1137/130925013 [117] S.Mehrotra；H.Zhang，分布稳健最小二乘问题的模型和算法，数学规划，146123-141（2014）·Zbl 1293.93790号 ·doi:10.1007/s10107-013-0681-9 [118] R.O.Michaud，markowitz优化之谜：“优化”是否最优？，《金融分析师杂志》，45，31-42（1989） [119] H.穆斯塔菲；S.Kordnourie，概率度量及其应用，应用数学科学，5181-192（2011）·Zbl 1235.60007号 [120] H.Namkoong；J.C.Duchi，具有f-diversions的分布鲁棒优化的随机梯度方法，NIPS，2922208-2216（2016） [121] K.Natarajan；M.Sim；J.Uichanco，投资组合优化的可追踪稳健预期效用和风险模型，《数学金融：国际数学、统计和金融经济学杂志》，20，695-731（2010）·Zbl 1232.91633号 ·数字对象标识代码：10.1111/j.1467-9965.2010.00417.x [122] K.Natarajan；C.-P.Teo，关于二阶矩界的约化半定程序及其应用，数学规划，161487-518（2017）·Zbl 1360.90191号 ·doi:10.1007/s10107-016-1019-1 [123] A.内米洛夫斯基；A.朱迪茨基；G.Lan；A.Shapiro，随机规划的稳健随机近似方法，SIAM优化杂志，19，1574-1609（2009）·Zbl 1189.90109号 ·doi:10.1137/070704277 [124] A.内米洛夫斯基；A.Shapiro，机会约束程序的凸近似，SIAM优化杂志，17，969-996（2007）·Zbl 1126.90056号 ·数字对象标识代码：10.1137/050622328 [125] V.A.Nguyen、D.Kuhn和P.M.Esfahani，分布稳健的逆协方差估计：wasserstein收缩估计，arXiv:1805.07194。 [126] V.A.Nguyen、S.Shafieezadeh-Abadeh、D.Kuhn和P.M.Esfahani，基于wasserstein分布稳健优化的贝叶斯和极小极大均方误差估计，arXiv:1911.03539。 [127] G.C.Pflug和A.Pichler，概率分布和随机优化问题的逼近，英寸金融与能源中的随机优化方法，施普林格，2011343-387·Zbl 1405.90093号 [128] R.R.菲尔普斯，Choquet定理讲座《施普林格科学与商业媒体》，2001年·Zbl 0997.46005号 [129] A.B.Philpott；V.L.de Matos；L.Kapelevich，分布式稳健sddp，《计算管理科学》，第15期，第431-454页（2018年）·Zbl 1483.90098号 ·doi:10.1007/s10287-018-0314-0 [130] I.Popescu，凸分布类最佳矩界的半定规划方法，运筹学数学，30632-657（2005）·Zbl 1082.60011号 ·doi:10.1287/门.1040.0137 [131] I.Popescu，随机优化的稳健均值-方差解，运筹学，55，98-112（2007）·Zbl 1167.90611号 ·doi:10.1287/opre.1060.353 [132] K.Postek；D.den Hertog；B.Melenberg，《风险度量的分布稳健约束的计算可处理对等项》，SIAM Review，58，603-650（2016）·Zbl 1349.90767号 ·doi:10.1137/151005221 [133] H.拉希米安；G.Bayraksan；T.Homem-de Mello，识别具有总变差距离的分布稳健随机程序中的有效场景，数学规划，173，393-430（2019）·Zbl 1410.90142号 ·doi:10.1007/s10107-017-1224-6 [134] H.Rahimian和S.Mehrotra，分布稳健优化：综述，arXiv:1908.05659。 [135] M.Riis；K.A.Andersen，《在随机追索权计划中应用极小极大准则》，《欧洲运筹学杂志》，165569-584（2005）·Zbl 1062.90043号 ·doi:10.1016/j.ejor.2003.09.033 [136] Y.Rubner；C.托马西；L.J.Guibas，《推土机距离作为图像检索的度量标准》，《国际计算机视觉杂志》，40，99-121（2000）·兹比尔1012.68705 ·doi:10.1007/3-540-46238-42 [137] N.Rujeerapaiboon；D.