埃文·卡瓦洛;罗伯特·哈珀 立方型理论的内部参数性。 （英语） Zbl 1508.03047号 日志。方法计算。科学。 17，第4号，第5号论文，60页（2021年）. 在类型理论中，参数是一种一致性属性，可以用作一种强大的证明技术。它可以理解为类型构造函数的属性，以保留关系[J.C.雷诺兹，“类型、抽象和参数多态性”，载于：IFIP第九届世界计算机大会论文集。阿姆斯特丹：爱思唯尔科学出版社（北荷兰）。513–523 (1983)].在手头的工作中，作者介绍了一个版本的立方型理论（CTT），该理论支持内部版本的参数化，从而导致参数立方型理论。他们表明，PCT有一个Kan双三次集版本的模型，推广了通常的三次型理论模型。应用包括三次合成同伦理论中的计算以及通过CTT对参数型理论进行正则化。该研究最终对CTT和PCTT进行了概念比较，得出了Voevodsky重要的单价公理的参数化，即关系模拟。立方型理论是在年发展起来的[M.贝泽姆等，J.Autom。推理63，第2期，159-171（2019；Zbl 1506.03064号);C.科恩等，LIPIcs–莱布尼茨国际程序。通知。69，第5条，第34页（2018年；Zbl 1434.03036号);C.血管等，数学。结构。计算。科学。31，第4期，424–468页（2021年；Zbl 1529.03123号)].有关参数的工作，请参见[J.-P.伯纳迪等，《电子》。注释Theor。计算。科学。319, 67–82 (2015;兹比尔1351.68146)]，以及[J.-P.伯纳迪和G.磨坊，摘自：2012年第27届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，LICS 2012。加利福尼亚州洛斯·阿拉米托斯：IEEE计算机协会。135–144 (2012;Zbl 1364.03021号);J.-P.伯纳迪和M.Guilhem先生，载于：第18届ACM SIGPLAN功能编程国际会议论文集，ICFP’13。纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。61–72 (2013;Zbl 1323.68198号);G.磨坊.内部化参数。哥德堡：查尔默斯理工大学（博士论文）（2016年）]。第1节回顾了笛卡尔立体类型理论[E.卡瓦洛和R.哈珀，日志。方法计算。科学。17，第4号，第5号论文，60页（2021年；Zbl 07471665号)]和[C.血管等，数学。结构。计算。科学。31，第4期，424–468页（2021年；Zbl 1529.03123号)]. 与同伦类型理论（HoTT）的原始版本相比，立方类型理论添加了一个区间预类型，从而产生了类型族可以依赖的抽象有限维立方体的概念。与普通函数类型类似，路径类型捕获了依赖于区间变量的类型中的项的概念。此外，通过Kan操作（强制和（同质）合成），类型具有明确的纤维结构，而不仅仅是属性。以及的其他小工具V型它们沿着同构在宇宙中构成路径，这就产生了单价公理的构造性内部证明。第2节介绍了参数立方型理论（PCTT），在手边的立方型理论中添加了参数基元。这是通过添加另一个名为桥接间隔，其中的地图称为桥梁在[，A.Nuyts公司等。“依赖型理论的参数量词”，Proc。ACM计划。Lang.1，第32号论文，29页（2017年；数字对象标识代码：10.1145/3110276)]. 该装置的灵感来自伯纳迪·科昆德·穆林（Bernardy-Coquand-Moulin）2015年的早期作品[loc.cit.]，其本身是在伯纳迪·穆林（Bonardy-Moulin）2012年早期作品的基础上建立的[loc.cot.]。桥梁间距的引入带来了一种结构上的新颖性，因为其变量为仿射的，因此特别不支持收缩规则。这有一个有用的结果，即对于参数片段，可以在不强制的情况下证明函数的可扩展性，并且不需要CTT的V类型的类似物，而是通过一个新的类型生成器（称为凝胶类型.例如，第2.3节中的范围运算符用于为桥梁提供所需的延伸性原则。一个重要的结果是定理2.4相对性原理这是单价公理的参数模拟。类似于单价如何将宇宙中的路径描述为类型之间的弱等价，相对性构成了宇宙中桥梁和类型之间关系之间的对应关系。