谢尔盖·加什科夫（Serge Gashkov，Borisovich）;谢尔盖夫，伊戈尔·谢尔盖维奇 乘法。 （俄语。英文摘要） Zbl 1455.68294号 切比雪夫斯基。 21，第1号（73），101-134（2020）. 概述：本文概述了数字和多项式快速乘法理论的现代状况。我们考虑乘法方法的发展，从上世纪60年代由Karatsuba和Toom提出的初始块算法，到20世纪70年代基于离散傅里叶变换（DFT）的方法，再到2007年至2009年发明的新方法。现代乘法结合了特殊代数结构的利用、近似计算的使用、特殊形式的傅里叶变换，即多维DFT、DFT的加法模拟。这些和其他对快速乘法算法至关重要的概念在本调查中进行了深入讨论。特别是，我们介绍了DFT理论，并推导了必要的事实。调查的最后部分简要讨论了并行乘法算法的结果、基本方法的准确复杂度界限、在线乘法算法、有限域上多项式乘法的乘法复杂度。我们提到乘法具有线性或二次复杂性的计算模型。 引用于1文件 MSC公司： 68瓦40 算法分析 2016年11月 数字理论算法；复杂性 65T50型 离散和快速傅里叶变换的数值方法 6504年 计算机算术的数值算法等。 关键词：调查文件;快速计算;乘法;复杂性;离散傅立叶变换;加性DFT PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.B.Gashkov}和\textit{I.S.Sergeev}，切比雪夫斯基，第21卷，第1期（73），第101-134页（2020；Zbl 1455.68294） 全文： MNR公司 参考文献： [1] Aho A.V.，Hopcroft J.E.，Ullman J.D.，计算机算法的设计和分析，马萨诸塞州雷丁市Addison Wesley，1976·Zbl 0326.68005号 [2] Blahut R.E.，数字信号处理的快速算法，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1985年·Zbl 0579.94001号 [3] Vlasenko V.A.，Lappa Yu。M.，Jaroslavsky L.P.，《设计快速卷积算法和频谱信号分析的方法》，Nauka，M.，1990年（俄语）·Zbl 0711.42021号 [4] Gashkov S.B.，“关于多项式快速乘法、傅里叶变换和哈特利变换的备注”，《离散数学》。和申请。，12:3 (2000), 124-153 ·Zbl 1001.11060号 [5] Gashkov S.B.、Sergeev I.S.，“快速傅里叶变换算法”，离散数学及其应用。五、 Keldysh Inst.Appl.公司。数学。，M.，2009，3-23（俄语） [6] Gashkov S.B.、Sergeev I.S.，“关于特征2有限域上乘法和反演布尔电路的复杂性和深度”，《离散数学》。和申请。，23:1 (2013), 1-37 ·Zbl 1283.94160号 ·doi:10.1515/dma-2013-001 [7] Grinchuk M.I.，“锐化加法器和比较器深度的上限”，J.Appl。和工业。数学。，3:1 (2009), 61-67 ·Zbl 1249.94079号 [8] Karatsuba A.A.，Ofman Yu。P.，“自动机上多位数的乘法”，苏联物理学Doklady，7（1963），595-596 [9] Karatsuba A.A.，“计算的复杂性”，Proc。斯特克洛夫数学研究所。，211（1995），169-183·Zbl 0872.68068号 [10] Karatsuba A.A.，“对我自己写的作品的评论”，Proc。斯特克洛夫数学研究所。，282，补充1（2013），S1-S23·兹伯利1302.01045 ·doi:10.1134/S0081543813070018 [11] Knuth D.E.，《计算机编程艺术》，第2版，半数值算法，第3版，Addison-Wesley Longman，Reading，马萨诸塞州，1998年·Zbl 0895.68054号 [12] Lupanov O.B.，控制系统复杂性的渐近界限，莫斯科。戈斯。M.大学，1984年（俄语） [13] Lupanov O.B.，“A.N.Kolmogorov与电路复杂性理论”，控制论数学问题，17，Fizmatlit，M.，2008，5-12（俄语） [14] Nussbaumer H.J.，《快速傅里叶变换和卷积算法》，第二版，施普林格，柏林-海德堡，1982年·Zbl 0476.65097号 [15] Red’kin N.P.