库恩；W.Wiesemann，稳健增长优化投资组合，《管理科学》，622090-2109（2016） [138] N.Rujeerapaiboon；D.库恩；W.Wiesemann，随机变量乘积的切比雪夫不等式，运筹学数学，43887-918（2018）·Zbl 1433.60011号 ·doi:10.1287/门.2017.0888 [139] 吕申多夫，多元边缘分布的界,课堂讲稿-专题系列, (1991), 285-310. ·Zbl 0760.60019号 [140] H.围巾，库存问题的最小最大解,库存与生产的数学理论研究. [141] S.Shafieezadeh-Abadeh；D.库恩；P.M.Esfahani，《通过大众运输实现规则化》，《机器学习研究杂志》，2019年第20期，第1-68页·Zbl 1434.68450号 [142] S.Shafieezadeh Abadeh；P.M.Mohajerin Esfahani；D.Kuhn，分布鲁棒逻辑回归，神经信息处理系统进展，281576-1584（2015） [143] S.Shafieezadeh-Abadeh、V.A.Nguyen、D.Kuhn和P.M.Esfahani，Wasserstein分布鲁棒卡尔曼滤波，英寸神经信息处理系统研究进展第31卷，Curran Associates，Inc.，2018年，8474-8483。 [144] U.Shaham；Y.Yamada；S.Negahban，《理解对抗性训练：通过稳健优化提高监督模型的局部稳定性》，神经计算，307195-204（2018） [145] S.Shalev-Shwartz和Y.Wexler，最大限度地减少损失：如何和为什么，英寸机器学习国际会议，PMLR，2016793-801。 [146] C.尚；F.You，《不确定性下规划和调度的分布稳健优化》，计算机与化学工程，110，53-68（2018） [147] A.夏皮罗，关于二次曲线线性问题的对偶理论，英寸半无限规划马萨诸塞州波士顿斯普林格，2001135-165·Zbl 1055.90088号 [148] A.Shapiro，随机程序的最坏情况分布分析，数学规划，107，91-96（2006）·Zbl 1149.90112号 ·doi:10.1007/s10107-005-0680-6 [149] A.Shapiro，《半无限规划、对偶、离散化和最优性条件》，《优化》，58133-161（2009）·兹比尔1158.90410 ·doi:10.1080/02331930902730070 [150] A.Shapiro，分布稳健随机规划，SIAM优化杂志，27，2258-2275（2017）·Zbl 1373.90089 ·doi:10.1137/16M1058297 [151] A.Shapiro，风险中性、分布稳健和风险规避多阶段随机规划教程，《欧洲运筹学杂志》，288，1-13（2020）·Zbl 1487.90506号 ·doi:10.1016/j.ejor.2020.03.065 [152] A.夏皮罗；S.Ahmed，关于一类极大极小随机规划，SIAM优化杂志，14，1237-1249（2004）·Zbl 1073.90027号 ·doi:10.137/S105262340334012 [153] A.Shapiro、D.Dentcheva和A.Ruszczynski，随机规划讲座：建模与理论第2版，宾夕法尼亚州费城SIAM，2014年·兹比尔1302.90003 [154] A.夏皮罗；A.Kleywegt，随机问题的Minimax分析，优化方法和软件，17，523-542（2002）·Zbl 1040.90030号 ·doi:10.1080/1055678021000034008 [155] K.S.Shehadeh；A.E.科恩；R.Jiang，门诊结肠镜检查计划的分布式稳健优化方法，《欧洲运筹学杂志》，283549-561（2020）·Zbl 1431.90075号 ·doi:10.1016/j.ejor.2019.11.039 [156] A.Sinha、H.Namkoong和J.Duchi，用原则对抗训练证明某些分布稳健性，英寸学习代表国际会议, 2018. [157] J.E.Smith，广义切比雪夫不等式：决策分析的理论和应用，运筹学，43807-825（1995）·Zbl 0842.90002号 ·doi:10.1287/opre.43.5.807 [158] J.E.Smith；R.L.Winkler，《优化器的诅咒：决策分析中的怀疑主义和决策后惊喜》，《管理科学》，第52期，第311-322页（2006年） [159] A.M.