该证明利用了函数的可拓性，既适用于路径和桥，也适用于普通单叶。作者讨论了gel-types的使用在相对论证明中的重要性，以及它与V型在单价证明中的不同之处。作者进一步指出，能够从内部证明相对性原理简化了模型的构造，从而避免了更复杂的概念精炼 的伯纳迪·科昆德·穆林（Bernardy-Coquand-Moulin）的预演[loc.cit.]。在第3节中，给出了内部参数性的一系列有趣的应用。第一个包含布尔类型作为多态二进制运算符类型的内部特征，它与经典结果紧密相关。接下来，介绍并讨论了桥接类型的概念。这意味着从类型中的路径到桥（由强制引起）的规范映射是同构的。作者考虑了小桥离散类型的子宇宙，并证明了它在各种操作下是封闭的，例如依赖和和乘积沿着桥离散类型，并且它包含布尔。另一个应用表明，参数化甚至可以反驳排斥中间的弱定律。本节最后重点介绍了证明粉碎积的元结合性的统一方法，这是同伦理论中一个非常重要的操作。第4节提供了PCTT的计算解释，概括并依赖于2018年的Angiuli-Favonia-Harper著作[loc.cit.]和2019年的Angeuli博士论文[loc.cot.]。这些反过来又为立方体设置提供了框架[S.艾伦，“Martin-Löf类型的非类型理论定义”，载于：《计算机科学逻辑研讨会论文集》，LICS’87。加利福尼亚州洛斯·阿拉米托斯：IEEE计算机协会。215–221 (1987)]. 这包括操作语义和值类型系统，前者处理术语的计算，而后者跟踪哪些闭合值是类型名称，哪些闭合值则是这些类型的元素。在第5节中，作者介绍了参数立方类型理论的一个版本，作为一个逻辑框架，用于推理其他类型理论。他们认为这构成了广义代数理论（GAT）[J.卡特梅尔Ann.Pure应用。逻辑32，209–243（1986；Zbl 0634.18003号)]这是一个非常成熟的概念，用于正式捕获类型理论。在第六节中，作者通过研究前置语义来总结他们对新引入理论的研究。作为基本类别，他们考虑典型的笛卡尔立方体类别和新的仿射立方体类的乘积，后者用于桥接区间上下文。与的定理1类似[C.安丘利等，数学。结构。计算。科学。31，第4期，424–468页（2021年；Zbl 1529.03123号)]作者首先在第6.2节命题6.11中证明了笛卡尔仿射双立方范畴上的预升提供了笛卡尔立方型理论的模型。第6.2节和第6.3节讨论了参数片段，其中首先介绍了如何解释桥上下文，最后介绍了类型和术语生成器。定理6.12和6.13表明，问题模型中的预切类别桥接了凝胶预类型。然后，他们指出如何赋予这些预类型Kan运算，使其成为实际类型，类似于[M.贝泽姆等，J.Autom。推理63，第2号，159–171（2019；Zbl 1506.03064号)]. 本节以如何解释范围操作符的草图结束。作者在第7节中总结了与其他工作的有益比较，尤其是Bernardy-Coquand-Moulin的上述工作[loc.cit.]和Moulin的博士论文[loc.cot.]。他们还讨论了Nuyts等人[loc.cit.]关于内部参数的工作，A.Nuyts公司和D.开发[摘自：2018年第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，2018年LICS。纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。779–788 (2018;Zbl 1453.03005号)]、和A.Nuyts公司【对多模和预剪切型理论的贡献。鲁汶：KU鲁汶（博士论文）（2020年）】。此外，他们还指出了归纳结构演算的单价参数理论N.塔巴鲁等【“免费等效：有效传输的单价参数”，《美国医学会程序汇编》第2版，第92号论文，第29页（2018年；数字对象标识代码：10.1145/3236787)]. 他们通过以下方式指出了与这项工作的一些有趣的相似之处E.里尔和M.舒尔曼简单型理论[High.Struct.1，No.1，147-224（2017；Zbl 1437.18016号)]这反过来又有助于激发M.Z.织布和D.R.利卡塔《2020年第35届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集》，LICS 2020。纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。915–928 (2020;Zbl 1498.03038号)].开放的问题在于提出一种模态类型理论，如作者所建议的那样，将参数片段和非参数片段结合起来，可能是通过公理衔接[U.Schreiber公司和M.舒尔曼，电子。程序。西奥。计算。科学。（EPTCS）158109-126（2014年；Zbl 1464.81043号);M.舒尔曼，数学。结构。计算。科学。28，第6期，856–941（2018年；Zbl 1390.03014号)]. 他们还根据第5节的框架指出了非立方参数类型理论的形式化。由于它基于通过评估进行的规范化，因此它隐式地为所讨论的框架提供了规范化证明。总之，本文通过重要的参数现象在立方型理论领域做出了新的贡献。目前的研究在句法和语义两个方面都是全面而彻底的。审核人：乔纳森·温伯格（巴尔的摩） MSC公司： 03立方厘米38 类型理论 关键词：立方型理论;参数;计算类型理论;模态类型理论 引文：Zbl 1434.03036号;Zbl 1351.68146号;Zbl 1364.03021号;Zbl 1323.68198号;兹比尔1453.03005;Zbl 1437.18016号;Zbl 1464.81043号;Zbl 1390.03014号;Zbl 1506.03064号;Zbl 1529.03123号;Zbl 1498.03038号;Zbl 0634.18003号 软件：立方体 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Cavallo}和\textit{R.Harper}，日志。方法计算。科学。17，第4号，第5号论文，60页（2021；Zbl 1508.03047） 全文： arXiv公司 链接 参考文献： [1] Benedikt Ahrens、Paolo Capriotti和R´egis Spadotti。同构类型理论中的非充分基树。托尔斯滕·阿尔滕科奇（Thorsten Altenkirch），第13届国际打字朗姆达演算会议编辑·Zbl 1433.03027号 [2] Carlo Angiuli、Kuen-Bang Hou（Favonia）和Robert Harper。笛卡尔立方计算类型理论：具有路径和等式的构造性推理。第27届EACSL年会 [3] 罗伯特·阿特基（Robert Atkey）、尼尔·加尼（Neil Ghani）和帕特里夏·约翰（Patricia Johann）。依赖型理论的相关参数模型。在2014年1月20日至21日于美国加利福尼亚州圣地亚哥举行的第41届ACM SIGPLAN-SIGACT编程语言原则年度研讨会上，第503-516页·Zbl 1284.68163号 [4] 斯图尔特·艾伦。Martin-L¨of类型的非类型理论定义。1987年6月22日至25日，美国纽约伊萨卡，1987年计算机科学逻辑研讨会论文集，第215-221页。 [5] 卡洛·安吉利（Carlo Angiuli）。笛卡尔立方类型理论的计算语义。卡内基梅隆大学博士论文，2019年。 [6] Steve Awodey和Michael A.Warren。身份类型的同伦理论模型。数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.，146（1）：45-552009年·兹比尔1205.03065 [7] 史蒂夫·阿沃迪（Steve Awodey）。同伦类型理论的立方模型。Ann.纯粹应用。逻辑，169（12）：1270-12942018·Zbl 1522.03038号 [8] Marc Bezem、Thierry Coquand和Simon Huber。立方集合中的类型理论模型。在2013年4月22日至26日于法国图卢兹举行的第19届国际证明和程序类型会议上，2013年Types，第107-128页·Zbl 1359.03009号 [9] Marc Bezem、Thierry Coquand和Simon Huber。立方体集合中的单价公理。J.汽车。