，“二进制加法器的最小实现”，控制论问题，38，Nauka，M.，1981，181-216（俄语）·Zbl 0547.94017号 [16] Sergeev I.S.，“多项式乘法和截断傅里叶变换复杂性的常规估计”，应用离散数学，2011年，第4期（14），72-88页（俄语）·Zbl 1477.68108号 [17] Sergeev I.S.，“对称布尔函数深度的上界”，Univ.Comput。数学。和控制论，37:4（2013），195-201·Zbl 1353.94094号 [18] Sergeev I.S.，“关于标准电路复杂性和整数乘法的Karatsuba方法”，Proc。第22届国际科学-《信息工具和技术》，第3版，Izd。dom MEI，M.，2014，180-187（俄语）；2016年，arXiv： [19] 谢尔盖夫·I.S.，“对称布尔函数公式的复杂性和深度”，莫斯科大学数学系。公报，71:3（2016），127-130·Zbl 1353.94095号 ·doi:10.3103/S0027132216030098 [20] Sergeev I.S.，“关于复杂DFT的真实复杂性”，《信息传输问题》，53:3（2017），284-293·Zbl 06872294号 ·doi:10.1134/S0032946017030103 [21] Slisenko A.O.，“计算理论中的复杂性问题”，俄罗斯数学。调查，36:6（1981），23-125·Zbl 0501.68013号 ·doi:10.1070/RM1981v036n06ABEH003102 [22] Toom A.L.，“实现整数乘法的函数元素方案的复杂性”，苏联数学。多克拉迪，3（1963），714-716·Zbl 0203.15604号 [23] Khrapchenko V.M.，“并行加法器加法时间的渐近估计”，系统理论研究，19（1970），105-122 [24] Khrapchenko V.M.，“乘法时间的一些估计”，控制论问题，33，Nauka，M.，1978，221-227（俄语）·Zbl 0414.94045号 [25] Chashkin A.V.，离散数学，Akademiya，M.，2012年（俄语） [26] Shkalikova N.A.，“关于蜂窝电路实现某些功能的复杂性”，数学论文选集。控制论，1，Izd。维奇尔。Ts.AN SSSR，M.，1976，102-115（俄语） [27] 阿德曼L。 M.、Pomerance C.、Rumely R。 美国，“区分质数和复合数”，《数学年鉴》，第二辑，117:1（1983），173-206·兹伯利0526.10004 ·doi:10.2307/2006975 [28] 阿加瓦尔·R。 C.、Cooley J。 W.，“数字卷积的新算法”，IEEE Trans。关于ASSP，25:5（1977），392-410·Zbl 0413.65087号 ·doi:10.1109/TASSP.1977.1162981 [29] Arnold A.，“一种新的截断傅里叶变换算法”，Proc。国际交响乐团。符号与代数比较。（波士顿，2013），ACM，纽约，2013，15-22·Zbl 1360.65312号 [30] Avizienis A.，“快速并行算术的有符号数字表示法”，IRE Trans。关于Elector。计算机，EC10（1961），389-400·doi:10.1109/TEC.1961.5219227 [31] Ballet S.，Chaumine J.，Pieltant J.，Rolland R.，关于有限域乘法的张量秩，2011，arXiv:·Zbl 1318.11162号 [32] 伯恩斯坦·D·。 J.，“快速乘法及其应用”，算法数论，MSRI出版社。，44，ACM，纽约，2008，325-384·Zbl 1208.68239号 [33] 伯恩斯坦·D·。 J.，Chou T.，“更快的二进制场乘法和更快的二进制域MAC”，《计算机讲义》。科学。，8781, 2014, 92-111 ·Zbl 1382.94063号 ·doi:10.1007/978-3-319-13051-46 [34] 布鲁斯坦。 I.，“计算离散傅里叶变换的线性滤波方法”，ECCC Trans。音频和电声学，18:4（1970），451-455·doi:10.1109/TAU.1970.1162132 [35] 康托·D。 G.，“关于有限域上的算术算法”，J.Comb。理论。