-C.So，随机矩阵和的矩不等式及其在优化中的应用，数学规划，130，125-151（2011）·Zbl 1231.60007号 ·doi:10.1007/s10107-009-0330-5 [160] A.L.Soyster，集非决定性约束的凸规划及其在不精确线性规划中的应用，运筹学，211154-1157（1973）·Zbl 0287.90015号 ·doi:10.1287/opre.22.4892 [161] G.尽管如此，具有无穷多约束的优化问题,Buletinul tiinific al Universitatii Baia Mare，Seria B，Fasicola matematică-informattică, 18 (2002), 343-354. ·Zbl 1078.90059号 [162] T.Strohmann和G.Z.Grudic，极小极大概率机回归公式，英寸NIPS公司，Citeser，2002769-776。 [163] H.Sun；H.Xu，分布稳健优化与均衡问题的收敛分析，运筹学数学，41377-401（2016）·Zbl 1338.90288号 ·doi:10.1287/门2015.0732 [164] S.Takriti和S.Ahmed，不确定性下的短期电力合同管理：一种极大极小方法, 2002. [165] B.P.Van Parys、P.M.Esfahani和D.Kuhn，从数据到决策：分布稳健优化是最优的,管理科学，（2020），预印本。 [166] B.P.Van Parys公司；P.J.Goulart；D.Kuhn，通过半定规划的广义高斯不等式，数学规划，156271-302（2016）·Zbl 1351.90125号 ·doi:10.1007/s10107-015-0878-1 [167] B.P.Van Parys；P.J.Goulart；M.Morari，结构化分布的分布稳健期望不等式，数学规划，173251-280（2019）·Zbl 1410.90231号 ·doi:10.1007/s10107-017-1220-x [168] L.Vandenberghe；S.Boyd，半定规划，SIAM评论，38，49-95（1996）·Zbl 0845.65023号 ·数字对象标识代码：10.1137/1038003 [169] L.Vandenberghe；S.Boyd；K.Comanor，通过半定规划的广义切比雪夫界，SIAM Review，49，52-64（2007）·Zbl 1151.90512号 ·doi:10.1137/S0036144504440543 [170] C.维拉尼，最佳交通：新旧，第338卷，施普林格科学与商业媒体，2008年。 [171] M.R.Wagner，有限分布信息下的随机0-1线性规划，运筹学快报，36150-156（2008）·Zbl 1163.90688号 ·doi:10.1016/j.orl.2007.07.003 [172] A.Wald，《最大风险最小化的统计决策函数》，《数学年鉴》，46，265-280（1945）·Zbl 0063.08126号 ·doi:10.2307/1969022 [173] A.Wald，统计决策函数，英寸统计学的突破，施普林格，1992342-357。 [174] C.王；R.Gao；F.Qiu；J.Wang；L.Xin，基于风险的配电稳健最优潮流与动态线路额定值，IEEE电力系统交易，33，6074-6086（2018） [175] C.王；R.Gao；魏伟；M.Shafie-khah；T.Bi；J.P.Catalao，基于风险的分布稳健最优燃气潮流与瓦瑟斯坦距离，IEEE电力系统汇刊，342190-2204（2018） [176] S.Wang；Y.Yuan，半无限规划的可行方法，SIAM优化杂志，25，2537-2560（2015）·Zbl 1329.90148号 ·数字对象标识代码：10.1137/140982143 [177] Z.Wang；K.You；宋楚瑜；Y.Zhang，Wasserstein分布鲁棒最短路径问题，《欧洲运筹学杂志》，284，31-43（2020）·Zbl 1441.90113号 ·doi:10.1016/j.ejor.2020.01.009 [178] Z.Wang；P.W.Glynn；Y.Ye，数据驱动问题的似然稳健优化，计算管理科学，13，241-261（2016）·Zbl 1397.90225号 ·doi:10.1007/s10287-015-0240-3 [179] W.Wiesemann；D.