雨果·阿基塔亚。;马修·琼斯。;马蒂亚斯·科尔曼;奥利弗·科尔滕;克里斯托弗·迈尔弗兰肯菲尔德;迈克尔·穆杰（Michael J.Munje）。;黛安·苏瓦恩。;迈克尔·特拉曼;托特，Csaba D。 连接图分区的重新配置。 （英语） Zbl 1525.05151号 J.图论 102，编号1，35-66（2023）. 这项工作的主要目的是遵循一些最新的重新划分和检测选区的计算模型，以便作者研究图形划分的一些问题，并为研究具有给定数量区域的区域地图的空间提供严格的图形理论背景。作者专注于将一个顶点从一个区域精确移动到相邻区域的“1”开关操作。为了达到这个目的，我们需要回顾以下定义。设（G=（V，E）为连通图。然后，（G）的（k）-区域映射（Pi）是将（V（G））划分为不相交的非空子集（V_1，\ldots，V_k\}），使得由（V_i）诱导的子图对所有（i\in\{1，\ldot，k\}\）都是连通的。由\（V_i \）诱导的每个子图称为一个区域。我们为\（\Pi\）中包含顶点\（v\）的子集写\（\Pi（v）\）。我们还定义了开关操作。给定一个\（k\）-区域映射\（\Pi=\{V_1，\ldots，V_k\}\）和\（G\）中的一个路径\将其设置为\（\Pi（w）\）。此外，请注意，在本文中，一个地区的大小可以是范围\（[1，n-k+1]\）中的任何整数，其中\（n\）是人口普查区的数量。此外，根据[B.菲菲尔德等，《计算杂志》。图表。Stat.29，No.4，715–728（2020年；Zbl 07500352号)]对于（n）-顶点图（G）和整数（1），切换图（Gamma（G）是一个图，其中每个节点对应于将（V（G）划分为（k）个非空子集（区域），每个节点都会导出一个连通子图，边对应于将一个顶点从一个区域切换到相邻的区域。本文在第（2）节中，作者对重构问题进行了形式化定义，并描述了可收缩区域的一些重要性质。此外，在第（3）节中，它们表明，如果（G）是双连通的，则（Gamma_k（G））是连通的，如果（G\）是连接的，则是连通的。之后，在第（4）节中，作者给出了他们的PSPACE-完备性证明和（Gamma_k（G））直径的下限。在第（5）节中，他们讨论了最短路径问题的NP-hardness结果。在第六节中，作者以一些开放性问题结束了本文。我们在这里列出了本文的一些主要结果：定理5。对于每个顶点为（n）的双连通图，对于每个整数（1），开关图（Gamma_k（G））是连通的，其直径由（O（kn））限定。定理8。对于所有整数（1\leq-k\leq-n），存在一个顶点为（n）的双连通图，使得（Gamma_k（G））的直径为（Omega（k（n-k））。定理9。对于每个顶点为（n）的连通图，对于每个整数（1），收缩区域映射上的切换图（Gamma_k^prime（G））是连通的，其直径为（O（kn）。定理23。给定一个图\（G\）和两个\（2\）-区域图\（\Pi_a\）和\（\Pi_B\）在\（G\）上，确定\（\Pi_a\）与\（\ Pi_B\”是否位于\（\Gamma_2（G）\）的同一连通分量是PSPACE完成的。推论25。（Gamma_k（G））的连通分量的直径可以大到（2^{\Omega（n）}），其中（n=|V（G）|\），即使（G\）是最大度的平面图，或者如果（k=2\）。定理29。即使（G）是双连通的，也要确定两个给定的可收缩区域映射之间的最短路径在\（Gamma_k（G）\）中的长度是否低于给定的阈值。审核人：梅赫达德·纳塞内贾德（镜头） 引用于2文件 MSC公司： 05C70号 具有特殊属性的边子集（因子分解、匹配、分区、覆盖和打包等） 05C85号 图形算法（图形理论方面） 05C60型 图论中的同态问题（重构猜想等）和同态（子图嵌入等） 2017年第68季度 问题的计算难度（下限、完备性、近似难度等） 关键词：选区划分不公;图形算法;重构算法 引文：Zbl 07500352号 软件：卡氟帕 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.A.Akitaya}等人，《图论杂志》102，第1期，第35-66页（2023年；Zbl 1525.05151） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] N.Apollonio，R.I.Becker，I.Lari，F.Ricca，and B.Simeone，《双色图划分》，或：Gerrymandering at its bast，Discrete Appl。数学。157（2009），第17期，3601-3614。https://doi.org/10.1016/j.dam.2009.06.016 ·Zbl 1227.91018号 ·doi:10.1016/j.dam.2009.06.016 [2] V.Auletta、A.Monti、M.Parente和P.Persiano，树上卵石运动可行性的线性时间算法，Algorithmica。23（1999），第3期，223-245。