A系列，50（1989），285-300·Zbl 0696.12013号 ·doi:10.1016/0097-3165（89）90020-4 [36] Cantor D.，Kaltoffen E.，“关于任意代数上多项式的快速乘法”，《学报》，28:7（1991），693-701·兹比尔0766.68055 ·doi:10.1007/BF01178683 [37] Cenk M.、Hasan M。 A.，“关于二元多项式乘法的一些新结果”，J.密码工程，5:4（2015），289-303·doi:10.1007/s13389-015-0101-6 [38] Chen M.-S.，Cheng C.-M.，Kuo P.-C.，Li W.-D.，Yang B.-Y.，加法快速傅里叶变换中布尔多项式与Frobenius分区的乘法，2018，arXiv: [39] 丘德诺夫斯基D。 V.、Chudnovsky G。 V.，“有限域上的代数复杂性和代数曲线”，J.Complexity，4（1988），285-316·Zbl 0668.68040号 ·doi:10.1016/0885-064X（88）90012-X [40] 库克S.，关于函数的最小计算时间，哈佛大学博士论文，1966年 [41] 库利·J·。 W.、Tukey J。 W.，“复数傅里叶级数的机器计算算法”，数学。公司。，19:90 (1965), 297-301 ·Zbl 0127.09002号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1 [42] Crandall R.，Fagin B.，“离散加权变换和大整数算法”，数学。公司。，62:205 (1994), 305-324 ·Zbl 0839.11065号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1994-1185244-1 [43] De A.、Kurur P。 P.，Saha C.，Saptharishi R.，“使用模运算实现快速整数乘法”，SIAM J.Compute。，42:2 (2013), 685-699 ·Zbl 1271.68247号 ·数字对象标识代码：10.1137/100811167 [44] Demenkov E.、Kojevnikov A.、Kulikov A.和Yaroslavtsev G.，“对称函数布尔电路复杂性的新上界”，Inf.Proc。《信件》，110:7（2010），264-267·Zbl 1209.68274号 ·doi:10.1016/j.ipl.210.01.007文件 [45] Dutt A.，Rokhlin V.，“非等间距数据的快速傅里叶变换”，SIAM J.Sci。计算。，14:6 (1993), 1368-1393 ·Zbl 0791.65108号 ·doi:10.1137/0914081 [46] 找到M。 G.，Peralta R.，“二进制多项式乘法的更好电路”，IEEE Trans。在Comp.上。，68:4（2019），624-630·Zbl 07093706号 ·doi:10.1109/TC.2018年2874662 [47] 费舍尔·M·。 J.，Stockmeyer L.，“快速在线整数乘法”，J.Compute。和系统科学。，9（1974），317-331·Zbl 0289.68016号 ·doi:10.1016/S0022-0000（74）80047-4 [48] Fuörer M.，《关于整数乘法的复杂性（扩展摘要）》，技术报告CS-89-17，宾夕法尼亚州立大学，1989年 [49] 傅勒M.，“更快的整数乘法”，SIAM J.Compute。，39:3 (2009), 979-1005 ·Zbl 1192.68926号 ·doi:10.1137/070711761 [50] 傅勒M.，在实际的计算机上，我们能以多快的速度乘以大整数？，程序。拉丁美洲。交响乐团。关于Theor。Inf.（蒙得维的亚，2014），《公司讲义》。科学。，8392, 2014, 660-670 ·Zbl 1405.68138号 ·doi:10.1007/978-3-642-54423-1.57 [51] Gao S.，Mateer T.，“有限域上的加性快速傅里叶变换”，IEEE Trans。信息论，56（2010），6265-6272·Zbl 1367.65197号 ·doi:10.1109/TIT.2010.2079016 [52] von zur Gather J.，Gerhard J.，“（mathbb上多项式的算术和因式分解{F} _2\)“，程序。国际交响乐团。符号与代数比较。