库恩；B.Rustem，稳健马尔可夫决策过程，运筹学数学，38，153-183（2013）·兹比尔1291.90295 ·doi:10.1287/门1120.0566 [180] W.Wiesemann；D.库恩；M.Sim，分布稳健凸优化，运筹学，621358-1376（2014）·Zbl 1327.90158号 ·doi:10.1287/opre.2014.1314 [181] L.A.Wolsey，整数编程，威利在线图书馆，1998年·Zbl 0930.90072号 [182] D.Wozabal，线性投资组合的稳健凸风险度量：非参数方法，运筹学，621302-1315（2014）·Zbl 1358.91116号 ·doi:10.1287/操作2014.1323 [183] H.Xu；C.卡拉马尼斯；S.Mannor，支持向量机的稳健性和正则化，机器学习研究杂志，101485-1510（2009）·Zbl 1235.68209号 [184] H.Xu；C.卡拉马尼斯；S.Mannor，鲁棒回归和套索，IEEE信息理论汇刊，563561-3574（2010）·Zbl 1366.62147号 ·doi:10.1109/TIT.2010.2048503 [185] H.Xu；C.卡拉马尼斯；S.Mannor，稳健优化的分布解释，运筹学数学，37，95-110（2012）·Zbl 1243.90167号 ·doi:10.1287/门1110.0531 [186] H.Xu；刘毅（Y.Liu）；H.Sun，矩阵矩约束下的分布稳健优化：拉格朗日对偶和割平面方法，数学规划，169489-529（2018）·Zbl 1391.90449号 ·doi:10.1007/s10107-017-1143-6 [187] 徐先生；吴素妍（S.-Y.Wu）；J.Y.Jane，用平滑投影梯度法求解半无限程序，计算优化与应用，59591-616（2014）·Zbl 1308.65101号 ·doi:10.1007/s10589-014-9654-z [188] I.Yang，带wasserstein距离的分布鲁棒马尔可夫决策过程的凸优化方法，IEEE控制系统快报，1164-169（2017） [189] I.Yang，Wasserstein分布式鲁棒随机控制：数据驱动方法，IEEE自动控制汇刊，1-8（2020） [190] X.Yang；Z.Chen；J.Zhou，基于低阶精确罚函数的半无限和广义半无限规划的最优性条件，优化理论与应用杂志，169984-1012（2016）·Zbl 1342.49032号 ·doi:10.1007/s10957-016-0914-1 [191] Y.Ye先生，内点算法：理论与分析John Wiley&Sons，2011年。 [192] M.Yildirim先生；X.A.Sun；N.Z.Gebraeel，传感器驱动的基于条件的发电机维护计划——第i部分：维护问题，IEEE电力系统交易，314253-4262（2016） [193] J.Yue；B.陈；M.-C.Wang，新闻供应商问题的分销信息期望值，运筹学，54，1128-1136（2006）·Zbl 1167.90364号 ·doi:10.1287/opre.1060.318 [194] Y.Zhang；R.Jiang；S.Shen，均值-方差信息下的模糊机会约束二进制程序，SIAM优化杂志，282922-2944（2018）·兹比尔1401.90140 ·doi:10.1137/17M1158707 [195] Y.Zhang；宋楚瑜；Z.-J.M.Shen；C.Wu，具有分布不确定性的鲁棒最短路径问题，IEEE智能交通系统交易，20171080-1090（2017） [196] A.周；杨先生；王先生；Y.Zhang，基于wasserstein距离的分布鲁棒随机约束调度的线性规划近似，IEEE电力系统汇刊，35，3366-3377（2020） [197] 朱总；J.Zhang；Y.Ye，《有限分销信息下的新闻供应商优化》，《优化方法与软件》，28，640-667（2013）·Zbl 1266.90031号 ·doi:10.1080/10556788.2013.768994 [198] 邹勇军；S.Ahmed；孙晓安，随机对偶动态整数规划，数学规划，175461-502（2019）·Zbl 1412.90101号 ·doi:10.1007/s10107-018-1249-5 [199] S.Zymler；D.库恩；B.Rustem，具有二阶矩信息的分布稳健联合机会约束，《数学规划》，137167-198（2013）·Zbl 1286.90103号 ·doi:10.1007/s10107-011-0494-7 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。