https://doi.org/10.1007/PL00009259 ·Zbl 0921.68090号 ·doi:10.1007/PL00009259 [3] S.Bangia、C.V.Graves、G.Herschlag、H.S.Kang、J.Luo、J.C.Mattingly和R.Ravier，《重新限制：画线》，预印，arXiv:1704.033602017年。https://arxiv.org/abs/1704.03360 [4] C.Berenger、P.Niebert和K.Perrot，无权网格图的平衡连通划分，Proc。第43届计算机数学基础（MFCS）（I.Potapov，P.G.Spirakis，and James Worrell，eds.），第117卷，LIPIcs，德国达格斯图尔宫，2018年，第39:1-39:18页。https://doi.org/10.4230/LIPIcs.MFCS.2018.39 ·Zbl 1512.68192号 ·doi:10.4230/LIPIcs。2018年12月39日 [5] M.Bonamy和N.Bousquet，弦图上的标记滑动，第43届计算机科学图论概念研讨会（WG）（H.L.Bodlaender和G.J.Woeginger，eds.），第10520卷，LNCS，Springer International Publishing，Cham，2017年，第127-139页。https://doi.org/10.1007/978-3-319-68705-6_10 ·Zbl 1483.05173号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-319-68705-6_10 [6] É.Bonnet、T.Miltzow和P.Rza ewski，令牌交换及其变体的复杂性，算法。80（2018），第9期，2656-2682。https://doi.org/10.1007/s00453-017-0387-0 ·Zbl 1393.68068号 ·doi:10.1007/s00453-017-0387-0 [7] J.Chlebíková，图中最大平衡连通划分问题的近似，Inf.Process。Lett.60（1996），第5期，223-230。https://doi.org/10.1016/S0020-0190(96)00175-5 ·兹比尔0900.68261 ·doi:10.1016/S0020-0190（96）00175-5 [8] E.D.Demaine、M.L.Demaine，E.Fox‐Epstein、D.A.Hoang、T.Ito、H.Ono、Y.Otachi、R.Uehara和T.Yamada，树上滑动标记的线性时间算法，Theor。计算。科学600（2015），132-142。https://doi.org/10.1016/j.tcs.2015.07.037 ·Zbl 1329.68135号 ·doi:10.1016/j.tcs.2015.07.037 [9] G.DiBattista和R.Tamassia，在线平面度测试，SIAM J.Compute.25（1996），第5期，956-997。https://doi.org/10.1137/S0097539794280736 ·Zbl 0858.68063号 ·doi:10.1137/S0097539794280736 [10] M.Duchin，《Gerrymandering指标：如何衡量？基线是什么？牛市。阿默尔。阿卡德。艺术科学。72（2018），第2期，54-58。https://arxiv.org/abs/1801.02064 [11] M.Duchin和B.E.Tenner，《选举地理学的离散几何》，预印本，arXiv:1808.058602018年。https://arxiv.org/abs/1808.05860 [12] A.Dumitrescu和J.Pach，《推动正方形》，《图形组合》22（2006），第1期，第37-50页。https://doi.org/10.1007/s00373-005-0640-1 ·Zbl 1092.68715号 ·doi:10.1007/s00373-005-0640-1 [13] M.E.Dyer和A.M.Frieze，关于将图划分为连通子图的复杂性，离散应用。数学10（1985），第2期，第139-153页。https://doi.org/10.1016/0166-218X(85)90008-3 ·Zbl 0562.68030号 ·doi:10.1016/0166-218X（85）90008-3 [14] B.Fifield、M.Higgins、K.Imai和A.Tarr，《使用马尔可夫链蒙特卡罗的自动重划分模拟》，J.Compute。图表。统计师。29（2020），第4期，715-728。https://doi.org/101080/10618600.2020.1739532 ·Zbl 07500352号 ·doi:10.1080/10618600.2020.1739532 [15] B.Fleiner、B.Nagy和A.Tasnádi，平面地理上的最优党派划分，CEJOR。25（2017），编号4，879-888。