（祖里奇，1996），ACM，纽约，1996，1-9·Zbl 0920.11083号 [53] von zur Gathern J.，Gerhard J.，《现代计算机代数》，剑桥大学出版社，剑桥，1999年·Zbl 0936.11069号 [54] 很好。 J.，“交互作用算法和实用傅立叶分析”，J.R.Statist。社会学委员会，20:2（1958），361-372·Zbl 0095.13102号 [55] Harvey D.，van der Hoeven J.，Lecerf G.，“更快的整数乘法”，《复杂性杂志》，36（2016），1-30·Zbl 1350.68145号 ·doi:10.1016/j..co.2016.03.001 [56] Harvey D.，van der Hoeven J.，Lecerf G.，“有限域上的快速多项式乘法”，J.ACM，63:6（2017），52·Zbl 1426.68310号 ·数字对象标识代码：10.1145/3005344 [57] Harvey D.，van der Hoeven J.，使用分圆系数环的快速整数和多项式乘法，2017，arXiv:·2010年3月14日Zbl [58] Harvey D.，van der Hoeven J.，“使用短格向量的更快整数乘法”，Proc。第十三种算法。数论交响曲。（威斯康星州麦迪逊，2018），数学。科学。出版物。，伯克利，2019年，293-310·Zbl 07721131号 [59] Harvey D.，van der Hoeven J.，时间整数乘法（O（n\log n）），技术报告№ 02070778，HAL，2019年·Zbl 1394.68182号 [60] Harvey D.，van der Hoeven J.，时间有限域上的多项式乘法（O（n\log n）），技术报告№ 02070816，HAL，2019年·2010年3月14日Zbl [61] Haynal S.，Haynal H.，“生成和搜索FFT算法族”，J.Satisf。，布尔建模与计算。，7:4 (2011), 145-187 ·Zbl 1348.68065号 ·doi:10.3233/SAT190084 [62] 海德曼·M·。 T.，乘法复杂性理论在卷积和离散傅里叶变换中的应用，莱斯大学博士论文，1986年 [63] van der Hoeven J.，“截断傅里叶变换及其应用”，Proc。国际交响乐团。符号和代数计算。（桑坦德，2004），ACM，纽约，2004，290-296·Zbl 1064.65158号 [64] van der Hoeven J.，“更快的放松乘法”，Proc。国际交响乐团。符号与代数比较。（神户，2014），ACM，纽约，2014，405-412·Zbl 1325.68305号 [65] van der Hoeven J.，Larrieu R.，“Frobenius FFT”，Proc。国际交响乐团。符号与代数比较。（凯泽斯劳滕，2017），ACM，纽约，2017，437-444·Zbl 1464.12001年 [66] 约翰逊S。 F.，Frigo M.，“一种具有较少算术运算的改良分裂基FFT”，IEEE Trans。信号处理，55:1（2007），111-119·Zbl 1390.65168号 ·doi:10.1109/TSP.2006.882087 [67] 李伟德，陈敏生，郭培川，程春明，杨伯勇，“傅里叶加法快速傅里叶变换”，Proc。国际交响乐团。符号与代数比较。（纽约，2018），ACM，纽约，2018，263-270·Zbl 1460.65170号 [68] 伦迪·T。 J.，van Buskirk J.，“实际FFT和长度卷积的新矩阵方法”，《计算》，80:1（2007），23-45·Zbl 1138.65112号 ·doi:10.1007/s00607-007-0222-6 [69] Mateer T.，《快速傅里叶变换算法及其应用》，克莱姆森大学博士论文，2008年 [70] 帕特森·M·。 S.、Fischer M。 J.、Meyer A。 R.，在线乘法的改进重叠论证，技术报告40。MAC项目，麻省理工学院，1974年·Zbl 0301.68059号 [71] 帕特森·M·。 S.、Pippenger N.、Zwick U.，“最优进位保存网络”，布尔函数复杂性，LMS课堂笔记系列，169，剑桥大学出版社，剑桥，1992年，174-201年·Zbl 0770.94010号 [72] Paterson M.，Zwick U.，“多重加法和乘法的浅电路和简明公式”，《计算》。