推理，63（2）：159-1712019·Zbl 1506.03064号 [10] Jean-Philippe Bernardy、Thierry Coquand和Guilhem Moulin。参数类型理论的一个预剪切模型。选举人。注释Theor。计算。科学。，319:67-82, 2015. ·Zbl 1351.68146号 [11] Auke Bart Booij、Mart´ñn H¨otzel Escard´o、Peter LeFanu Lumsdaine和Michael Shulman。参数性、宇宙自同构和排除中间。在Silvia Ghilezan、Herman Geuvers和Jelena Ivetic，编辑，第22届国际证明和程序类型会议，Types 2016，2016年5月23日至26日，塞尔维亚诺维萨德，LIPIcs第97卷，第7:1-7:14页。达格斯图尔宫（Schloss Dagstuhl）-莱布尼茨-泽特鲁姆宫（Leibniz-Zentrum f¨ur Informatik），2016年。 [12] 尼克·本顿、马丁·霍夫曼和维维克·尼加姆。抽象效果和证明相关的逻辑关系。在2014年1月20日至21日于美国加利福尼亚州圣地亚哥举行的第41届ACM SIGPLAN-SIGACT编程语言原则年度研讨会上，第619-632页·Zbl 1284.68371号 [13] Jean-Philippe Bernardy、Patrik Jansson和Ross Paterson。参数性和依赖类型。InICFP 2010，美国马里兰州巴尔的摩，2010年9月27-29日，第345-356页·兹比尔1323.68095 [14] Jean-Philippe Bernardy和Guilhem Moulin。参数的计算解释。InLICS 2012，克罗地亚杜布罗夫尼克，2012年6月25日至28日，第135-144页，2012年·Zbl 1364.03021号 [15] Jean-Philippe Bernardy和Guilhem Moulin。色彩类型理论。InICFP 2013，美国马萨诸塞州波士顿，2013年9月25日至27日，第61-72页，2013年·Zbl 1323.68198号 [16] 纪尧姆·布鲁内里（Guillaume Brunerie）。粉碎产物的单体结构的计算机生成证明。同伦类型理论电子研讨会，2018年11月。 [17] 约翰·卡特梅尔。广义代数理论和上下文范畴。Ann.纯粹应用。日志。，32:209-243, 1986. ·Zbl 0634.18003号 [18] Cyril Cohen、Thierry Coquand、Simon Huber和Anders M¨ortberg。立方型理论：对单价公理的建设性解释。第21届国际校对和程序类型会议，2015年5月18日至21日，爱沙尼亚塔林，第5:1-5:342015页·Zbl 1434.03036号 [19] 埃文·卡瓦洛和罗伯特·哈珀。计算高等类型理论四：归纳类型。CoRR，abs/1801.015682018年。 [20] 埃文·卡瓦洛和罗伯特·哈珀。立方计算类型理论中的高级归纳类型。PACMPL，3（POPL）：2019年1:1-1:27。 [21] 埃文·卡瓦洛和罗伯特·哈珀。参数立方型理论，2019年。 [22] 埃文·卡瓦洛和罗伯特·哈珀。立方型理论的内部参数。Maribel Fern´andez和Anca Muscholl，编辑，第28届EACSL计算机科学逻辑年会，CSL 2020年1月13日至16日，西班牙巴塞罗那，LIPIcs第152卷，第13:1-13:17页。达格斯图尔宫（Schloss Dagstuhl）-莱布尼茨-泽特鲁姆宫（Leibniz-Zentrum f¨ur Informatik），2020年·Zbl 07650826号 [23] 詹姆斯·切尼。从属名词类型理论。《计算机科学中的逻辑方法》，8（1），2012年·Zbl 1241.68046号 [24] 蒂埃里·科昆德（Thierry Coquand）、西蒙·胡贝尔（Simon Huber）和安德斯·莫特伯格（Anders M¨ortberg）。关于立方体类型理论中的高级归纳类型。