https://doi.org/10.1007/s10100-016-0454-7 ·Zbl 1390.90463号 ·doi:10.1007/s10100-016-0454-7 [16] K‐T。Foerster，L.Groner，T.Hoefler，M.König，S.Schmid，and R.Wattenhofer，《带顶点图上带代理的多代理寻路：组合分类和紧算法边界》，Proc。第十届Conf.Algorithms and Complexity（CIAC），第10236卷，LNCS，Springer International Publishing，Cham，2017年，第247-259页。https://doi.org/10.1007/978-3-319-57586-5_21 ·Zbl 1486.68129号 ·doi:10.1007/978-3-319-57586-5_21 [17] S.Fujita、T.Nakamigawa和T.Sakuma，《图形上的彩色卵石运动》，《欧洲杂志》第33卷（2012年），第5期，第884-892页。https://doi.org/10.1016/j.ejc.2011.09.019 ·Zbl 1239.05121号 ·doi:10.1016/j.ejc.2011.09.019 [18] O.Goldreich（编辑），在图广义15字谜中寻找最短的移动序列是NP难的，《复杂性和密码学研究》，第6650卷，LNCS，Springer，2011年，第1-5页。https://doi.org/10.1007/978-3-642-22670-0_1 ·Zbl 1343.68093号 ·doi:10.1007/978-3642-22670-0_1 [19] G.Goraly和R.Hassin，图上的多色卵石运动，算法。58（2010），第3期，610-636。https://doi.org/10.1007/s00453-009-9290-7 ·Zbl 1202.68280号 ·doi:10.1007/s00453-009-9290-7 [20] R.A.Hearn和E.D.Demaine，PSPACE——通过非确定性约束逻辑计算模型解决滑块难题和其他问题的完备性，Theoret。计算。科学。343（2005），第1期，72-96。https://doi.org/10.1016/j.tcs.2005.05.008 ·Zbl 1079.68040号 ·doi:10.1016/j.tcs.2005.5.08 [21] G.Herschlag、R.Ravier和J.C.Mattingly，《威斯康星州党派选区政策评估》，预印本，2017年。https://arxiv.org/abs/1709.01596 [22] J.E.Hopcroft和R.E.Tarjan，《算法447：图形操作的有效算法》，Commun。ACM公司。16（1973），第6期，372-378。https://doi.org/10.1145/362248.362272 ·数字对象标识代码：10.1145/362248.362272 [23] A.Komuravelli、A.Sinha和A.Bishnu，高维二进制图像的连通性保持变换，离散应用。数学。157（2009），第16期，3372-3385。https://doi.org/10.1016/j.dam.2009.03.011 ·兹比尔1230.68208 ·doi:10.1016/j.dam.2009.03.011 [24] D.Kornhauser、G.L.Miller和P.G.Spirakis，图上的协调卵石运动，置换群的直径和应用，第25届IEEE交响乐团。计算机科学基础（FOCS）（R.Karp，ed.），IEEE，新泽西州皮斯卡塔韦，1984年，第241-250页。https://doi.org/10.1109/SFCS1984.751921 ·doi:10.1109/SFCS.1984.715921 [25] R.Kueng、D.G.Mixon和S.Villar，《集市再划分很难》，理论。计算。科学。791 (2019), 28-35. https://doi.org/10.1016/j.tcs.2019.04.004 ·Zbl 1435.91080 ·doi:10.1016/j.tcs.2019.04.004 [26] J.Leaños和A.L.Trujillo‐Negrete，《标记图的连通性》，《图组合》34（2018），第4期，777-790。https://doi.org/10.1007/s00373-018-1913-9 ·Zbl 1395.05096号 ·doi:10.1007/s00373-018-1913-9 [27] T.Miltzow、L.Narins、Y.Okamoto、G.Rote、A.Thomas和T.Uno，代币交换的近似和硬度，第24届欧洲算法研讨会（ESA）（P.Sankowski和C.D.Zaroliagis，eds.），第57卷，LIPIcs，Schloss Dagstuhl，2016年，第66:1-66:15页。