复杂性，3（1993），262-291·Zbl 0801.68092号 ·doi:10.1007/BF01271371 [73] De Piccoli A.、Visconti A.、Rizzo O。 G.，二元有限域上的多项式乘法：新上界，密码学ePrint Archive，№ 2018/901 [74] Pieltant J.，Randriam H.，“有限域扩张中乘法张量秩的新统一渐近上界”，数学。公司。，84 (2015), 2023-2045 ·Zbl 1351.14017号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2015-02921-4 [75] 波拉德·J·。 M.，“有限域中的快速傅里叶变换”，数学。公司。，25:114 (1971), 365-374 ·2015年12月22日 ·doi:10.1090/S0025-5718-1971-0301966-0 [76] 雷达C。 M.，“数据样本数为素数时的离散傅里叶变换”，Proc。IEEE，56（1968），1107-1108·doi:10.1109/PROC.1968.6477 [77] Randriambololona H.，“代数的双线性复杂性和Chudnovsky-Chudnovsky插值方法”，《复杂性》，28:4（2012），489-517·Zbl 1246.65260号 ·doi:10.1016/j.jco.2012.02.05 [78] Schoönhage A.，“乘法großer Zahlen”，《计算》，1:3（1966），182-196·Zbl 0196.52104号 ·doi:10.1007/BF02234362 [79] Schoönhage A.，Strassen V.，“Schnelle Multiplikation großer Zahlen”，《计算》，7:3-4（1971），271-282·Zbl 0223.68007号 [80] Schoönhage A.，“Schnelle Multiplikation von Polynomen uöber Koörpern der Charakteristik 2”，《学报》，第7期（1977年），第395-398页·Zbl 0362.65011号 ·doi:10.1007/BF00289470 [81] Schoönhage A.，“存储修改机器”，SIAM J.Compute。，9:3 (1980), 490-508 ·Zbl 0454.68034号 ·doi:10.1137/0209036 [82] Schoönhage A.，“复系数多项式数值乘除的渐近快速算法”，Proc。欧洲。计算。代数Conf.（马赛，1982年），计算机课堂讲稿。科学。，144, 1982, 3-15 ·Zbl 0538.68035号 ·doi:10.1007/3-540-11607-91 [83] 肖恩哈吉A.、格罗特菲尔德A。 F.W.，Vetter E.，《快速算法：一个多带图灵机的实现》，BI-Wisenschatsverrag，曼海姆-莱比锡-威恩-苏里奇出版社，1994年·Zbl 0853.68108号 [84] 托马斯·L·。 H.，“使用计算机解决物理问题”，《数字计算机应用》，Ginn and Co，波士顿，1963年 [85] 王毅，朱霞，“有限域上傅里叶变换的快速算法及其VLSI实现”，IEEE通信选定领域杂志，6:3（1988），572-577·doi:10.1109/49.1926年 [86] Wegener I.，布尔函数的复杂性，Wiley-Teubner，斯图加特，1987·Zbl 0623.94018号 [87] Winograd S.，“关于离散傅里叶变换的乘法复杂性”，《数学进展》。，32:2 (1979), 83-117 ·兹比尔0409.68019 ·doi:10.1016/0001-8708（79）90037-9 [88] Yavne R.，“计算离散傅里叶变换的经济方法”，Proc。秋季联合计算机会议（旧金山，1968），v.I，ACM，NY，1968，115-125 [89] Zheng W.，Li K，Li K.，“有效计算长度-（N=2^m）DFT的缩放基数-2/8算法”，IEEE Trans。信号处理。，62:10（2014），2492-2503·Zbl 1392.65118号 ·doi:10.1109/TSP.2014.2310434号文件 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。