InLICS 2018，英国牛津，2018年7月9日至12日，2018年·Zbl 1452.03036号 [25] Evan Cavallo、Anders M¨ortberg和Andrew W.Swan。统一单价型理论的立方模型。第28届EACSL年会编辑Maribel Fern´andez和Anca Muscholl [26] 蒂埃里·科昆。依赖型理论的规范性和规范化。CoRR，abs/1810.093672018年·Zbl 1454.03019号 [27] 布莱恩·戴维（Brian A.Davey）和希拉里·普里斯特利（Hilary A.Priestley）。格与序导论，第二版。剑桥大学出版社，2002年·Zbl 1002.06001号 [28] 马丁·霍夫曼。从属类型的语法和语义，第79-130页。牛顿研究所出版物。剑桥大学出版社，1997年·Zbl 0919.68083号 [29] 马丁·霍夫曼和托马斯·斯特里彻。类型理论的群系解释。《建构型理论二十五年》（威尼斯，1995），《牛津逻辑指南》第36卷，第83-111页。牛津大学出版社，纽约，1998年·Zbl 0930.03089号 [30] Daniel M.Kan，抽象同伦。I.《美利坚合众国国家科学院院刊》，41（12）：1092-10961955·兹比尔0065.38601 [31] 尼拉坎坦·R·克里希纳斯瓦米（Neelakantan R.Krishnaswami）和德里克·德雷尔（Derek Dreyer）。构造的外延演算中关系参数化的内在化。InComputer Science Logic 2013（CSL 2013），CSL 2013，2013年9月2-5日，意大利都灵，第432-451页，2013·Zbl 1356.68043号 [32] Chris Kapulkin和Peter LeFanu Lumsdaine。单价基础的简化模型（根据Voevodsky），2012年。arXiv:1212.2851·Zbl 1471.18025号 [33] Chris Kapulkin和Peter LeFanu Lumsdaine。类型理论的简单模型中的排除中间律。2020年未发布注释·Zbl 1452.03038号 [34] 尼古拉·克劳斯（Nicolai Kraus）和雅各布·冯·劳默（Jakob von Raumer）。同伦类型理论中较高归纳类型的路径空间。在2019年LICS第34届ACM/IEEE计算机科学逻辑年会上·Zbl 1498.03033号 [35] 根据Martin-L¨of。直觉主义类型理论：表语部分。H.E.Rose和J.C.Shepherdson主编，《逻辑与基础研究》第80卷第73届逻辑学术讨论会·Zbl 0334.02016 [36] 根据Martin-L¨of。建构数学和计算机编程。L.J.Cohen、J.Lo’s、H.Pfeiffer和K.-P.Podewski，《逻辑、方法论和科学哲学》编辑，第六卷，第153-175页，1982年·Zbl 0541.03034号 [37] 吉尔亨·穆林。内部参数化。2016年，瑞典哥德堡查尔默斯科技大学博士论文。 [38] 安德烈亚斯·努伊茨（Andreas Nuyts）和多米尼克·德夫里塞（Dominique Devriese）。关联度：依赖型理论中参数性、无关性、特殊多态性、交集、并集和代数的统一框架。2018年7月9日至12日，英国牛津，第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，第779-788页·Zbl 1453.03005号 [39] 安德烈亚斯·努伊茨。对多模和前置类型理论的贡献。2020年比利时鲁汶大学鲁汶分校博士论文。 [40] Andreas Nuyts、Andrea Vezzosi和Dominique Devriese。依赖类型理论的参数量词。PACMPL，1（ICFP）：32:1-32:29，2017年。 [41] 伊恩·奥尔顿和安德鲁·皮特斯。拓扑中立方体类型理论建模的公理。《计算机科学中的逻辑方法》，14（4），2018年·兹比尔1509.03054 [42] 安德鲁·皮特斯（Andrew M.Pitts）。名词集：计算机科学中的名称和对称性。