https://doi.org/10.4230/LIPIcs.ESA.2016.66 ·Zbl 1397.68146号 ·doi:10.4230/LIPIcs。欧洲安全局2016.66 [28] R.F.Monroy、D.Flores‐Peñaloza、C.Huemer、F.Hurtado、J.Urrutia和D.R.Wood，《标记图》，《图形组合》28（2012），第3期，第365-380页。https://doi.org/10.1007/s00373-011-1055-9 ·Zbl 1256.05201号 ·doi:10.1007/s00373-011-1055-9 [29] C.Puppe和A.Tasnádi，无偏分配的计算方法，数学。计算。模型。48（2008），编号9-10，1455-1460。https://doi.org/10.1016/j.mcm.2008.05.024 ·兹比尔1187.91185 ·doi:10.1016/j.mcm.2008.05.024 [30] C.Puppe和A.Tasnádi，《地理约束下的最优重新划分：为什么“打包和破碎”不起作用》，《经济评论》。莱特。105（2009），第1期，93-96。https://doi.org/10.1016/j.econlet.2009.06.008 ·Zbl 1179.91065号 ·doi:10.1016/j.econlet.2009.06.008 [31] D.Ratner和M.K.Warmuth，《（N次N次）谜题和相关重定位问题》，《符号计算杂志》，第10期（1990年），第2期，第111-138页。https://doi.org/10.1016/S0747-7171(08)80001-6 ·Zbl 0704.68057号 ·doi:10.1016/S0747-7171（08）80001-6 [32] F.Ricca、A.Scozzari和B.Simeone，《政治区划的加权Voronoi区域算法》，数学。计算。模型，48（2008），编号9-10，1468-1477。https://doi.org/10.1016/j.mcm.2008.05.041 ·兹比尔1187.91187 ·doi:10.1016/j.mcm.2008.05.041 [33] F.Ricca、A.Scozzari和B.Simeone，《政治分区：从经典模型到最近的方法》，《Ann.Oper》。第204号决议（2013年），第1期，271-299。https://doi.org/10.1007/s10479-012-1267-2 ·Zbl 1269.91068号 ·doi:10.1007/s10479-012-1267-2 [34] F.Ricca和B.Simeone，《政治区划的局部搜索算法》，欧洲期刊。第189号决议（2008年），第3期，1409-1426。https://doi.org/10.1016/j.ejor.2006.08.065 ·Zbl 1146.91016号 ·doi:10.1016/j.ejor.2006.08.065 [35] P.Sanders和C.Schulz，分布式进化图划分，Proc。第14届算法工程与实验会议（ALENEX）（D.A.Bader和P.Mutzel，eds.），宾夕法尼亚州费城SIAM，2012年，第16-29页。https://doi.org/10.1137/1.9781611972924.2 ·Zbl 1430.68237号 ·doi:10.1137/1.9781611972924.2 [36] C.Schulz，《理论和实践中的图分割和图聚类》，卡尔斯鲁厄理工学院（KIT）讲稿，2021年。http://algo2.iti.kit.edu/2577.php [37] R·M·威尔逊，《图形谜题、同伦和交替群》，J.Combin。B.16（1974），第1期，86-96。https://doi.org/10.1016/0095-8956(74)90098-7 ·兹标0285.05110 ·doi:10.1016/0095-8956（74）90098-7 [38] K.Yamanaka、E.D.Demaine、T.Ito、J.Kawahara、M.Kiyomi、Y.Okamoto、T.Saitoh、A.Suzuki、K.Uchizawa和T.Uno，交换图形上的标记，Theor。计算。科学586（2015），81-94。https://doi.org/10.1016/j.tcs.2015.01.052 ·Zbl 1327.68336号 ·doi:10.1016/j.tcs.2015.01.052 [39] K.Yamanaka、T.Horiyama、J.M.Keil、D.G.Kirkpatrick、Y.Otachi、T.Saitoh、R.Uehara和Y.Uno，交换图形上的彩色标记，Theor。计算。科学729（2018），1-10。https://doi.org/10.1016/j.tcs.2018.03.016 ·Zbl 1391.68062号 ·doi:10.1016/j.tcs.2018.03.16 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。