剑桥大学出版社，剑桥，2013年·Zbl 1297.68008号 [43] 安德鲁·皮特斯（Andrew M.Pitts）。类型理论立方集模型的标称表示。在2014年5月12日至15日于法国巴黎举行的第20届国际证明和程序类型会议上·Zbl 1434.03044号 [44] 约翰·雷诺兹（John C.Reynolds）。类型、抽象和参数多态性。InIFIP大会，第513-5231983页。 [45] 艾米丽·里尔。关于定向单价公理。演讲幻灯片，AMS同伦类型理论特别会议，联合数学会议，2018年1月。 [46] 埃格伯特·里杰克。分类类型：合成同伦理论的主题。卡内基梅隆大学博士论文，2018年·Zbl 1522.03039号 [47] E.P.Robinson和Giuseppe Rosolini。自反图和参数多态性。1994年7月4日至7日，法国巴黎，第九届计算机科学逻辑年度研讨会（LICS’94）论文集，第364-371页。IEEE计算机学会，1994年。 [48] 艾米丽·里尔和迈克尔·舒尔曼。合成∞范畴的一种类型理论。《高层建筑》，1（1）：116-1932017年·Zbl 1437.18016号 [49] 迈克尔·舒尔曼。逆图和同伦规范的唯一性。数学。结构。计算。科学。，25(5):1203-1277, 2015. ·Zbl 1362.03008号 [50] 迈克尔·舒尔曼。实内聚同伦类型理论中的Brouwer不动点定理。数学。结构。计算。科学。，28（6）：856-9412018·Zbl 1390.03014号 [51] 克里斯蒂娜·索贾科娃（Kristina Sojakova）和帕特里夏·约翰（Patricia Johann）。关系参数的一般框架。第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集·Zbl 1497.68126号 [52] Urs Schreiber和Michael Shulman。内聚同伦型理论中的量子规范场理论。罗斯·邓肯（Ross Duncan）和普拉卡什·帕南加登（Prakash Panangaden），编辑，《量子物理和逻辑第九次研讨会论文集》，2012年10月10日至12日，比利时布鲁塞尔，EPTCS第158卷，第109-126页，2012年·Zbl 1464.81043号 [53] 伊祖米·武提（Izumi Takeuti）。λ立方体参数理论。《技术报告1217》，京都大学，2001年·Zbl 1047.03504号 [54] 尼古拉斯·塔巴鲁（Nicolas Tabarau）、埃里克·坦特（Eric Tanter）和马蒂厄·索索（Matthieu Sozeau）。免费等价物：有效传输的单价参数。ACM程序设计语言会议记录，2（ICFP）：92:1-92:2922018年9月。 [55] 单价基金会项目。同伦类型理论：单叶数学基础。https://homotopytypetheory.org/book高级研究所，2013年·Zbl 1298.03002号 [56] 弗洛里斯·范·道恩（Floris van Doorn）。关于高归纳类型的形式化和合成同伦理论。卡内基梅隆大学博士论文，2018年。 [57] 本诺·范登·伯格和理查德·加纳。身份类型的拓扑和简单模型。ACM事务处理。计算。日志。，13(1):3:1-3:44, 2012. ·兹比尔1352.03012 [58] 弗拉基米尔·沃沃德斯基。基于单价基础的形式化数学实验库。计算机科学中的数学结构，25:1278-12942015·Zbl 1361.68192号 [59] 菲利普·沃德勒。免费的定理！InFPCA 1989，英国伦敦，1989年9月11日至13日，第347-359页，1989年。 [60] 迈克尔·奥尔顿·沃伦。构造型理论的同伦理论方面。卡内基梅隆大学博士论文，2008年。 [61] 马修·Z·韦弗和丹尼尔·R·利卡塔。双三次集中有向单叶的构造模型。InLICS’20:2020年7月8日至11日，第35届ACM/IEEE计算机科学逻辑年会，德国萨尔布尔肯，2020年，第915-928页·Zbl 1498.03038号 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